高考数学 专题2.1 多点开花巧求向量内积小题大做.doc

专题2.1 多点开花巧求向量内积一、典例分析，融合贯通典例1 如图为边长为2的等边三角形，在线段上有一点,则= .【解法1】（定义法）如图：.【点睛之笔】本题关键在于构造，求出.【解法2】（基底法）以为基底表示，又三点共线，=3=18.【点睛之笔】把化为,利用三点共线，再把用基底表示.【点睛之笔】建立坐标系，内积数量化.【解法4】（特值法）令与重合，【点睛之笔】小题小做，提速神器.【解后反思】解法1：从定义出发，直接在直角三角形求夹角的余弦，利用直角三角形中余弦的定义，化简求出最后结果. 解法2：利用平面向量基本定理，目标明确以 为基底，（注意必须是不共线的）利用了转化思想，简单实用. 解法3：利用数量积的计算公式，内积数量化，简化思维过程，体现数形结合思想.（适合有垂直的条件的习题）.解法4：充分利用填空题的特点，小题小做，以特殊代替一般，让动点p具体化，是解决选择填空题常用的方法.本题四种解法包括了求向量内积常用的几种方法和特值法，方法多元化，能举一反三，起到事半功倍的效果，与其跳进题海不能自拔，不如仔细研究这样一题收获丰厚. 典例2【2015天津，理14】在等腰梯形 中，已知，动点 和分别在线段和上，且，则的最小值为 .【解法1】【等价转化思想】因为，当且仅当，即时，的最小值为.【点睛之笔】以为基底，利用均值不等式求解.【点睛之笔】等腰梯形适合建立坐标系，内积数量化之典例.【解法3】【数形结合思想】由题意得，过、作，垂足分别为、则，设，则，当且仅当，即时，的最小值为.abhcdefg【点睛之笔】数形结合显神威！【解后反思】方法1：在向量运算中常用平面向量基本定理，即在平面内选一组适当的向量（必须不共线）作为基向量，根据向量加减法运算法则将所求向量数量积转化为基向量数量积，结合向量的数量积定义表示要运算的向量,充分体现了等价转化思想的应用；方法2：本解法通过建立平面直角坐标系，根据具体的图形性质用坐标表示向量，再利用向量数量积的坐标式进行计算，体现了几何问题转化为代数问题的解题策略；方法3：从平面几何性质出发，利用三角形表示欲求向量的模及夹角，几何条件与三角代数结合是本方法的关键. 典例3（2017高考全国卷理12题）已知是边长为2的等边三角形，p为平面abc内一点，则的最小值是（ ）a. b. c. d.【解法1】（坐标法） 如图建系： 设点 点为中点可以有两种思路：【点睛之笔】本题由于是在等边三角形中的问题，可以考虑用坐标法解决.把所求的向量内积转化成坐标形式，进一步求出最小值. 【解法2】(基底转换法),当点与重合时=,等号成立. 【点睛之笔】基底表示法是解决向量问题的一利器！.【解法3】 极化恒等式法（1）由解法一可知：，由利用极化恒等式得：，当点与重合时=,.【解法4】极化恒等式法（2）设分别为中点， ,利用性质：“在平行四边形中对角线的平方和等于各边的平方和”得：当点与重合时取最小值. 【点睛之笔】利用极化恒等式进行转换.【点睛之笔】利用定义结合余弦定理.【解后反思】解法1：构造直角坐标系，典型又直接.在有垂直的条件下建立坐标系是首选方法.解法2：选择不共线的向量作为基底，把表示出来，体现了转化的思想.解法3和解法4利用了向量的一个性质.积累一些常见结论，适当运用可以起到事半功倍的效果.解法5：利用了余弦定理和“在平行四边形中对角线的平方和等于各边的平方和”体现了数形结合的思想.二、精选试题，能力升级1. 在rtabc中,ca=cb=3,m,n是斜边ab上的两个动点,且mn=2,则cmcn的取值范围为()a.2,52b.2,4c.3,6d.4,6【答案】d 2. 已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）a13 b15 c19 d21【答案】a【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，即，所以，因此，因为，所以 的最大值等于，当，即时取等号3. 已知向量，若与的夹角为60，且，则实数的值为（ ）a. b. c. 6 d. 4【答案】a【解析】 ， ，故选a.4.在矩形abcd中，ab=1，ad=2，动点p在以点c为圆心且与bd相切的圆上.若= +，则+的最大值为a3b2cd2【答案】a 5.在中， ， ， ， 为边上的高， 为的中点， ，则（ ）a. b. c. d. 1【答案】a 6.在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点若，则（ ）a b c d【答案】c【解析】如下图所示，设，又，由平面向量基本定理可得，故选c7.已知菱形的边长为4， ，点， 分别在边， 上， ， （，且），若，则的值为_【答案】8 8.已知向量与的夹角为，且若且,则