高考数学 专题37 两直线位置关系黄金解题模板.doc

专题37 两直线位置关系【高考地位】两直线位置关系，是高考的必考内容之一. 其要求的难度不高，一般从下面三个方面命题：一是利用直线方程判定两条直线的位置关系；二是利用两条直线间的位置关系求直线方程；三是综合运用直线的知识解决诸如中心对称、轴对称等常见的题目，但大都是客观题出现.【方法点评】类型一 两条直线的平行与垂直问题使用情景：关于两直线的平行于垂直的问题解题模板：第一步 直接运用两直线平行与垂直的性质对其进行求解；第二步 得出结论.例1. 若直线和直线互相垂直，则的值为( )a b c或 d【答案】c.考点：若两直线垂直，斜率存在时，其乘积为【点评】在两直线的斜率存在的情况下，两直线垂直其斜率的乘积等于-1.若斜率不存在时，另一直线的斜率为0也满足条件，这是解决这道题的易错点.例2 若直线与平行，则的值为（ ）a1 b-3 c0或 d1或-3【答案】a【解析】试题分析：由题设可得,解之得或.当 时两直线重合,故应舍去,故应选a.考点：两直线平行的条件及运用. 【点评】在两直线的斜率存在的情况下，两直线平行其斜率相等.【变式演练1】已知直线与直线平行，则的值是（ ）a b c- d【答案】a考点：直线平行的判定【变式演练2】设直线和直线，则直线与直线的位置关系为（ ）a平行 b重合 c垂直 d以上都不是【答案】a【解析】考点：两直线位置关系（平行）【变式演练3】已知点a(m1,2)，b(1,1)，c(3，m2m1)(1)若a，b，c三点共线，求实数m的值；(2)若abbc，求实数m的值【答案】(1) m1或1或1.(2) m的值为2或3.【解析】试题分析：（1）由三点共线得斜率相等，列方程求解即可；（2）讨论直线ab的斜率不存在和存在时两种情况，存在时斜率乘积为-1即可.试题解析：(1)因为a，b，c三点共线，且xbxc，则该直线斜率存在，则kbckab，即,解得m1或1或1.(2)由已知，得kbc，且xaxbm2.当m20，即m2时，直线ab的斜率不存在，此时kbc0，于是abbc；当m20，即m2时，kab，由kabkbc1，得1，解得m3. 综上，可得实数m的值为2或3.类型二 关于两条直线的交点问题使用情景：两直线相交问题解题模板：第一步 联立两直线的方程并求解；第二步 其方程组的解即为两直线的交点的坐标；第三步 得出结论.例3 过两直线和的交点和原点的直线方程为（ ）a b c d【答案】d【变式演练4】设点,若直线与线段没有交点，则的取值范围是（ ）a bc d【答案】b【解析】试题分析：直线过定点，若直线直线与线段有交点，根据图象可知或，若直线与线段没有交点，则，即，解得：，选b考点：直线间的位置关系【变式演练5】直线l：ypx（p是不等于0的整数）与直线yx10的交点恰好是整点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线l有 （ ）（a）6条 （b）7条 （c）8条 （d）无数条【答案】b考点：直线交点【变式演练6】已知三条直线和中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数的值为_【答案】1考点：两条直线的交点坐标.类型三 对称问题使用情景：点与点、点与直线、直线与直线的对称问题解题模板：第一步 确定具体问题是哪类对称问题如点与点、点与直线、直线与直线的对称；第二步 运用各自相应的对称模型进行求解；第三步 得出结论.例4过点p(0,1)作直线l使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点p平分，求直线l的方程【答案】直线的方程为x4y40.考点：点关于点的对称；两直线相交问题【点评】点p(x，y)关于o(a，b)的对称点p(x，y)满足例5已知直线l：2x3y10，点a(1，2)，求点a关于直线l的对称点a的坐标【答案】.考点：点关于直线的对称；两直线相交问题【点评】直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决例6已知直线l：2x3y10，求直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程【答案】9x46y1020.【点评】点a(a，b)关于直线axbyc0(b0)的对称点a(m，n)，则有【变式演练7】设入射光线沿直线 y=2x+1 射向直线 y=x， 则被y=x 反射后，反射光线所在的直线方程是（ ）ax+2y+3=0 bx-2y+1=0 c3x-2y+1=0 dx-2y-1=0【答案】d【解析】试题分析：入射光线和反射光线关于直线y=x对称，所以设入射光线上的任意两个点（0，1），（1，3）其关于直线y=x对称的两个点的坐标分别为（1，0），（3，1）且这两个点在反射光线上，由两点式可求出反射光线所在的直线方程为 x-2y-1=0考点：直线的对称性；求直线方程【方法点睛】从光学知识知道，入射光线与反射光线是关于镜面（即直线y=x）对称，因此本题的实质是求直线y=2x+1 关于直线y=x对称的直线方程方法有二：一、在直线y=2x+1 上任意设两个点并求其关于直线y=x对称的点的坐标，然后利用两点式即可求出所求直线的方程二、设所求直线上任意一点坐标（x，y），求其关于直线y=x对称的点的坐标（y，x），然后代入已知直线（入射光线的直线方程）求解即可该法的本质是相关点法求直线方程【变式演练8】已知直线经过直线与直线的交点，且垂直于直线（1）求直线的方程； （2）求直线关于原点对称的直线方程【答案】（1）；（2）考点：1直线的方程；2直线关于点的对称问题【高考再现】1. 【2016高考上海文科】已知平行直线，则的距离_.【答案】【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力. 2.【2015高考四川，文10】设直线l与抛物线y24x相交于a，b两点，与圆c：(x5)2y2r2(r0)相切于点m，且m为线段ab中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )(a)(1，3) (b)(1，4) (c)(2，3) (d)(2，4)【答案】d【解析】不妨设直线l：xtym，代入抛物线方程有：y24ty4m0,则16t216m0又中点m(2t2m，2t)，则kmckl1,即m32t2,当t0时，若r5，满足条件的直线只有1条，不合题意，若0r5，则斜率不存在的直线有2条，此时只需对应非零的t的直线恰有2条即可. 当t0时，将m32t2代入16t216m，可得3t20，即0t23,又由圆心到直线的距离等于半径，可得dr,由0t23，可得r(2，4).选d【考点定位】本题考查直线、圆及抛物线等基本概念，考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、参数取值范围等综合问题，考查数形结合和分类与整合的思想，考查学生分析问题和处理问题的能力.【名师点睛】本题实质是考查弦的中垂线过定点问题，注意到弦的斜率不可能为0，但有可能不存在，故将直线方程设为xtym，可以避免忘掉对斜率不存在情况的讨论.在对r的讨论中，要注意图形的对称性，斜率存在时，直线必定是成对出现，因此，斜率不存在(t0)时也必须要有两条直线满足条件.再根据方程的判别式找到另外两条直线存在对应的r取值范围即可.属于难题.3.【2015高考重庆，文12】若点在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点p处的切线方程为_.【答案】【考点定位】圆的切线.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.4.【2015高考湖北，文16】如图，已知圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点a，b（b在a的上方），且. （）圆的标准方程为_； （）圆在点处的切线在轴上的截距为_.【答案】（）；（）.【考点定位】本题考查圆的标准方程和圆的切线问题, 属中高档题.【名师点睛】将圆的标准方程、圆的切线方程与弦长问题联系起来，注重实际问题的特殊性，合理的挖掘问题的实质，充分体现了数学学科特点和知识间的内在联系，渗透着方程的数学思想，能较好的考查学生的综合知识运用能力.其解题突破口是观察出点的横坐标.【反馈练习】1【山西大学附中2017届高三第二次模拟测试数学（理）试题】与直线垂直的直线的倾斜角为_【答案】【解析】试题分析：依题意可知所求直线的斜率为，故倾斜角为.考点：直线方程与倾斜角2【浙江省绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测（二模）数学（理）试题】设直线,直线,若,则 ,若,则 【答案】【解析】试题分析:因,故,即;若,则,故.故应填答案.考点：两直线平行与垂直条件的运用3已知直线， .若坐标原点到直线的距离为，判断与的位置关系. 4直线过点p且与x轴、y轴的正半轴分别交于a，b两点，o为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：aob的周长为12；aob的面积为6.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由【答案】1.【解析】试题分析：设直线的方程，若满足（1）可得，联立可解，即可得方程；（2）若满足，可得，同样可得方程，它们公共的方程即为所求.试题解析：设直线方程为1(a0，b0)，若满足条件(1)，则ab12，又直线过点p(，2)，1.由可得5a232a480，解得，或.所求直线的方程为1或1，即3x4y120或15x8y360.若满足条件(2)，则ab12，由题意得，1，由整理得a26a80，解得，或.所求直线的方程为1或1，即3x4y120或3xy60.综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x4y120.5已知两定点a（2，5），b（-2，1），m（在第一象限）和n是过原点的直线l上的两个动点，且|mn|=，lab，如果直线am和bn的交点c在y轴上，求点c的坐标.【答案】c(0,-3) 6一条光线经过p(2,3)点,射在直线l:xy10上,反射后穿过点q(1,1).(1)求入射光线的方程;(2)求这条光线从p到q的长度.【答案】(1) 5x4y20. (2) 又m为qq的中点,由此得解得q(2,2).设入射光线与l交点为n,则p、n、q共线.又p(2,3),q(2,2),得入射光线的方程为,即5x4y20.(2)l是qq的垂直平分线,从而|nq|nq|,|pn|nq|pn|nq|pq|,即这条光线从p到q的长度是.7 中,边上的中线所在直线方程为,的平分线方程为.（1）求顶点的坐标；（2）求直线的方程.【答案】（1）； （2）2x+9y-65=0.考点：直线的交点，直线方程的求法.8已知平行四边形的三个顶点的坐标为，（）在abc中，求边ac中线所在直线方程； （）求平行四边形的顶点d的坐标及边bc的长度; （）求的面积.【答案】（）；（）；（）8 8分 （3） 10分 11分 12分（其它正确答案请酌情给分）考点：直线的方程9【2018陕西省黄陵中学期中】过点(2,3)的直线l被两平行直线l1：2x5y90与l2：2x5y70所截线段ab的中点恰在直线x4y10上，求直线l的方程【答案】4x5y70 10【2018陕西省黄陵中学期中】在abc中，bc边上的高所在直线的方程为x2y10，a的平分线所在的直线方程为y0若点b的坐标为(1,2)，求点a和点c的坐标【解析】由方程组解得点a的坐标为(1,0)又直线ab的斜率kab1，x轴是a的平分线，所以kac1，则ac边所在的直线方程为y(