高考数学一轮总复习 第八章 解析几何 8.9.2 定点、最值与范围问题课时跟踪检测 理.doc

8.9.2 定点、最值与范围问题课 时 跟 踪 检 测1(2018届湖南益阳调研)已知抛物线c：y24x，过其焦点f作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线c于点p1，p2和点p3，p4，线段p1p2，p3p4的中点分别为m1，m2.(1)求线段p1p2的中点m1的轨迹方程；(2)求fm1m2面积的最小值；(3)过m1，m2的直线l是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由解：(1)由题设条件得焦点f坐标为(1,0)，设直线p1p2的方程为yk(x1)，k0.联立得k2x22(2k2)xk20.2(2k2)24k2k216(1k2)0.设p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，m1(x，y)，则x(x1x2)1，yk(x1)，所以x1y2.所以线段p1p2的中点m1的轨迹方程为y22(x1)(x1)(2)由(1)知点m1的坐标为，用代换k可得m2的坐标为(12k2，2k)所以|fm1| ，|fm2| 2|k|，因此sfm1m2|fm1|fm2|24.当且仅当|k|，即k1时，sfm1m2取到最小值4.(3)过定点当k1时，直线l的斜率为k，所以直线l的方程为y2k(x2k21)，即yk2(x3)ky0，当x3，y0时方程对任意的k(k1)均成立，即直线l过点(3,0)当k1时，直线l的方程为x3，也过点(3,0)所以直线l恒过定点(3,0)2已知椭圆c：1(ab0)的离心率为，以原点o为圆心，椭圆c的长半轴长为半径的圆与直线2xy60相切(1)求椭圆c的标准方程；(2)已知点a，b为动直线yk(x2)(k0)与椭圆c的两个交点，问：在x轴上是否存在定点e，使得2为定值？若存在，试求出点e的坐标和定值；若不存在，请说明理由解：(1)由e得，即ca，又以原点o为圆心，椭圆c的长半轴长为半径的圆为x2y2a2，且与直线2xy60相切，a，代入得c2.b2a2c22.椭圆c的方程为1.(2)由得(13k2)x212k2x12k260，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，假设存在定点e(m,0)，使得2为定值，则有2()为定值，要使上式为定值，则应有3m212m103(m26)，即m.此时2m26.所以定点为，定值为.3(2018届贵阳市监测考试)设点f1(c,0)，f2(c,0)分别是椭圆c：y21(a0)的左、右焦点，p为椭圆c上任意一点，且的最小值为0.(1)求椭圆c的方程；(2)如图，动直线l：ykxm与椭圆c有且仅有一个公共点，作f1ml，f2nl分别交直线l于m，n两点，求四边形f1mnf2的面积s的最大值解：(1)设p(x，y)，则(cx，y)，(cx，y)，所以x2y2c2x21c2，xa，a，由题意得，1c20，c1，则a22，所以椭圆c的方程为y21.(2)将直线l的方程l：ykxm代入椭圆c的方程y21中，得(2k21)x24kmx2m220，由直线l与椭圆c有且仅有一个公共点知16k2m24(2k21)(2m22)0，化简得m22k21.设d1|f1m|，d2|f2n|.当k0时，设直线l的倾斜角为，则|d1d2|mn|tan|，所以|mn|d1d2|，s|d1d2|(d1d2).m22k21，当k0时，|m|1，|m|2，s|ab|，所以点p的轨迹z是以a，b为焦点，4为长半轴长的椭圆，所以a4，c2，则b2.所以轨迹z的方程是1.(2)当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，|de|fg|6814；当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程为yk(x2)，d(x1，y1)，e(x2，y2)，联立整理得(34k2)x216k2x16k2480，所以x1x2，x1x2，所以|de| ，同理可