高中数学 7.3直线与平面垂直配套课件 苏教版.ppt

第三节直线与平面垂直 三年1考高考指数 1 直线与平面垂直 1 直线与平面垂直的定义直线a与平面 垂直 直线a与平面 内的 都垂直 任意一条直线 2 直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么这条直线与此平面垂直 m n a a 符号语言 a m a n m n m n a a 3 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 性质定理 如果两条直线垂直于同一个平面 那么这两条直线平行 a b a b a b 符号语言 即时应用 1 思考 能否将直线与平面垂直的定义中的 任意一条直线 改为 无数条直线 提示 不可以 当这无数条直线平行时 直线a有可能在平面 内 或者a与平面 相交但不垂直 2 直线a 平面 直线b 平面 则a与b的位置关系是 解析 由b 可得b平行于 内的一条直线 设为b 因为a 所以a b 从而a b 但a与b可能相交 也可能异面 答案 垂直 2 点面 线面距离及线面角 1 点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线 的距离 叫做这个点到这个平面的距离 2 直线和平面的距离一条直线和一个平面平行 这条直线上 到这个平面的距离 叫做这条直线和这个平面的距离 这个点和垂足间 任意一点 3 直线与平面所成的角 定义 平面的一条斜线与它在这个平面内的 所成的 叫做这条直线与这个平面所成的角 如图 斜线ap与平面 所成的角是 线面角 的范围 0 特别地 当直线与平面平行或在平面内时 规定直线与平面所成的角为 当直线与平面垂直时 规定直线与平面所成的角为 射影 锐角 pao 0 的角 直角 即时应用 1 思考 如果两直线与一个平面所成的角相等 则这两直线一定平行吗 提示 不一定 这两直线的位置关系可能平行 相交或异面 2 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 b1c与平面a1b1c1d1所成的角为 其大小为 d1b与平面abcd所成的角的正弦值为 解析 b1c与平面a1b1c1d1所成的角为 cb1c1 其大小为45 连结bd 则d1b与平面abcd所成的角为 d1bd 其正弦值为 答案 cb1c145 直线与平面垂直的判定 方法点睛 证明线面垂直的常用方法 方法一 方法二 方法三 方法四 利用判定定理 利用平行线垂直于平面的传递性 利用面面平行的性质 利用面面垂直的性质 a b a b a a 提醒 解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写解题过程 否则容易失分 如用判定定理证明线面垂直时 一定要体现 平面中的两条相交直线 这一条件 例1 1 已知如图 六棱锥p abcdef的底面是正六边形 pa 平面abc 则下列结论正确的是 cd 平面paf df 平面paf cf 平面pab cf 平面pad 2 如图 三棱锥p abc中 pa 底面abc ab bc de垂直平分线段pc 且分别交ac pc于d e两点 又pb bc pa ab 求证 pc 平面bde 若点q是线段pa上任一点 判断bd dq的位置关系 并证明你的结论 若ab 2 求三棱锥b ced的体积 解题指南 1 根据线面平行 垂直的判定定理来判断 2 利用线面垂直的判定定理证明 证明bd 平面pac即可得出结论 根据vb ced vc bde 转化为求s bde及ce的问题 规范解答 1 由正六边形的性质得cd af cf ab 故 正确 因为pa 平面abc 所以pa df 又df af pa af a 故df 平面paf 即 正确 答案 2 由等腰三角形pbc 得be pc 又de垂直平分pc de pc be 平面bde且de 平面bde be de e pc 平面bde 由 得 pc bd 因为pa 底面abc 所以pa bd pc 平面pac pa 平面pac pc pa p bd 平面pac 当点q是线段pa上任一点时都有bd dq pa ab 2 pb bc 2 ab bc ac 2 pc 4 ce 2 且 cde cpa 由 知 bd de vb ced vc bde s bde ce 2 互动探究 本例 2 若改为 设q是线段pa上任意一点 求证 平面bdq 平面pac 则如何求解 证明 由 2 的解法可知bd 平面pac 又bd 平面bdq 平面bdq 平面pac 反思 感悟 1 在证明垂直关系时 要注意线面垂直与面面垂直之间的相互转化 同时要注意通过作辅助线进行这种转化 这是证垂直时常用到的方法 2 解题时要重视对图形的观察与分析 从中找到线线垂直是解题的关键 所有的垂直问题都可转化为线线垂直来处理 变式备选 如图所示 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab bc 1 aa1 2 e是侧棱bb1的中点 1 求证 a1e 平面ade 2 求三棱锥a1 ade的体积 解析 1 由勾股定理知 a1e ae 则a1a2 a1e2 ae2 a1e ae ad 平面aa1b1b a1e 平面aa1b1b a1e ad 又ad ae a a1e 平面ade 2 由题意得 线面垂直的性质 方法点睛 线面垂直性质的应用当直线和平面垂直时 直线与平面内的所有直线都垂直 常利用这个结论来证明线线垂直 这种方法体现了 线线垂直 与 线面垂直 间的相互转化 例2 2012 泰州模拟 如图 四边形abcd是矩形 bc 平面abe f为ce上的点 且bf 平面ace 1 求证 ae be 2 设点m为线段ab的中点 点n为线段ce的中点 求证 mn 平面dae 解题指南 1 要证ae be 只要证ae与过be的平面垂直或be与过ae的平面垂直 2 要证mn 平面dae 只要在平面dae内找到一条直线与mn平行 可采用构造平行四边形的方法 规范解答 1 2 取de的中点p 连结pa pn p为de的中点 pn dc 且pn dcn为ce的中点四边形abcd是矩形 am dc 且am dcm为ab的中点 pn am且pn am 四边形amnp是平行四边形 mn apap 平面dae mn 平面dae mn 平面dae 反思 感悟 空间中线线垂直与平面内线线垂直不同 增加了异面直线垂直的情况 因此在空间中证明线线垂直 通常要考虑转化为证明线面垂直 变式训练 如图 已知矩形abcd 过点a作sa 平面abc 再过点a作ae sb于点e 过点e作ef sc于点f 1 求证 af sc 2 若平面aef交sd于点g 求证 ag sd 解析 1 sa 平面abc bc 平面abc sa bc 四边形abcd是矩形 ab bc ab sa a bc 平面sab ae 平面sab bc ae sb ae bc sb b ae 平面sbc sc 平面sbc ae sc ef sc ae ef e sc 平面aef af 平面aef af sc 2 sa 平面abc dc 平面abc sa dc 四边形abcd为矩形 ad dc 又sa ad a dc 平面sad ag 平面sad dc ag 由 1 有sc 平面aef ag 平面aef sc ag sc dc c ag 平面sdc sd 平面sdc ag sd 变式备选 如图 在四棱锥p abcd中 pd 底面abcd 底面abcd是直角梯形 dc ab bad 90 且ab 2ad 2dc 2pd 4 e为pa的中点 1 证明 de 平面pbc 2 证明 de 平面pab 证明 1 设pb的中点为f 连结ef cf ef ab 所以ef dc 且ef dc ab 故四边形cdef为平行四边形 可得ed cf ed 平面pbc cf 平面pbc 故de 平面pbc 2 因为pd 平面abcd ab 平面abcd 所以ab pd 又因为ab ad pd ad d ad 平面pad pd 平面pad 所以ab 平面pad ed 平面pad 故ed ab 又pd ad e为pa的中点 故ed pa pa ab a pa 平面pab ab 平面pab 所以de 平面pab 满分指导 垂直关系综合题的规范解答 典例 14分 2011 辽宁高考 如图 四边形abcd为正方形 qa 平面abcd pd qa qa ab pd 1 证明 pq 平面dcq 2 求棱锥q abcd的体积与棱锥p dcq的体积的比值 解题指南 1 证明pq dc pq qd 进而可得pq 平面dcq 2 设出正方形的边长为a 分别计算两个棱锥的体积 再求体积的比值 规范解答 1 由条件知pdaq为直角梯形 因为qa 平面abcd qa 平面pdaq 所以平面pdaq 平面abcd 交线为ad 2分又四边形abcd为正方形 dc ad 所以dc 平面pdaq 4分 又pq 平面pdaq 所以pq dc 在直角梯形pdaq中可得dq pq pd 则pq qd 6分又dc qd d 所以pq 平面dcq 8分 2 设ab a 由题设知aq为棱锥q abcd的高 所以棱锥q abcd的体积v1 a3 10分由 1 知pq为棱锥p dcq的高 而pq a dcq的面积为a2 所以棱锥p dcq的体积v2 a3 13分故棱锥q abcd的体积与棱锥p dcq的体积的比值为1 14分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2012 扬州模拟 如图 如果mc 菱形abcd所在的平面 那么ma与bd的位置关系是 解析 mc 菱形abcd 据异面直线的知识知ma与bd的位置关系是异面 连结ac 则bd ac mc 平面abcd mc bd 又mc ac c bd 平面mca ma 平面mca bd ma ma与bd异面垂直 答案 异面垂直 2 2012 扬州模拟 设m n为空间的两条直线 为空间的两个平面 给出下列命题 1 若m m 则 2 若m m 则 3 若m n 则m n 4 若m n 则m n 其中真命题的序号是 解析 1 若m m 则 与 有可能相交 故 1 错 2 若m m 则 正确 3 若m n 则m n 正确 4 正确 答案 2 3 4 3 2012 烟台模拟 如图 ab为圆o的直径 点e f在圆o上 且ab ef 矩形abcd所在的平面和圆o所在的平面互相垂直 且ab 2 ad ef