高中数学 13.1数学归纳法及其应用配套课件 理 新人教A版.ppt

第一节数学归纳法及其应用 三年6考高考指数 1 理解数学归纳法的原理 2 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 1 用数学归纳法证明等式问题 不等式问题 数列问题 2 归纳 猜想与证明问题是高考考查的热点 3 主要以解答题的形式出现 具有一定的难度 属中高档题 1 归纳法定义 对特殊情况加以研究而得出一般规律的方法叫做归纳法 它分为不完全归纳法和完全归纳法 1 由部分特殊情况而得出的一般规律的方法叫不完全归纳法 2 对全部 有限的 特殊情况加以研究而得出的一般规律的方法叫完全归纳法 即时应用 根据归纳法的定义判断下列命题的正误 请在括号中填写 或 观察下列式子 6 3 3 8 3 5 10 3 7 5 5 12 5 7 14 3 11 7 7 20 3 17 7 13 归纳 每个大于或等于6且小于或等于20的偶数都可表示为两个奇素数的和 这里采用的是完全归纳法 结论正确 在等差数列 an 中 已知首项为a1 公差为d 那么a1 a1 0 d a2 a1 1 d a3 a1 2 d a4 a1 3 d an 归纳 an a1 n 1 d 结论正确 这里采用的是不完全归纳法 由数列的通项公式an n2 5n 5 2得a1 1 a2 1 a3 1 a4 1 归纳 an 1 n n 这里采用的是不完全归纳法 结论不正确 解析 是对有限个特殊情况加以研究得出的一般规律 应为完全归纳法 是由部分特殊情况得出的一般规律 应为不完全归纳法 是由部分特殊情况得出的一般规律 应为不完全归纳法 又因为a5 25 1 故结论不正确 答案 2 数学归纳法 1 数学归纳法的定义对某些与正整数有关的数学命题常采用下面的方法来证明它们的正确性 先证明 时命题成立 然后假设当n k k n k n0 时命题成立 并证明当 时命题也成立 那么就证明这个命题成立 这种证明方法叫做数学归纳法 它是完全归纳法的一种 当n取第一个值n0 n k 1 2 用数学归纳法证明命题的步骤 证明当n取第一个值n0时结论正确 归纳基础 假设当 k n 且k n0 时结论正确 证明当 时结论也正确 递推依据 根据 可知对于任意n n n n0命题正确 下结论 n k n k 1 即时应用 用数学归纳法证明在验证n 1时 等式左边为 解析 当n 1时 等式左边 1 a a2答案 1 a a2 用数学归纳法证明等式 不等式 方法点睛 1 数学归纳法证明有关命题需注意以下几点 1 两个步骤缺一不可 2 在第一步中 n的初始值不一定从1取起 也不一定只取一个数 证明应视具体情况而定 3 第二步证明n k 1时 必须使用归纳假设 否则就没有了数学归纳法步骤间的严密逻辑关系 造成推理无效 4 证明n k 1成立时 要明确求证的目标形式 一般要凑出归纳假设里给出的形式 以便使用归纳假设 然后再去凑出当n k 1时的结论 这样就能有效减少论证的盲目性 2 用数学归纳法证明与自然数有关的恒等式 不等式 的关键关键在于弄清等式两边的构成规律 等式两边各有多少项 由n k到n k 1时 等式的两边会增加多少项 增加怎样的项 正确寻求n k与n k 1之间的联系 提醒 利用放缩法证明时 不要放得过大或过小 例1 1 2012 南宁模拟 用数学归纳法证明不等式时 在证明n k 1这一步时 需要证明的不等式是 2 对一切大于1的自然数n 证明 解题指南 1 观察不等式的左边共有n项 那么当n k 1时左边第一项应为最后一项应为 2 由于n 1 故应验证n的初始值为2 然后利用数学归纳法的步骤证明 规范解答 1 选d 的左边有n项 在证明n k 1这一步时 需要证明的不等式是故选d 2 当n 2时 假设n k k 2 k n 时命题成立 即 那么当n k 1时 只需证明只要证明4k2 8k 4 4k2 8k 3 此式显然成立 故当n k 1时 不等式仍然成立 由 知 对一切n 1 n n 不等式均成立 互动探究 本例 2 中将不等式变为如何证明 证明 方法一 因为所以 方法二 因为所以 方法三 原式可变为然后采用数学归纳法 同本例 2 解法 反思 感悟 运用数学归纳法证明恒等式 不等式 的要点是 两步一结论 两步 即第一步先验证初始结论 第二步是先假设n k时命题成立 再由n k时的命题作条件 推导n k 1时结论也成立 一结论 是指最后归纳前面两个步骤 得出原结论是成立的 变式备选 用数学归纳法证明 对任意的正偶数n 均有 证明 1 当n0 2时 等式成立 2 假设当n k k 2 k为正偶数 时 等式成立 即当n k 2时 n k 2时 等式成立 由 1 2 知等式对任意正偶数n都成立 归纳 猜想 证明 方法点睛 1 正确理解归纳 猜想 证明的思想方法归纳 猜想 证明是解决数列问题的一种重要方法 这种方法常从特殊情况入手 通过观察 分析 归纳 猜想 探索出一般规律 然后用数学归纳法证明 2 归纳 猜想 证明应注意的问题猜想有可能是错误的 因此在进行数学猜想时 当规律不是很明显时 可多研究几个特例或多计算几项 使猜想更准确 但要注意 这种通过观察 类比 联想 归纳而猜想出的结论 必须通过数学归纳法证明猜想的正确性 例2 已知数列为数列的前n项和 1 计算s1 s2 s3 s4 2 猜想sn的表达式 并用数学归纳法进行证明 解题指南 解决本题可以根据通项求出相应的前四项 然后分别求出s1 s2 s3 s4 再通过观察s1 s2 s3 s4的数字特征猜想sn的表达式 最后采用数学归纳法进行证明 规范解答 1 2 可以猜想下面用数学归纳法来证明 当n 1时 左边猜想成立 假设当n k k 1 k n 时 猜想成立 即 那么 当n k 1时 所以当n k 1时猜想也成立 由 可知 猜想成立 反思 感悟 常规的数列问题都要求先通过归纳求出一个结论 再用数学归纳法证明 这就要求能正确地归纳或者说归纳出一个正确的结论 变式训练 数列 an 的通项公式设f n 1 a1 1 a2 1 an 1 试求f 1 f 2 f 3 f 4 的值 2 猜想f n 的表达式 并证明 解析 2 猜想 证明如下 当n 1时 公式成立 假设n k k 1 k n 时成立 即那么 当n k 1时 f k 1 f k 1 ak 1 由 可知 对任何n n 都成立 变式备选 在数列 an bn 中 a1 2 b1 4 且an bn an 1成等差数列 bn an 1 bn 1成等比数列 n n 1 求a2 a3 a4及b2 b3 b4 由此猜测 an bn 的通项公式 并证明你的结论 2 证明 解析 1 由条件得2bn an an 1 由此可得 a2 6 b2 9 a3 12 b3 16 a4 20 b4 25 猜测an n n 1 bn n 1 2 用数学归纳法证明 当n 1时 由上可得结论成立 假设当n k k 1 k n 时 结论成立 即ak k k 1 bk k 1 2 那么当n k 1时 ak 1 2bk ak 2 k 1 2 k k 1 k 1 k 2 所以当n k 1时 结论也成立 由 可知an n n 1 bn n 1 2对一切正整数都成立 综上 原不等式成立 用数学归纳法证明整除问题和几何问题 方法点睛 1 证明整除问题的方法 1 用数学归纳法证明整除问题 由k过渡到k 1时常使用 拼凑法 2 在证明n k 1命题成立时 先将n k 1时的式子运用拆分 重组或者添项等方式进行整理 最终将其变成一个或多个部分的和 再说明其中每个部分都能被约定的数 或式子 整除 3 由部分的整除性得出整体的整除性 最终证得n k 1时命题也成立 2 证明几何问题用数学归纳法证明几何问题的关键是 找项 即几何元素从k个变成k 1个时 所证的几何量将增加多少 这需用到几何知识或借助于几何图形来分析 也可将n k 1和n k分别代入所证的式子 然后作差 即可求出增加量 这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧 提醒 用数学归纳法证明整除问题的关键是第二步的配凑变形 即把n k 1的命题形式通过添项配凑成n k时的结论加除式的倍式的形式 例3 用数学归纳法证明 对于整数n 0 an 11n 2 122n 1能被133整除 解题指南 证明一个与n有关的式子f n 能被一个数 或一个代数式g n 整除 主要是找到f k 1 与f k 的关系 设法找到式子f1 k f2 k 使得f k 1 f k f1 k af2 k 即可证得命题成立 规范解答 1 当n 0时 a0 112 12 133能被133整除 2 假设当n k k 0 k n 时 ak 11k 2 122k 1能被133整除 当n k 1时 ak 1 11k 3 122k 3 11 11k 2 122 122k 1 11 11k 2 11 122k 1 122 11 122k 1 11 11k 2 122k 1 133 122k 1 当n k 1时 命题也成立 根据 1 2 可知 对于整数n 0 命题都成立 反思 感悟 1 命题中给出了 对于整数n 0 因此推证问题时 第一步应从n 0开始验证 有的问题也可能从其他整数开始 一定要视情况而定 2 解决这类问题关键在于由k推证k 1也成立 为了推出ak 1也能被133整除 采用了加减项的办法 提出因子 凑成假设 这一办法在处理其他有关整除问题时也要注意使用 变式训练 用数学归纳法证明 32n 2 8n 9 n n 能被64整除 证明 1 当n 1时 32 2 8 9 64能被64整除 2 假设n k k 1 k n 时 32k 2 8k 9能被64整除 当n k 1时 32 k 1 2 8 k 1 9 9 32k 2 8k 9 8 9 32k 2 8k 9 64 k 1 32k 2 8k 9与64均能被64整除 9 32k 2 8k 9 及64 k 1 也能被64整除 所以n k 1时 命题成立 由 1 2 可知n n 时 命题成立 变式备选 平面内有n条直线 其中任何两条不平行 任何三条不共点 求证 这n条直线把平面分割成个区域 证明 1 当n 1时 一条直线把平面分成两个区域 又所以n 1时命题成立 2 假设n k k 1 k n 时 命题成立 即k条满足题意的直线把平面分割成了个区域 那么当n k 1时 k 1条直线中的k条把平面分成了个区域 第k 1条直线被这k条直线分成k 1部分 每部分把它所在的区域分成了两块 因此增加了k 1个区域 所以k 1条直线把平面分成了个区域 所以n k 1时命题也成立 根据 1 2 知 对一切的n n 此命题均成立 满分指导 用数学归纳法证明数列主观题的规范解答 典例 12分 2011 天津高考改编 在数列 an 中 a1 0 且对任意k n a2k 1 a2k a2k 1成等差数列 其公差为dk 若dk 2k 证明a2k a2k 1 a2k 2成等比数列 解题指南 本题主要考查等比数列的证明 解决本题可以利用数学归纳法进行证明 也可以利用等比数列的定义或性质来证明 规范解答 方法一 用数学归纳法证明 1 当k 1时 因为a1 a2 a3成公差为2k 2的等差数列 及a1 0 则a2 2 a3 4 当k 2时 因为a3 a4 a5成公差为2k 4的等差数列 及a3 4 则a4 8 a5 12 由a2 2 a3 4 a4 8 所以a2 a3 a4成等比数列 所以当k 1时 结论成立 4分 2 假设对于k k n 结论成立 即a2k 1 a2k a2k 1成公差为dk 2k的等差数列 a2k a2k 1 a2k 2成等比数列 设a2k u 则a2k 1 u 2k 6分又由题设a2k 1 a2k 2 a2k 3成公差为dk 2 k 1 的等差数列 则a2k 2 a2k 1 2 k 1 u 2k 2k 2 u 4k 2 因此解得u 2k2 于是a2k 1 2k2 2k 2k k 1 a2k 2 2k2 2k 2k 2 2 k 1 2 a2k 3 2 k 1 2 2 k 1 2 k 1 k 2 8分再由题设a2k 3 a2k 4 a2k 5成公差为dk 2 k 2 的等差数列 a2k 4 a2k 3 2 k 2 2 k 1 k 2 2 k 2 2 k 2 2 所以 10分 11分于是a2k 2 a2k 3 a2k 4成等比数列 于是对k 1结论成立 由 1 2 知 对任意k n 结论成立 12分 方法二 用直接法证明 由题设可得a2k 1 a2k 1 4k k n 2分所以a2k 1 a1 a2k 1 a2k 1 a2k 1 a2k 3 a3 a1 4k 4 k 1 4 1 2k k 1 4分因为a1 0 所以a2k 1 2k k 1 6分从而由a2k 1 a2k a2k 1成等差数列 其公差为2k得a2k a2k 1 2k 2k2 于是a2k 2 2 k 1 2 8分因此所以 10分于是当dk 2k时 对任意k n a2k a2k 1 a2k 2成等比数列 12分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2012 柳