高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线及其标准方程学案 新人教A版选修21.doc

2.4.1抛物线及其标准方程1.掌握抛物线的定义及其标准方程.(重点、难点)2.会由抛物线方程求焦点坐标和准线方程.(易错点)基础初探教材整理1抛物线的定义阅读教材p65“思考”以上部分，完成下列问题.平面内与一个定点f和一条定直线l(l不经过点f)距离相等的点的轨迹叫做_.点f叫做抛物线的_，直线l叫做抛物线的_.【答案】抛物线焦点准线判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)并非所有二次函数的图象都是抛物线.()(2)抛物线是双曲线的一支.()(3)若定点在定直线上，则到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是一条直线.()【答案】(1)(2)(3)教材整理2抛物线的标准方程阅读教材p65“思考”以下部分，完成下列问题.图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)_y22px(p0)_x22py(p0)_x22py(p0)_【答案】xxyy1.抛物线x4y2的准线方程是()a.yb.y1c.xd.x【解析】由x4y2得y2x，故准线方程为x.【答案】c2.抛物线y28x的焦点到准线的距离是()a.1b.2c.4d.8【解析】由y28x得p4，即焦点到准线的距离为4.【答案】c小组合作型求抛物线的标准方程求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)过点m(6,6)；(2)焦点f在直线l：3x2y60上；(3)焦点到准线的距离是4.【精彩点拨】(1)过点m(6,6)的抛物线有几种情况？(2)所求抛物线的焦点是什么，有几种情况？(3)由焦点位置判断有几种情况？【自主解答】(1)由于点m(6,6)在第二象限，过m的抛物线开口向左或开口向上.若抛物线开口向左，焦点在x轴上，设其方程为y22px(p0)，将点m(6,6)代入，可得362p(6)，p3.抛物线的方程为y26x.若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x22py(p0)，将点m(6,6)代入可得，362p6，p3，抛物线的方程为x26y.综上所述，抛物线的标准方程为y26x或x26y.(2)直线l与x轴的交点为(2,0)，抛物线的焦点是f(2,0)，2，p4，抛物线的标准方程是y28x.直线l与y轴的交点为(0，3)，即抛物线的焦点是f(0，3)，3，p6，抛物线的标准方程是x212y.综上所述，所求抛物线的标准方程是y28x或x212y.(3)焦点到准线距离p4，焦点可在x，y轴上，故有四种情况，标准方程为y28x，y28x，x28y，x28y.1.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤2.求抛物线的标准方程时需注意的三个问题(1)把握开口方向与方程间的对应关系.(2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2mx或x2ny，这样可以减少讨论情况的个数.(3)注意p与的几何意义.再练一题1.根据下列条件确定抛物线的标准方程.(1)关于y轴对称且过点(1，3)；(2)过点(4，8)；(3)焦点在x2y40上. 【导学号：37792079】【解】(1)法一设所求抛物线方程为x22py(p0)，将点(1，3)代入方程，得(1)22p(3)，解得p，所以所求抛物线方程为x2y.法二由已知，抛物线的焦点在y轴上，因此设抛物线的方程为x2my(m0).又抛物线过点(1，3)，所以1m(3)，即m，所以所求抛物线方程为x2y.(2)法一设所求抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p0)，将点(4，8)代入y22px，得p8；将点(4，8)代入x22py，得p1.所以所求抛物线方程为y216x或x22y.法二当焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2nx(n0)，又抛物线过点(4，8)，所以644n，即n16，抛物线的方程为y216x；当焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x2my(m0)，又抛物线过点(4，8)，所以168m，即m2，抛物线的方程为x22y.综上，抛物线的标准方程为y216x或x22y.(3)由得由得所以所求抛物线的焦点坐标为(0，2)或(4,0).当焦点为(0，2)时，由2，得p4，所以所求抛物线方程为x28y；当焦点为(4,0)时，由4，得p8，所以所求抛物线方程为y216x.综上所述，所求抛物线方程为x28y或y216x.抛物线定义的应用已知抛物线y24x的焦点是f，点p是抛物线上的动点，对于定点a(4,2)，求|pa|pf|的最小值，并求出取最小值时的p点坐标.【精彩点拨】利用抛物线的定义，把|pf|转化成到准线的距离.【自主解答】如图，作pnl于n(l为准线)，作abl于b，则|pa|pf|pa|pn|ab|，当且仅当p为ab与抛物线的交点时，取等号.(|pa|pf|)min|ab|415.此时yp2，代入抛物线得xp1，p(1,2).根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，抛物线定义的功能是可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.再练一题2.已知点p是抛物线y22x上的一个动点，则点p到点a(0,2)的距离与p到该抛物线准线的距离之和的最小值为() 【导学号：37792080】a.b.3c.d.【解析】由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离.由图可得，点p到准线x的距离d|pf|，易知点a(0,2)在抛物线y22x的外部，连接af，交y22x于点p，欲使所求距离之和最小，只需a，p，f共线，其最小值为|af| .【答案】a与抛物线有关的轨迹问题已知动圆m与直线y2相切，且与定圆c：x2(y3)21外切，求动圆圆心m的轨迹方程.【精彩点拨】(1)圆m与直线y2相切可以想到什么？(2)两圆外切的条件是什么？(3)点m的条件满足抛物线定义吗？【自主解答】设动圆圆心为m(x，y)，半径为r，则由题意可得m到圆心c(0，3)的距离与直线y3的距离相等.由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以c(0，3)为焦点，以y3为准线的一条抛物线，其方程为x212y.求动点轨迹方程的方法：定义法，判断动点的轨迹是否满足抛物线的定义.若满足抛物线的定义，则可按抛物线标准方程的形式写出方程.再练一题3.已知动圆m经过点a(3,0)，且与直线l：x3相切，求动圆圆心m的轨迹方程.【解】设动点m(x，y)，m与直线l：x3的切点为n，则|ma|mn|，即动点m到定点a和定直线l：x3的距离相等，点m的轨迹是抛物线，且以a(3,0)为焦点，以直线l：x3为准线，3，p6，故动圆圆心m的轨迹方程是y212x.探究共研型抛物线的实际应用探究1求解抛物线实际应用题的步骤有哪些？【提示】求解抛物线实际应用题的五个步骤：探究2如何利用抛物线定义解决实际问题？【提示】把实际问题转化为数学问题，利用抛物线的知识来解决实际问题.在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用.河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？【精彩点拨】【自主解答】如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x22py(p0)，由题意，将b(4，5)代入方程得p，抛物线方程为x2y. 当船的两侧和拱桥接触时船不能通航.设此时船面宽为aa，则a(2，ya)，由22ya，得ya.又知船露出水面上部分为米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h|ya|2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航.1.本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题.2.以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，应用抛物线主要体现在：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程；(2)利用已求方程求点的坐标.再练一题4.探照灯反射镜(如图241)的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处.已知灯口圆的直径为60 cm，灯深40 cm，求抛物线的标准方程和焦点坐标.图241【解】如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立平面直角坐标系，使探照灯的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径.设抛物线的标准方程为y22px(p0)，由已知条件可得点a的坐标是(40,30)，且在抛物线上，代入方程，得：3022p40，解得p.故所求抛物线的标准方程为y2x，焦点坐标是.1.准线方程为y的抛物线的标准方程为()a.x2yb.x2yc.y2xd.y2x【解析】由准线方程为y知抛物线焦点在y轴负半轴上，且，则p.故所求抛物线的标准方程为x2y.【答案】b2.以双曲线1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是_.【解析】由双曲线1，得抛物线的焦点坐标为(4,0)，故可设抛物线方程为y22px(p0)，所以4，即p8，抛物线方程为y216x.【答案】y216x3.已知抛物线y22px(p0)的焦点f1，若点a(2，4)在抛物线上，则点a到焦点的距离为_.【解析】把点(2，4)代入抛物线y22px，得164p，即p4，从而抛物线的焦点为(2,0