高考数学一轮复习 第八篇 平面解析几何 第5节 抛物线训练 理 新人教版.doc

第5节抛物线【选题明细表】知识点、方法题号抛物线的标准方程与几何性质1,2,3,7抛物线的定义及其应用6,8,9,11抛物线定义、标准方程及几何性质的综合应用4,5,10,12,13,14基础巩固(时间:30分钟)1.设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y-8=0上,则该抛物线的准线方程为(d)(a)x=-1(b)x=-2(c)x=-3(d)x=-4解析:因为抛物线y2=2px的焦点（,0）在2x+3y-8=0上,所以p=8,所以抛物线的准线方程为x=-4.故选d.2.已知抛物线c与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线c的方程是(d)(a)y2=2x(b)y2=2x(c)y2=4x(d)y2=4x解析:因为双曲线的焦点为(-,0),(,0),设抛物线方程为y2=2px(p0),则=,所以p=2,所以抛物线方程为y2=4x.故选d.3.(2016全国卷)以抛物线c的顶点为圆心的圆交c于a,b两点,交c的准线于d,e两点.已知|ab|=4,|de|=2,则c的焦点到准线的距离为(b)(a)2(b)4(c)6(d)8解析:以开口向右的抛物线为例,设抛物线方程为y2=2px(p0),圆的方程为x2+y2=r2,设a(x0,2),d（-,）,点a(x0,2)在抛物线y2=2px上,所以8=2px0, 点d（-,）在圆x2+y2=r2上,所以5+（-）2=r2, 点a(x0,2)在圆x2+y2=r2上,所以+8=r2, 联立解得p=4,焦点到准线的距离为4.故选b.4.(2018汕头市一模)已知抛物线c:y2=8x的焦点为f,准线与x轴的交点为k,点a在c上且|ak|=|af|,则afk的面积为(b)(a)4(b)8(c)16 (d)32解析:因为抛物线c:y2=8x的焦点为f(2,0),准线为x=-2,所以k(-2,0).设a(x0,y0),过a点向准线作垂线ab,则b(-2,y0).因为|ak|=|af|,又|af|=|ab|=x0-(-2)=x0+2,所以由|bk|2=|ak|2-|ab|2得=(x0+2)2,即8x0=(x0+2)2,解得x0=2,则a(2,4),所以afk的面积为|kf|y0|=44=8.故选b.5.(2017上饶市一模)已知抛物线c:y2=8x的焦点为f,点m(-2,2),过点f且斜率为k的直线与c交于a,b两点,若=0,则k等于(d)(a)(b)(c)(d)2解析:由抛物线c:y2=8x得焦点f(2,0).由题意可知,斜率k存在,设直线ab为y=k(x-2),代入抛物线方程,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,0.设a(x1,y1),b(x2,y2),所以x1+x2=4+,x1x2=4,所以y1+y2=k(x1-2)+k(x2-2)=k(x1+x2)-4=,y1y2=-=-8=-16.又=0,所以=(x1+2,y1-2)(x2+2,y2-2)=(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=-+4=0,所以k=2.故选d.6.已知点p是抛物线y2=2x上的动点,且点p在y轴上的射影是m,点a(,4),则|pa|+|pm|的最小值是(c)(a)(b)4(c)(d)5解析:抛物线焦点f(,0),准线x=-,如图,延长pm交准线于n,由抛物线定义得|pf|=|pn|.因为|pa|+|pm|+|mn|=|pa|+|pn|=|pa|+|pf|af|=5,而|mn|=,所以|pa|+|pm|5-=,当且仅当a,p,f三点共线时,取“=”号,此时,p位于抛物线上,所以|pa|+|pm|的最小值为.故选c.7.(2017茂名市一模)探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点上,已知灯口直径是60 cm,灯深40 cm,则光源到反射镜顶点的距离是cm.解析:设抛物线方程为y2=2px(p0),点(40,30)在抛物线y2=2px上,所以900=2p40.所以p=.所以=.因此,光源到反射镜顶点的距离为 cm.答案:能力提升(时间:15分钟)8.已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦ab,则ab的中点到x轴的最短距离为(d)(a)(b)(c)1(d)2解析: 由题意知,抛物线的准线l:y=-1,过点a作aa1l交l于点a1,过点b作bb1l交l于点b1,设弦ab的中点为m,过点m作mm1l交l于点m1,则|mm1|=.因为|ab|af|+|bf|(f为抛物线的焦点),即|af|+|bf|6,所以|aa1|+|bb1|6,2|mm1|6,|mm1|3,故点m到x轴的距离d2.故选d.9.(2017白山市一模)已知抛物线y2=6x的焦点为f,准线为l,点p为抛物线上一点,且在第一象限,pal,垂足为a,|pf|=2,则直线af的倾斜角为(d)(a)(b)(c)(d)解析:如图,设p(x0,y0),因为|pf|=2=x0+1.5,所以x0=0.5.所以|bf|=1.5-0.5=1,所以bpf=,从而pfb=,因为|pa|=|pf|=2,所以paf=pfa.又paf=afb,所以afb=pfb=.故选d.10.(2017长沙市模拟)已知椭圆e的中心在坐标原点,离心率为,e的右焦点与抛物线c:y2=8x的焦点重合,a,b是c的准线与e的两个交点,则|ab|=.解析:椭圆e的中心在坐标原点,离心率为,e的右焦点(c,0)与抛物线c:y2=8x的焦点(2,0)重合,可得c=2,a=4,b2=12,椭圆的标准方程为+=1.抛物线的准线方程为x=-2,联立解得y=3,所以a(-2,3),b(-2,-3),则|ab|=3-(-3)=6.答案:611.设抛物线c:y2=4x的焦点为f,m为抛物线c上一点,n(2,2),则|mf|+|mn|的取值范围是.解析: 当x=2时,y=2,所以点n在抛物线的内部,如图所示,作mp垂直于抛物线的准线于点p,由抛物线的定义可知|mf|=|mp|,所以|mf|+|mn|=|mp|+|mn|pn|,当且仅当p,m,n三点共线时等号成立,此时|pn|=2+1=3,所以|mf|+|mn|3.答案: 3,+)12.(2017湖北安庆市二模)已知抛物线x2=2py(p0),f为其焦点,过点f的直线l交抛物线于a,b两点,过点b作x轴的垂线,交直线oa于点c,如图所示.(1)求点c的轨迹m的方程;(2)直线m是抛物线的不与x轴重合的切线,切点为p,准线与直线m交于点q,求证:以线段pq为直径的圆过点f.(1)解:由题意可得,直线l的斜率存在,设方程为y=kx+.设a(x1,y1),b(x2,y2),动点c(x,y),由可得x2-2pkx-p2=0,可得x1x2=-p2.oa:y=x=x,bc:x=x2.由可得y=x2=-,即点c的轨迹m的方程为y=-.(2)证明:设直线m的方程为y=kx+m,由可得x2-2pkx-2pm=0,可得=4p2k2+8pm,因为直线m与抛物线相切,所以=0,可得pk2+2m=0,可得p(pk,-m),又由可得q(-,-),=(pk,-m-)(-,-p)=- (p+2m)+pm+=0,可得fpfq,所以以线段pq为直径的圆过点f.13.(2018南阳、信阳等六市一模)如图,抛物线c:y2=2px的焦点为f,抛物线上一定点q(1,2).(1)求抛物线c的方程及准线l的方程;(2)过焦点f的直线(不经过q点)与抛物线交于a,b两点,与准线l交于点m,记qa,qb,qm的斜率分别为k1,k2,k3,问是否存在常数,使得k1+k2=k3成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.解:(1)把q(1,2)代入y2=2px,得2p=4,所以抛物线方程为y2=4x,准线l的方程为x=-1.(2)由条件可设直线ab的方程为y=k(x-1),k0.由抛物线准线l:x=-1,可知m(-1,-2k),又q(1,2),所以k3=k+1.把直线ab的方程y=k(x-1)代入抛物线方程y2=4x,并整理,可得k2x2-(2k2+4) x+k2=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1.又q(1,2),故k1=,k2=.因为a,f,b三点共线,所以kaf=kbf=k,即=k,所以k1+k2=+=2(k+1),即存在常数=2,使得k1+k2=2k3成立.14.导学号 38486180(2017四川遂宁市二诊)已知点f(0,1)为抛物线x2=2py的焦点.(1)求抛物线c的方程;(2)点a,b,c是抛物线上三点且+=0,求abc面积的最大值.解:(1)由题意知=1,即p=2,所以抛物线c的方程为x2=4y.(2)令a(x1,),b(x2,),c(x3,),不妨设直线ab与y轴交于点d(0,yd),所以=,即yd=-.又因为+=0,所以点f为abc的重心.由点f的坐标为(0,1),所以=0,=1.从而x1+x2=-x3,+=12-,所以2x1x2=(x1+x2)2-(+)=2-12,即x1x2=-6,所以sabc=3sabf=3|1-yd|x2-x1|,= (1+)2(+-2x1x2)=(4+-6)2(12-2+