高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第43讲 空间向量及其运算学案.doc

第43讲空间向量及其运算考纲要求考情分析命题趋势1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置2会推导空间两点间的距离公式.2017全国卷，162016山东卷，17空间直角坐标系、空间向量及其运算在高考中主要作为解题工具，解决直线、平面的平行、垂直位置关系的判定等问题.分值：3分1空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为_0_的向量0单位向量长度(模)为_1_的向量相等向量方向_相同_且模_相等_的向量ab相反向量方向_相反_且模_相等_的向量a的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相_平行或重合_的向量ab共面向量平行于同一个_平面_的向量2空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a(a0)与b共线的充要条件是存在实数，使得_ba_.推论如图所示，点p在l上的充要条件是ta.其中a叫直线l的方向向量，tr，在l上取a，则可化为t或_(1t)t_.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p_x ay b_，其中x，yr，a，b为不共线向量，推论的表达式为xy或对空间向量任意一点o，有_xy_或xyz，其中xyz_1_.(3)空间向量基本定理如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数1，2，3，使得a_1e12e23e3_，空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫做这个空间的一个基底3空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点o，作a，b，则aob叫做向量a与b的夹角，记作_a，b_，其范围是_0a，b_，若a，b，则称a与b_互相垂直_，记作ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则_|a|b|cos a，b_叫做向量a，b的数量积，记作_ab_，即ab_|a|b|cos a，b_.(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b_(ab)_；交换律：ab_ba_；分配律：a(bc)_abac_.4空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积ab_a1b1a2b2a3b3_共线ab(b0，br)_a1b1，a2b2，a3b3_垂直ab0(a0，b0)_a1b1a2b2a3b30_模|a|_夹角a，b(a0，b0)cosa，b1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)空间中任意两个非零向量a，b共面()(2)对任意两个空间向量a，b，若ab0，则ab.()(3)若a，b，c是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量()(4)若ab0，0，0，0，则该四边形为(d)a平行四边形b梯形c长方形d空间四边形解析 由已知得0，0，0，0，由夹角的定义知b，c，d，a均为钝角，故a，b，c项不正确课时达标第43讲解密考纲空间向量及其应用的考查以解答题为主，多作为解答题的第二种解法(第一种解法为几何法，第二种解法为向量法)，难度中等一、选择题1点m(8,6,1)关于x轴的对称点的坐标是(a)a(8，6，1)b(8，6，1)c(8，6,1)d(8，6,1)解析 结合空间直角坐标中，点关于x轴对称的点的坐标特点知选项a正确2o为空间任意一点，若，则a，b，c，p四点(b)a一定不共面b一定共面c不一定共面d无法判断解析 ，且1，a，b，c，p四点共面3已知a(2,3，4)，b(4，3，2)，bx2a，则x(b)a(0,3，6)b(0,6，20)c(0,6，6)d(6,6，6)解析 bx2a，x4a2b即x(8,12，16)(8，6，4)(0,6，20)4已知a(2,1，3)，b(1,2,3)，c(7,6，)，若a，b，c三向量共面，则(b)a9b9c3d3解析 由题意知cxayb，即(7,6，)x(2,1，3)y(1,2,3)，所以解得9.5若平面，的法向量分别为n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，则(c)abc，相交但不垂直d以上均不正确解析 由n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，n1和n2不平行，与不平行；又n1n26320290，与不垂直6平行六面体abcda1b1c1d1中，向量，两两夹角均为60，且|1，|2，|3，则|(a)a5b6c4d8解析 由题可得，故22222()1492(121323)cos 6025，故|ac1|5.二、填空题7在空间直角坐标系中，点p(1，)，过点p作平面yoz的垂线pq，则垂足q的坐标为_(0，)_.解析 依题意知，垂足q为点p在平面yoz上的投影，则点q的纵、竖坐标与点p的纵、竖坐标相等，横坐标为0.8如图所示，在长方体abcda1b1c1d1中，o为ac的中点用，表示，则_.解析 由题意知().9已知点a(1,2,1)，b(1,3,4)，d(1,1,1)，若2，则|_.解析 设p(x，y，z)，故(x1，y2，z1)，(1x,3y,4z)，又2，则有解得p(，3)，|.三、解答题10如图，在棱长为a的正方体oabco1a1b1c1中，e，f分别是棱ab，bc上的动点，且aebfx，其中0xa，以o为原点建立空间直角坐标系oxyz.(1)写出点e，f的坐标；(2)求证：a1fc1e；(3)若a1，e，f，c1四点共面，求证：.解析 (1)e(a，x,0)，f(ax，a,0)(2)证明：a1(a,0，a)，c1(0，a，a)，(x，a，a)，(a，xa，a)，axa(xa)a20，a1fc1e.(3)证明：a1，e，f，c1四点共面，共面选与为一组基向量，则存在唯一实数对(1，2)，使12，即(x，a，a)1(a，a,0)2(0，x，a)(a1，a1x2，a2)，解得1，21.于是.11如图，在底面是矩形的四棱锥pabcd中，pa底面abcd，e，f分别是pc，pd的中点，paab1，bc2.(1)求证：ef平面pab；(2)求证：平面pad平面pdc证明 以a为原点，ab所在直线为x轴，ad所在直线为y轴，ap所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0,0,0)，b(1,0,0)，c(1,2,0)，d(0,2,0)，p(0,0,1)，e，f，(1,0，1)，(0,2，1)，(0,0,1)，(0,2,0)，(1,0,0)，(1,0,0)(1)，即efab又ab平面pab，ef平面pab，ef平面pab(2)(0,0,1)(1,0,0)0，(0,2,0)(1,0,0)0，.即apdc，addc又apada，dc平面paddc平面pdc，平面pad平面pdc12在四棱锥pabcd中，pd底面abcd，底面abcd为正方形，pddc，e，f分别是ab，pb的中点(1)求证：efcd；(2)在平面pad内是否存在一点g，使gf平面pcb若存在，求出点g的坐标；若不存出，试说明理由解析 (1)证明：如图，以da，dc，dp所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设ada，则d(0,0,0)，