高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入学案 理 苏教版选修22.doc

第3章 数系的扩充与复数的引入一、学习目标：1. 理解复数的基本概念；2. 理解复数相等的充要条件；3. 了解复数的代数表示法及其几何意义；4. 会进行复数代数形式的四则运算；5. 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。 二、重点、难点重点：掌握复数的概念；复数的加法与减法的运算及几何意义；复数的四则运算。难点：对复数概念和复数的几何意义的灵活运用及复数运算的准确运用。三、考点分析：1. 复数的有关概念和复数的几何意义是高考命题的热点之一，常以选择题的形式出现，属容易题；2. 复数的代数运算是高考的另一热点，以选择题、填空题的形式出现，属容易题。一、复数的有关概念1. 复数的概念形如abi（a，br）的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部。若b0，则abi为实数，若b0，则abi为虚数，若a0且b0，则abi为纯虚数。2. 复数相等：abicdiac且bd（a，b，c，dr）。3. 共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd（a，b，c，dr）。4. 复平面借用直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。5. 复数的模向量的模r叫做复数zabi的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|。二、复数的几何意义1. 复数zabi复平面内的点z（a，b）（a，br）；2. 复数zabi平面向量（a，br）。三、复数的运算1. 复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi（a，b，c，dr），则加法：z1 z2（abi）（cdi）（ac）（bd）i；减法：z1 z2（abi）（cdi）（ac）（bd）i；乘法：z1 z2（abi）（cdi）（acbd）（adbc）i；除法：2. 复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何、c，有，（）（）。注：任意两个复数不一定能比较大小，只有这两个复数全是实数时才能比较大小。知识点一：复数的有关概念例1 当实数m为何值时，zlg（m22m2）（m23m2）i（1）为纯虚数；（2）为实数；（3）对应的点在复平面的第二象限内。思路分析：根据复数分类的条件和复数的几何意义求解。解题过程：根据复数的有关概念，转化为实部和虚部分别满足的条件求解。（1）若z为纯虚数，则解得m3（2）若z为实数，则解得m1或m2（3）若z的对应点在第二象限，则解得1m1或1m3。即（1）m3时，z为纯虚数；（2）m1或m2时，z为实数；（3）1m1或1m3时，z对应的点在复平面的第二象限内。解题后反思：处理有关复数概念的问题时，首先要找准复数的实部与虚部（若复数为非标准的代数形式，则应通过代数运算化为代数形式），然后根据定义解题。知识点二：复数相等例2 已知集合m（a3）（b21）i，8，集合n3i，（a21）（b2）i同时满足mnm，mn，求整数a，b思路分析：判断两集合元素的关系列方程组分别解方程组检验结果是否符合条件。解题过程：或或由得a3，b2，经检验，a3，b2不合题意，舍去。a3，b2由得a3，b2。又a3，b2不合题意，a3，b2；由得，此方程组无整数解。综合得a3，b2或a3，b2。解题后反思：利用复数相等可实现复数问题向实数问题的转化。解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式。注：对于复数z，如果没有给出代数形式，可设zabi（a，br）。知识点三：复数的代数运算例3 计算：思路分析：根据复数的运算法则计算。解题过程： 。解题后反思：（1）在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度：。（2）复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉i的特点及熟练应用运算技巧。知识点四：复数加减法的几何意义例4 如图，平行四边形oabc，顶点o、a、c分别表示0，32i，24i，试求：（1）表示的复数；（2）对角线所表示的复数。思路分析：求某个向量对应的复数，只要求出向量的起点和终点对应的复数即可。解题过程：（1），表示的复数为32i。，表示的复数为32i。（2），所表示的复数为（32i）（24i）52i。解题后反思：（1）解决这类题目时可利用复数abi（a，br）与复平面内以原点为起点的向量之间一一对应的关系，相等的向量表示同一复数，然后借助于向量运算的平行四边形法则和三角形法则进行求解。（2）复数问题实数化是解决复数问题最基本也是最重要的思想方法，桥梁是设zxyi，依据是复数相等的充要条件。（湖北高考）若i为虚数单位，图中复平面内点z表示复数z，则表示复数的点是（ ）a. e b. f c. g d. h思路分析：首先在图形上看出复数z的代数形式，再进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，在坐标系中看出对应的点。解题过程：观察图形可知z3i，即对应点h（2，1），故选d。解题后反思：本题考查复数的几何意义，考查根据复数的代数形式，在坐标系中找出对应的点，根据复平面上的点写出对应的复数的表示式。问题：已知z为复数，z2i和均为实数，其中i是虚数单位。（1）求复数z；（2）若复数（zai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围。思路分析：（1）设出复数的代数形式，整理出z2i和，根据两个都是实数、虚部都等于0，得到复数的代数形式。（2）根据上一问得出的复数的结果，代入复数（zai）2中，利用复数的加减和乘方运算，写出代数的标准形式，根据复数对应的点在第一象限，写出关于实部大于0和虚部大于0，解不等式组，得到结果。解题过程：（1）设复数zabi（a，br），由题意，z2iabi2iab20，即b2。又，2ba0，即a2b4。z42i。（2）由（1）可知z42i，（zai）2（42iai）24（a2）i216（a2）28（a2）i对应的点在复平面的第一象限，解得a的取值范围为2a6。解题后反思：本题考查复数的加减乘除运算，复数的代数形式和几何意义，复数与复平面上的点的对应，及解决实际问题的能力，是一道综合题。1. 掌握复数的代数形式，理解实部和虚部的概念，及复数的几何意义。2. 熟练进行复数的加减法和乘除法的运算。常用的运算公式要记牢：（1i）22i，i，i，i，ba