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文档简介
三、考点纵横6大常考考点之神思妙解常考点1最值问题的5大解法方法1函数法(1)利用已知函数性质求最值根据已知函数解析式,直接利用基本初等函数的性质(单调性、奇偶性等)是函数法的主要类型之一.典例1函数y=cos 2x+2cos x的最小值是.思路点拨利用余弦倍角公式转化为关于cos x的二次函数在闭区间上的最值.答案-32解析y=cos 2x+2cos x=2cos2x+2cos x-1=2cosx+122-32,当且仅当cos x=-12时,函数取得最小值-32.(2)构建函数模型求最值很多最值问题需要先建立函数模型,然后使用函数性质求解.建立函数模型的关键是找到一个变量,利用该变量表示求解目标,变量可以是实数,也可以是一个角度(如果使用弧度制实际上也可以看作一个实数),还可以是一个变量不等式等,建立函数模型需要注意建立的函数模型的定义域.典例2在abc中,点d满足bd=34bc,当点e在线段ad上移动时,若ae=ab+ac,则t=(-1)2+2的最小值是()a.31010b.824c.910d.418思路点拨根据点e在线段ad上移动,利用共线向量定理设出变量x,建立求解目标关于x的函数关系后利用函数性质求解.答案c解析设ae=xad(0x1),因为ad=ab+bd=ab+34bc=ab+34(ac-ab)=14ab+34ac,所以ae=14xab+34xac,又ae=ab+ac,且ab,ac不共线,所以=14x,=34x,所以t=(-1)2+2=14x-12+34x2=18(5x2-4x+8),在x=25时取得最小值910.故选c.方法2不等式法(1)利用基本不等式求最值基本不等式是求最值的常用方法之一,使用基本不等式时要注意:基本不等式的使用条件和等号是否能够成立;变换已知不等式使之符合使用基本不等式的条件.典例3已知圆o的半径为1,hm,hn为该圆的两条切线,m,n为两切点,那么hmhn的最小值为.思路点拨以ohm为变量建立求解目标的函数关系后,通过变换使用基本不等式.答案22-3解析连接oh,om,on,设ohm=ohn=,0b0),c0,且c2=a2-b2.若圆c1,c2都在椭圆内,则椭圆离心率的最大值为.思路点拨根据椭圆与圆的位置关系,建立关于e的不等式即可求出e的最大值.答案12解析由题意得2ca,c2a2+c2b21,可得e12,e4-3e2+10,结合e(0,1),可得0e12.e的最大值为12.方法3导数法(1)直接使用导数求最值三次函数、含有指数、对数与其他函数综合的函数,求最值时要利用导数法.基本步骤:确定单调性和极值,结合已知区间和区间的端点值确定最值.典例6已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n-1,1,则f(m)+f (n)的最小值是.思路点拨分别求出f(m), f (n)的最小值相加即可.答案-13解析f (x)=-3x2+2ax,根据已知得f (2)=0,得a=3,所以f (x)=-3x2+6x,令f (x)=0,得x=0或x=2,当x0时, f (x)0, f(x)单调递减,当0x0, f(x)单调递增,当x2时, f (x)0, f(x)单调递减,所以f(m)在-1,1上的最小值为f(0)=-4,又f (n)=-3n2+6n在-1,1上单调递增,所以f (n)的最小值为f (-1)=-9.故f(m)+f (n)min=f(m)min+f (n)min=-4-9=-13.(2)构造函数利用导数求最值不等式恒成立问题的一个基本处理方法是转化为函数最值,需要通过构造函数求函数最值,而求函数最值中导数方法是最有效的.注意使用导数求函数最值的基本步骤.典例7已知函数f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-3.若存在x1e,e(e是自然对数的底数,e=2.718 28)使不等式2f(x)g(x)成立,求实数a的最大值.思路点拨2f(x)g(x)可变形为a2ln x+x+3x,x1e,e,由题意可知a小于或等于2ln x+x+3x的最大值,从而将问题转化为求函数h(x)=2ln x+x+3x,x1e,e的最大值问题.解析由题意知2xln x-x2+ax-3,x1e,e,即a2ln x+x+3x,x1e,e令h(x)=2ln x+x+3x,x1e,e,则h(x)=2x+1-3x2=(x+3)(x-1)x2,当x1e,1时,h(x)0,此时h(x)单调递增.所以h(x)max=maxh1e,h(e),因为存在x1e,e,使2f(x)g(x)成立,所以ah(x)max,又h1e=-2+1e+3e,h(e)=2+e+3e,所以h1e-h(e)=-4+2e-2e0,故h1eh(e),所以a1e+3e-2.即a的最大值为1e+3e-2.方法4数形结合法(1)曲线上的点与直线上点的距离的最值求与直线不相交的曲线上的点与该直线上的点的距离的最值的最直观方法就是“平行切线法”(数形结合思想的具体体现).典例8设点p在曲线y=x2+1(x0)上,点q在曲线y=x-1(x1)上,则|pq|的最小值为()a.22b.324c.2d.322思路点拨根据图象的对称性转化为求曲线上的点与直线上的点之间的最近距离.答案b解析在同一坐标系中分别画出两个函数的图象(图略),可知两个函数的图象关于直线y=x对称.考虑函数y=x2+1(x0)图象上某点处斜率为1的切线的切点坐标,由y=2x=1,得x=12,进而y=54,即函数y=x2+1(x0)图象上在点12,54处的切线斜率等于1,该点到直线x-y=0的距离为342=328,这个距离的二倍即为所求的最小值,即|pq|的最小值为324.故选b.(2)根据求解目标的几何意义求最值把求解目标的代数表达式赋予其几何意义,就可以把代数问题转化为几何问题、函数问题.常见的目标函数的几何意义有:两点连线的斜率、两点间的距离等.典例9(1)(2016山东,4,5分)若变量x,y满足x+y2,2x-3y9,x0,则x2+y2的最大值是()a.4b.9c.10d.12(2)已知实数a,b,c,d满足a-2eab=1-cd-1=1,其中e是自然对数的底数,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为()a.4b.8c.12d.18思路点拨(1)点(x,y)为平面区域内的动点,x2+y2的几何意义是动点到坐标原点的距离的平方.(2)将(a,b),(c,d)看作点的坐标,则这两个点各自在一条曲线与一条直线上,(a-c)2+(b-d)2的几何意义是曲线上的点与直线上的点的距离的平方.答案(1)c(2)b解析(1)作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示(包括边界),x2+y2表示平面区域内的点与原点的距离的平方,由图易知平面区域内的点a(3,-1)与原点的距离最大,所以x2+y2的最大值是10,故选c.(2)由a-2eab=1-cd-1=1,得b=a-2ea,d=-c+2.(a-c)2+(b-d)2的几何意义是曲线y=x-2ex上的点(a,b)与直线y=-x+2上的点(c,d)的距离的平方.对y=x-2ex求导,得y=1-2ex,令1-2ex=-1,解得x=0,故曲线y=x-2ex在x=0处的切线的斜率等于-1,此时切点坐标为(0,-2),该点到直线y=-x+2的距离即为曲线y=x-2ex与直线y=-x+2上点距离的最小值,此时的最小距离为42=22,故所求的最小值为(22)2=8.方法5构造法(1)构造函数求最值任意实数a,b,当b0时,一定存在实数,使得a=b,用它可以把某些以比值形式出现的二元不等式转化为一元不等式.典例10若不等式x2+2xya(x2+y2)对于一切正数x,y恒成立,则实数a的最小值为()a.2b.2+12c.32d.5+12思路点拨分离参数后转化为函数的最值问题,对含变量x,y的表达式构造函数,求函数最值.答案d解析不等式x2+2xya(x2+y2)对于一切正数x,y恒成立等价于ax2+2xyx2+y2恒成立,即ax2+2xyx2+y2max.令y=tx,则x2+2xyx2+y2=1+2t1+t2.令m=1+2t(m1),则t=m-12,则1+2t1+t2=4m4+(m-1)2=4mm2-2m+5=4m+5m-2.4m+5m-2425-2=1+52,故a1+52.故a的最小值为1+52,选d.(2)构造模型求最值根据求解目标的特点,通过联想已知知识构造恰当的模型(如正方形、正方体、函数、数列等)求解最值.典例11函数y=x2-2x+2+x2-6x+13的最小值为.思路点拨联想两点间的距离公式,构造平面直角坐标系中的一个图形模型,根据几何意义求解.答案13解析将函数化为y=(x-1)2+(0-1)2+(x-3)2+(0-2)2,则问题可以转化为在x轴上找一点,使它到a(1,1),b(3,2)两点距离之和最小的几何模型问题.将点a(1,1)关于x轴对称,得a(1,-1),连接ab交x轴于点p,则线段ab的长就是所求的最小值,即|ab|=(1-3)2+(-1-2)2=13.故填13.常考点2范围问题的6大解题妙招方法1构建函数模型法选定一个变量建立求解目标的函数关系式,利用函数的性质得出其取值范围,这是求范围问题最为基本、应用最为广泛的方法.典例1(1)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为f1,f2,两曲线在第一象限的交点记为p,pf1f2是以pf1为底边的等腰三角形.若|pf1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1e2的取值范围是()a.0,15b.15,35c.13,+d.15,+(2)在锐角abc中,ac=6,b=2a,则bc的取值范围是.思路点拨(1)椭圆和双曲线的公共元素为半焦距c,以其为变量建立求解目标的函数关系式,然后求解;(2)求出角a的取值范围,以其为变量表示出bc,利用三角函数性质得出其范围.答案(1)c(2)(23,32)解析(1)根据已知可知|pf2|=2c,在椭圆中,根据定义知2c+10=2a1,a1=c+5,则离心率e1=cc+5,在双曲线中,根据定义知10-2c=2a2,a2=5-c,则离心率e2=c5-c.由于p,f1,f2三点构成三角形,所以2c+2c10,即c52,根据10-2c=2a20可得0c5,故52c5,所以025c2-113.故选c.(2)根据正弦定理,得acsinb=bcsina,又b=2a,所以6sin2a=bcsina,所以bc=3cosa.由于abc为锐角三角形,所以b=2a2,即a2,所以a6,所以6a4,所以22cos a32,所以2331cosa2,所以233cosa32,即bc的取值范围为(23,32).方法2分离参数法在方程有解、不等式恒成立等问题中求参数取值范围时,如果参数能够分离出来,即方程或不等式的一端为参数,另一端为某个变量的代数式,则只要研究其相应函数的性质即可根据问题的具体设问得出参数的取值范围.典例2已知f(x)=(-x2+x-1)ex,g(x)=13x3+12x2+m,若y=f(x)与y=g(x)的图象有三个不同的交点,求实数m的取值范围.思路点拨函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,即方程f(x)=g(x)有三个不同的实根,分离参数之后,即可以将所求解的问题转化为直线y=-m与某函数图象的交点问题进行求解.解析函数y=f(x)与y=g(x)的图象有三个不同的交点等价于方程f(x)=g(x)有三个不同的实根,即-m=(x2-x+1)ex+13x3+12x2有三个不同的实根,亦即直线y=-m与函数h(x)=(x2-x+1)ex+13x3+12x2的图象有三个不同的交点.对h(x)=(x2-x+1)ex+13x3+12x2求导,得h(x)=x(x+1)(ex+1),则函数h(x)在(-,-1上单调递增,在(-1,0)上单调递减,在0,+)上单调递增.所以h(x)极大值=h(-1)=3e+16,h(x)极小值=h(0)=1,结合图象知1-m3e+16,解得-3e-16m1时, f(x)ln x恒成立,求实数a的取值范围.思路点拨分离参数后,转化为求函数的最值问题.解析依题意知f(x)-ln x0,即12x2+aln x-ln x0,(a-1)ln x-12x2,x1,ln x0,a-1-12x2lnx,a-1-12x2lnxmax.令g(x)=-12x2lnx,则g(x)=-xlnx+12x(lnx)2,令g(x)=0,解得x=e12,当1x0,g(x)在(1,e12)上单调递增;当xe12时,g(x)-e,即a1-e,即a的取值范围是(1-e,+).方法3参数与变量整体处理法当参数与变量交织在一起,分离参数不方便时,把参数作为常数,构成一个含参数的函数、不等式、方程等,根据问题的实际情况从整体上得出参数满足的条件,得出其取值范围.典例4已知函数f(x)=x+3a2x-2aln x在区间(1,2)内是增函数,则实数a的取值范围是.思路点拨由题意知f (x)0在(1,2)上恒成立,化为一元二次不等式在(1,2)上恒成立,结合函数图象分类讨论其成立时a的取值范围.答案-1,13解析f (x)=1-3a2x2-2ax=x2-2ax-3a2x2.函数f(x)在区间(1,2)内是增函数等价于f (x)0在(1,2)上恒成立,即x2-2ax-3a20在(1,2)上恒成立.令g(x)=x2-2ax-3a2.当a1时,g(x)在(1,2)上单调递增,只要g(1)=1-2a-3a20,解得-1a13;当1a2时,只要g(a)=-4a20,无解;当a2时,g(x)在(1,2)上单调递减,只要g(2)=4-4a-3a20,即3a2+4a-40,解得-2a23,与a2矛盾.综上可知,函数f(x)在区间(1,2)内是增函数时,a的取值范围是-1,13.方法4数形结合法(1)直接使用数形结合法数形结合法是广泛使用的一种数学方法.在求参数范围问题中,使用数形结合的思想就是通过图形位置的变化找到满足题意的参数所需要的条件,进而得出参数的取值范围.典例5已知函数f(x)=x2+3,x0,1+4xcos(2-x),x0,g(x)=kx+1(xr),若函数y=f(x)-g(x)在x-2,3内有4个零点,则实数k的取值范围是()a.22,113b.(22,+)c.22,113d.(23,4思路点拨已知函数的零点个数求参数的取值范围,主要考查考生的数形结合思想和分类讨论思想.本题先考虑x=0时的情形,再考虑x0时的情形:把函数有四个零点转化为方程有四个实根,化简,构造两个新函数,它们的图象有四个交点,画图得结论.答案c解析当x=0时,显然有f(x)g(x),即x=0不是y=f(x)-g(x)的零点.当x0时,y=f(x)-g(x)在x-2,3内的零点个数即方程f(x)=g(x)(-2x3)的实根的个数.当0x3时,有kx+1=x2+3,即k=x+2x;当-2x0时,有kx+1=1+4xcos x,即k=4cos x.所以y=f(x)-g(x)(-2x3)的零点个数等价于函数y=k与y=x+2x,0x3,4cos x,-2x0的图象的交点个数,作出这两个函数的图象,如图所示,由图知22m对任意xr,a(0,+)恒成立,则实数m的取值范围是()a.-,12b.-,22c.(-,2)d.(-,2)思路点拨根据两点间的距离公式得出(x-a)2+(x-ln a)2的几何意义,然后求解.答案a解析式子(x-a)2+(x-ln a)2的几何意义是直线y=x上的点(x,x)到曲线y=ln x上的点(a,ln a)距离的平方.y=ln x的导函数为y=1x,令1x=1,得x=1,即曲线y=ln x上横坐标为1的点处的切线平行于直线y=x,此时切点(1,0)到直线y=x的距离最小,最小值为22,此即为曲线y=ln x上的点与直线y=x上点的距离的最小值,所以(x-a)2+(x-ln a)2min=12,不等式(x-a)2+(x-ln a)2m对任意xr,a(0,+)恒成立,只需m12,故m的取值范围是-,12.故选a.方法5转化为参数与函数值比较法(1)参数与函数的最值比较求不等式恒成立、等式恒成立等问题中参数范围的主要方法之一就是化为参数与函数最值的比较,得出参数满足的不等式求得其范围.典例7定义域为r的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)-2,当x(0,2时, f(x)=x2-x,x(0,1),1x,x1,2,当x(0,4时,t2-7t2f(x)3-t恒成立,则实数t的取值范围是()a.1,2b.2,52c.1,52d.2,+)思路点拨由题意知t2-72tf(x)min且f(x)max3-t.答案a解析易知函数f(x)在(0,2上的值域为-14,012,1.当x(2,4时, f(x)=2f(x-2)-2,其中x-2(0,2,故函数f(x)在(2,4上的值域为-52,-2-1,0.综上可知,函数f(x)在(0,4上的最小值为-52,最大值为1.不等式t2-7t2f(x)3-t对x(0,4恒成立等价于t2-72tf(x)min且f(x)max3-t,即t2-72t-52且13-t,即1t52且t2,即1t2.故实数t的取值范围是1,2.故选a.(2)参数与函数值域的端点值比较在函数、数列问题中有些函数不存在最值,该类问题中参数值就要与值域的端点值进行比较,值得注意的是“等号”能否取得.典例8已知数列an的通项公式为an=2n-1,记数列1anan+1的前n项和为tn,若对任意的nn*,不等式4tna2-a恒成立,则实数a的取值范围为.思路点拨求出4tn的范围,解不等式即可.答案(-,-12,+)解析1anan+1=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1,所以tn=121-13+13-15+12n-1-12n+1=121-12n+112,4tn2,由4tn0,设a,b的夹角为,则4|b|2-42|b|b|cos 0,即cos 1,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,g(x)=logax+x-4的零点为n,则1m+1n的取值范围是()a.(3.5,+)b.1,+)c.(4,+)d.(4.5,+)思路点拨利用指数函数与对数函数图象的特点,得出m+n=4,进行常数代换后利用基本不等式求解.答案b解析直线y=x与直线y=4-x的交点坐标为(2,2),函数y=ax,y=logax与直线y=4-x的交点关于点(2,2)对称,所以两个函数零点之和为4,即m+n=4,所以1m+1n=14(m+n)1m+1n=142+nm+mn14(2+2)=1,其中当a=2时可以使m=n=2,故可以取得等号,即1m+1n的取值范围是1,+).故选b.(3)建立求解目标的不等式(组)建立求解目标的不等式(组),通过解不等式(组)得出求解目标的取值范围是求解范围问题的一个基本方法,很多问题均可使用这个方法解决,如一元二次方程的实根问题、直线与圆锥曲线的位置关系问题等.典例13(1)已知实数x,y满足x1,x+y2,x-y2,若不等式ax-y3恒成立,则实数a的取值范围为()a.(-,4b.-,32c.32,2d.2,4(2)双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为f,左顶点为a,以f为圆心,过点a的圆交双曲线的一条渐近线于p,q两点,若|pq|不小于双曲线的虚轴长,则该双曲线离心率的取值范围是.思路点拨(1)只要ax-y在不等式组表示的平面区域的顶点处的取值不大于3即可;(2)建立关于双曲线离心率的不等式求解即可.答案(1)b(2)(1,3解析(1)不等式组x1,x+y2,x-y2表示的是平面直角坐标系中以点(1,1),(1,-1),(2,0)为顶点的三角形及其内部,由题意知,只要ax-y在上述三点
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