高考数学一轮复习 第8章 立体几何 专题研究 球与几何体的切接问题练习 理.doc

专题研究 球与几何体的切接问题1(2017唐山模拟)正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为()a64b32c16 d8答案a解析如图，作pm平面abc于点m，则球心o在pm上，pm6，连接am，ao，则opoar(r为外接球半径)，在rtoam中，om6r，oar，又ab6，且abc为等边三角形，故am2，则r2(6r)2(2)2，则r4，所以球的表面积s4r264.2已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是()a16 b20c24 d32答案c解析由vsh，得s4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以球的半径为r.所以球的表面积为s4r224.故选c.3若一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是()a8 b6c4 d答案c解析设正方体的棱长为a，则a38.因此内切球直径为2，s表4r24.4(2017课标全国)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径长为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()a b.c. d.答案b解析根据已知球的半径长是1，圆柱的高是1，如图，所以圆柱的底面半径r，所以圆柱的体积vr2h()21.故选b.5(2018安徽合肥模拟)已知球的直径sc6，a，b是该球球面上的两点，且absasb3，则三棱锥sabc的体积为()a. b.c. d.答案d解析设该球球心为o，因为球的直径sc6，a，b是该球球面上的两点，且absasb3，所以三棱锥soab是棱长为3的正四面体，其体积vsoab3，同理voabc，故三棱锥sabc的体积vsabcvsoabvoabc，故选d.6已知直三棱柱abca1b1c1的6个顶点都在球o的球面上，若ab3，ac4，abac，aa112，则球o的半径为()a. b2c. d3答案c解析如图，由球心作平面abc的垂线，则垂足为bc的中点m.又ambc，omaa16，所以球o的半径roa.7(2018广东惠州一模)已知一个水平放置的各棱长均为4的三棱锥形容器内有一小球o(质量忽略不计)，现从该三棱锥形容器的顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于()a. b.c. d.答案c解析由题知，没有水的部分的体积是三棱锥形容器的体积的，三棱锥形容器的体积为424，所以没有水的部分的体积为.设其棱长为a，则其体积为a2a，a2，设小球的半径为r，则4r，解得r，球的表面积为4，故选c.8.如图，abcda1b1c1d1是棱长为1的正方体，sabcd是高为1的正四棱锥，若点s，a1，b1，c1，d1在同一个球面上，则该球的体积为()a. b.c. d.答案c解析如图所示，o为球心，设og1x，则ob1so2x，同时由正方体的性质可知b1g1，则在rtob1g1中，ob12g1b12og12，即(2x)2x2()2，解得x，所以球的半径rob1，所以球的表面积s4r2，故选c.9(2018郑州质检)四棱锥pabcd的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，e，f分别是棱ab，cd的中点，直线ef被球面所截得的线段长为2，则该球的表面积为()a9 b3c2 d12答案d解析该几何体的直观图如图所示，该几何体可看作由正方体截得，则正方体外接球的直径即为pc.由直线ef被球面所截得的线段长为2，可知正方形abcd对角线ac的长为2，可得正方形abcd的边长a2，在pac中，pc2，球的半径r，s表4r24()212.10(2014湖南)一块石材表示的几何体的三视图如图所示将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于()a1 b2c3 d4答案b解析此几何体为一直三棱柱，底面是边长为6，8，10的直角三角形，侧棱为12，故其最大球的半径为底面直角三角形内切圆的半径，故其半径为r(6810)2，故选b.11(2017天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_答案解析设正方体的棱长为a，则6a218，得a，设该正方体外接球的半径为r，则2ra3，得r，所以该球的体积为r3()3.12若一个正四面体的表面积为s1，其内切球的表面积为s2，则_答案解析设正四面体的棱长为a，则正四面体的表面积为s14a2a2，其内切球半径为正四面体高的，即raa，因此内切球表面积为s24r2，则.13已知一圆柱内接于球o，且圆柱的底面圆的直径与母线长均为2，则球o的表面积为_答案8解析圆柱的底面圆的直径与母线长均为2，所以球的直径为2，即球半径为，所以球的表面积为4()28.14(2017衡水中学调研卷)已知正三棱锥pabc，点p，a，b，c都在半径为的球面上，若pa，pb，pc两两相互垂直，则球心到截面abc的距离为_答案解析方法一：先在一个正方体中找一个满足条件的正三棱锥，再利用正方体的性质解题如图，满足题意的正三棱锥pabc可以是正方体的一部分，其外接球的直径是正方体的体对角线，且面abc与体对角线的交点是体对角线的一个三等分点，所以球心到平面abc的距离等于体对角线长的，故球心到截面abc的距离为2.方法二：用等体积法：vpabcvapbc求解)15(2018四川成都诊断)已知一个多面体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，俯视图是边长为1的正方形，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为_答案3解析由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱垂直于底面，高等于1，其底面是边长为1的正方形， 四棱锥的外接球即是边长为1的正方体的外接球，外接球的直径为，外接球的表面积s4()23.16(2018河北唐山模拟)已知矩形abef所在的平面与矩形abcd所在平面互相垂直，ad2，ab3，af，m为ef的中点，则多面体mabcd的外接球的表面积为_答案16解析记多面体mabcd的外接球的球心为o，如图，过点o分别作平面abcd和平面abef的垂线，垂足分别为q，h，连接mh并延长，交ab于点n，连接om，nq，aq，设球o的半径为r，球心到平面abcd的距离为d，即oqd，矩形abef所在的平面与矩形abcd所在的平面互相垂直，af，m为ef的中点，mn，annb，nq1，r2()2d212(d)2，d，r24，多面体mabcd的外接球的表面积为4r216.1(2017课标全国，文)长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球o的球面上，则球o的表面积为_答案14解析依题意得，长方体的体对角线长为，记长方体的外接球的半径为r，则有2r，r，因此球o的表面积等于4r214.2(2018湖南长沙一中模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为()a8 b.c12 d.答案d解析根据三视图得出，几何体是正方体中的一个四棱锥oabcd，正方体的棱长为2，a，d为所在棱的中点根据几何体可以判断，球心应该在过a，d的平行于正方体底面的中截面上，设球心到平面bco的距离为x，则到ad的距离为2x，所以r2x2()2，r212(2x)2，解得x，r，该多面体外接球的表面积为4r2，故选d.3(2014陕西，理)已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()a. b4c2 d.答案d解析因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r1，所以v球13.故选d.4(2018洛阳统一考试)如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为()a200 b150c100 d50答案d解析由三视图知，该几何体可以由一个长方体截去3个角后得到，该长方体的长、宽、高分别为5、4、3，所以其外接球半径r满足2r5，所以该几何体的外接球的表面积为s4r24()250，故选d.5(2018广东清远三中月考)某一简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是()a13 b16c25 d27答案c解析由三视图可知该几何体是底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，设外接球半径为r，则2r5，r，长方体外接球的表面积s4r225.6(2018福建厦门模拟)已知球o的半径为r，a，b，c三点在球o的球面上，球心o到平面abc的距离为r，abacbc2，则球o的表面积为()a. b16c. d64答案d解析因为abacbc2，所以abc为正三角形，其外接圆的半径r2，设abc外接圆的圆心为o1，则oo1平面abc，所以oa2oo12r2，所以r2(r)222，解得r216，所以球o的表面积为4r264，故选d.7(2018四川广元模拟)如图，边长为2的正方形abcd中，点e，f分别是ab，bc的中点，将ade，ebf，fcd分别沿de，ef，fd折起，使得a，b，c三点重合于点a，若四面体aefd的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为_答案解析由题意可知aef是等腰直角三角形，且ad平面aef.由于aef可以补全为边长为1的正方形，则该四面体必能补全为长、宽、高分别为1，1，2的正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，易知正四棱柱的外接球的