高考数学二轮复习 专题五 立体几何 专题对点练17 空间中的垂直、夹角及几何体的体积 文.doc

专题对点练17空间中的垂直、夹角及几何体的体积1.(2018江苏,15)在平行六面体abcd-a1b1c1d1中,aa1=ab,ab1b1c1.求证:(1)ab平面a1b1c;(2)平面abb1a1平面a1bc.2.如图,在三棱台abc-def中,平面bcfe平面abc,acb=90,be=ef=fc=1,bc=2,ac=3.(1)求证:bf平面acfd;(2)求直线bd与平面acfd所成角的余弦值.3.由四棱柱abcd-a1b1c1d1截去三棱锥c1-b1cd1后得到的几何体如图所示.四边形abcd为正方形,o为ac与bd的交点,e为ad的中点,a1e平面abcd.(1)证明:a1o平面b1cd1;(2)设m是od的中点,证明:平面a1em平面b1cd1.4.如图,在四棱锥p-abcd中,平面pad平面abcd,abdc,pad是等边三角形,已知bd=2ad=8,ab=2dc=45.(1)设m是pc上的一点,证明:平面mbd平面pad;(2)求四棱锥p-abcd的体积.5.如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd是平行四边形,adc=45,ad=ac=2,o为ac的中点,po平面abcd,且po=6,m为pd的中点.(1)证明:ad平面pac;(2)求直线am与平面abcd所成角的正切值.6.(2018北京,文18)如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd为矩形,平面pad平面abcd,papd,pa=pd,e,f分别为ad,pb的中点.求证:(1)pebc;(2)平面pab平面pcd;(3)ef平面pcd.7.如图,在直角梯形abcd中,adbc,abc=90,ab=bc=2,ad=6,cead于点e,把dec沿ce折到dec的位置,使da=23,如图.若g,h分别为db,de的中点.(1)求证:ghda;(2)求三棱锥c-dbe的体积.8.如图,在四棱锥s-abcd中,abcd,bccd,侧面sab为等边三角形,ab=bc=2,cd=sd=1.(1)证明:sd平面sab;(2)求四棱锥s-abcd的高.专题对点练17答案1.证明 (1)在平行六面体abcd-a1b1c1d1中,aba1b1.因为ab平面a1b1c,a1b1平面a1b1c,所以ab平面a1b1c.(2)在平行六面体abcd-a1b1c1d1中,四边形abb1a1为平行四边形.又因为aa1=ab,所以四边形abb1a1为菱形,因此ab1a1b.又因为ab1b1c1,bcb1c1,所以ab1bc.又因为a1bbc=b,a1b平面a1bc,bc平面a1bc,所以ab1平面a1bc.因为ab1平面abb1a1,所以平面abb1a1平面a1bc.2.(1)证明 延长ad,be,cf相交于一点k,如图所示.因为平面bcfe平面abc,且acbc,所以ac平面bck,因此bfac.又因为efbc,be=ef=fc=1,bc=2,所以bck为等边三角形,且f为ck的中点,则bfck.所以bf平面acfd.(2)解 因为bf平面ack,所以bdf是直线bd与平面acfd所成的角.在rtbfd中,bf=3,df=,得cosbdf=217,所以,直线bd与平面acfd所成角的余弦值为217.3.证明 (1)取b1d1的中点o1,连接co1,a1o1,由于abcd-a1b1c1d1是四棱柱,所以a1o1oc,a1o1=oc,因此四边形a1oco1为平行四边形,所以a1oo1c.又o1c平面b1cd1,a1o平面b1cd1,所以a1o平面b1cd1.(2)因为acbd,e,m分别为ad和od的中点,所以embd,又a1e平面abcd,bd平面abcd,所以a1ebd,因为b1d1bd,所以emb1d1,a1eb1d1.又a1e,em平面a1em,a1eem=e,所以b1d1平面a1em,又b1d1平面b1cd1,所以平面a1em平面b1cd1.4.(1)证明 在abd中,因为ad=4,bd=8,ab=45,所以ad2+bd2=ab2.所以adbd.又平面pad平面abcd,平面pad平面abcd=ad,bd平面abcd,所以bd平面pad.又bd平面mbd,故平面mbd平面pad.(2)解 过点p作poad交ad于点o,因为平面pad平面abcd,所以po平面abcd,所以po为四棱锥p-abcd的高.又pad是边长为4的等边三角形,因此po=324=23.在底面四边形abcd中,abdc,ab=2dc,所以四边形abcd是梯形.在rtadb中,斜边ab边上的高为4845=855,此即为梯形abcd的高,所以四边形abcd的面积为s=25+452855=24.故vp-abcd=2423=163.5.(1)证明 po平面abcd,且ad平面abcd,poad.adc=45,且ad=ac=2,acd=45,dac=90,adac.ac平面pac,po平面pac,且acpo=o,ad平面pac.(2)解 取do的中点n,连接mn,an,由po平面abcd,得mn平面abcd,man是直线am与平面abcd所成的角.m为pd的中点,mnpo,且mn=po=3,an=do=52.在rtanm中,tanman=mnan=352=655,即直线am与平面abcd所成角的正切值为655.6.证明 (1)pa=pd,且e为ad的中点,pead.底面abcd为矩形,bcad,pebc.(2)底面abcd为矩形,abad.平面pad平面abcd,ab平面pad.abpd.又papd,paab=a,pd平面pab.pd平面pcd,平面pab平面pcd.(3)如图,取pc的中点g,连接fg,gd.f,g分别为pb和pc的中点,fgbc,且fg=bc.四边形abcd为矩形,且e为ad的中点,edbc,ed=bc,edfg,且ed=fg,四边形efgd为平行四边形,efgd.又ef平面pcd,gd平面pcd,ef平面pcd.7.(1)证明 连接be,gh,ac,在aed中,ed2=ae2+ad2,可得adae.又dc=ed2+ce2=25,ac=22,可得ac2+ad2=cd2,可得adac.因为aeac=a,所以ad平面abce,所以adbe.又g,h分别为db,de的中点,所以ghbe,所以ghda.(2)解 设三棱锥c-dbe的体积为v,则v=sbcead=13122223=433.8.(1)证明 如图,取ab的中点e,连接de,se,则四边形bcde为矩形,de=cb=2,ad=de2+ae2=5.侧面sab为等边三角形,ab=2,sa=sb=ab=2,且se=3.又sd=1,sa2+sd2=ad2,sb2+sd2=bd2,sdsa,sdsb.sasb=s,sd平面sab.(2)解 设四棱锥