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材料力学 材料力学的基本知识 材料力学的研究模型材料力学研究的物体均为变形固体 简称 构件 现实中的构件形状大致可简化为四类 即杆 板 壳和块 杆 长度远大于其他两个方向尺寸的构件 杆的几何形状可用其轴线 截面形心的连线 和垂直于轴线的几何图形 横截面 表示 轴线是直线的杆 称为直杆 轴线是曲线的杆 称为曲杆 各横截面相同的直杆 称为等直杆 材料力学的主要研究对象就是等直杆 材料力学的基本知识 变形构件在载荷作用下 其形状和尺寸发生变化的现象 变形固体的变形通常可分为两种 弹性变形 载荷解除后变形随之消失的变形塑性变形 载荷解除后变形不能消失的变形材料力学研究的主要是弹性变形 并且只限于弹性小变形 即变形量远远小于其自身尺寸的变形变形固体的基本假设连续性假设假设在固体所占有的空间内毫无空隙的充满了物质均匀性假设假设材料的力学性能在各处都是相同的 各向同性假设假设变形固体各个方向的力学性能都相同 材料力学的基本知识 材料的力学性能 指变形固体在力的作用下所表现的力学性能 构件的承载能力 强度 构件抵抗破坏的能力刚度 构件抵抗变形的能力稳定性 构件保持原有平衡状态的能力内力的概念构件在外力作用时 形状和尺寸将发生变化 其内部质点之间的相互作用力也将随之改变 这个因外力作用而引起构件内部相互作用的力 称为附加内力 简称内力 横截面上内力分析 其中 Mx My Mz为主矩在x y z轴方向上的分量 FNx FQy FQz为主矢在x y z轴方向上的分量 FNx使杆件延x方向产生轴向拉压变形 称为轴力FQy FQz使杆件延y z方向产生剪切变形 称为剪力Mx使杆件绕x轴发生扭转变形 称为扭矩My Mz使得杆件分别绕yz轴产生弯曲变形 称为弯矩 利用力系简化原理 截面m m向形心C点简化后 得到一个主矢和主矩 在空间坐标系中 表示如图 横截面上内力计算 截面法 截面法求内力步骤将杆件在欲求内力的截面处假想的切开 取其中任一部分并在截面上画出相应内力 由平衡条件确定内力大小 例 左图左半部分 Fx 0FP FN右半部分 Fx 0FP FN 例13 1 已知小型压力机机架受力F的作用 如图 试求立柱截面m n上的内力 解 1 假想从m n面将机架截开 如图 2 取上部 建立如图坐标系 画出内力FN MZ 方向如图示 水平部分 竖直部分的变形 3 由平衡方程得 Fy 0FP FN 0FN FP Mo 0Fp a Mz 0Mz Fp a 基本变形 轴向 拉伸 压缩 载荷特点 受轴向力作用 变形特点 各横截面沿轴向做平动 内力特点 内力方向沿轴向 简称轴力FN 轴力正负规定 轴力与截面法向相同为正 FN P 基本变形 剪切 载荷特点 作用力与截面平行 垂直于轴线 变形特点 各横截面发生相互错动 内力特点 内力沿截面方向 与轴向垂直 简称剪力FQ 剪力正负规定 左下 右上 为正左下 指左截面 左半边物体 剪力向下 基本变形 扭转 载荷特点 受绕轴线方向力偶作用 力偶作用面平行于横截面 变形特点 横截面绕轴线转动 内力 作用面与横截面重合的一个力偶 称为扭矩T 正扭矩的规定 其转向与截面外法向构成右手系 T M 基本变形 弯曲 平面 载荷特点 在梁的两端作用有一对力偶 力偶作用面在梁的对称纵截面内 变形特点 梁的横截面绕某轴转动一个角度 中性轴 面 内力 作用面垂直横截面的一个力偶 简称弯矩M 弯矩的正负规定 使得梁的变形为上凹下凸的弯矩为正 形象记忆 盛水的碗 正应力 切应力 应力的概念单位面积上内力的大小 称为应力平均应力Pm 如图所示 F A Pm 正应力 单位面积上轴力的大小 称为正应力 切应力 单位面积上剪力的大小 称为切应力 应力单位为 1Pa 1N m2 帕或帕斯卡 常用单位 MPa 兆帕 1MPa 106Pa 1N mm2 A 截面面积 位移 构件在外力作用下 其变形的大小用位移和应变来度量 如图 AA 连线称为A点的线位移 角度称为截面m m的角位移 简称转角注意 单元K的形状也有所改变 应变 分析单元K单元原棱长为 x u为绝对伸长量 其相对伸长 u x的极限称为沿x方向的正应变 u x 即 x lim x 2 a点的横向移动aa 使得oa直线产生转角 定义转角 为切应变 aa oa aa x 胡克定律 实验证明 当正应力小于某一极限值时 正应力与正应变存在线性关系 即 称为胡克定律 E为弹性模量 常用单位 Gpa 吉帕 同理 切应变小于某一极限值时 切应力与切应变也存在线性关系即 G 此为剪切胡克定律 G为切变模量 常用单位 GPa 钢与合金钢E 200 220GPaG 75 80GPa铝与合金铝E 70 80GPaG 26 30GPa木材E 0 5 1GPa橡胶E 0 008GPa 轴向拉压杆件的内力 定义以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式 称为轴向拉伸或压缩内力的计算截面法如左图内力的表示轴力图 形象表示轴力沿轴线变化的情况 轴力图 例14 1F1 2 5kN F3 1 5kN 画杆件轴力图 解 1 截面法求AC段轴力 沿截面1 1处截开 取左段如图14 1 2所示 Fx 0FN1 F1 0得 FN1 F1 2 5kN 2 求BC段轴力 从2 2截面处截开 取右段 如图14 1 3所示 Fx 0 FN2 F3 0得 FN2 F3 1 5kN 负号表示所画FN2方向与实际相反 3 图14 1 4位AB杆的轴力图 扭转圆轴的内力 扭转变形的定义横截面绕轴线做相对旋转的变形 称为扭转以扭转为主要变形的直杆 通常称为轴本课程主要研究圆截面轴功率 转速和扭矩的关系M 9549扭矩图仿照轴力图的画法 画出扭矩沿轴线的变化 就是扭矩图 其中 M为外力矩 N m P为功率 kW n转速 r min 例2扭矩图 如图 主动轮A的输入功率PA 36kW 从动轮B C D输出功率分别为PB PC 11kW PD 14kW 轴的转速n 300r min 试画出传动轴的扭矩图 解 1 由扭矩 功率 转速关系式求得MA 9459PA n 9459X36 300 1146N mMB MC 350N m MD 446N m 2 分别求1 1 2 2 3 3截面上的扭矩 即为BC CA AD段轴的扭矩 内力 如图a b c 均有 Mx 0得 T1 MB 0T1 MB 350N mMB MC T2 0T2 MB MC 700N mMD T3 0T3 MD 446N m 3 画出扭矩图如d 弯曲梁的内力 弯曲梁的概念及其简化杆件在过杆轴线的纵向平面内 受到力偶或受到垂直于轴线的横向力作用时 杆的轴线将由直线变为曲线 杆件的这种以轴线变弯为主要特征的变形称为弯曲 以弯曲为主要变形的杆简称为梁 常见梁的力学模型简支梁一端为活动铰链支座 另一端为固定铰链支座 外伸梁一端或两端伸出支座支外的简支梁 悬臂梁一端为固定端 另一端为自由端的梁 梁内力的正负规定 梁的内力剪力FQ弯矩MC 梁内力的正负规定内力方向 梁的变形 弯曲梁的内力 例 例14 3简支梁如左图 已知a q M qa2 求梁的内力 FAy FBy 1 2 3 2 1 1截面内力 0 x1 a 3 2 2截面内力 a x2 2a 解 1 求得A B处反力FAY FBY 续例14 3 4 3 3截面内力 0 x3 a 此处x3的起点为B点 方向如图 14 4内力图 剪力图 1 当 0 x1 a时AC段FQ1 5q a 6 2 当 a x2 2a时 即CD段FQ2 11q a 6 q x2 直线x2 a FQ2 5q a 6 FQ1 x2 2a FQ2 q a 6 FQ3 3 当 0 x3 a 起点在B点 FQ3 q a 6 内力图 弯矩图 当 0 x1 a时 M1 5q a x1 6为直线 当 a x2 2a时 为二次曲线 M2 5qax2 q x2 a 2 2 当 0 x3 a时 原点在B点 方向向左 M3为直线M3 qa2 q a x3 6 典型例题 1 已知 G a b l 画梁AB内力图 解 1 求A B支座反力 a b l 2 求x截面内力a 0 x a b a x l 典型例题 1 续 根据以上条件 画出剪力图 弯矩图最大剪力Qmax在AC b a 或CB a b 段Qmax Gb l最大弯矩在C截面处Mmax Gab l 本例中 剪力和弯矩的表达式与截面的位置形式上构成了一种函数关系 这种关系称为剪力方程和弯矩方程 即 FQ FQ x Mc M x 典型例题 2 简支梁受力偶作用 求支座反力FAY FBY得 FAY FBY M l AC段X截面处剪力FQ Fay 同理可求得BC段剪力与AC段相同 剪力图如左 AC段弯矩方程M1M1 FAY x M x L BC段弯矩方程M2M2 FAY x M M x L L 典型例题 3 悬臂梁作用均布载荷q 画出梁的剪力图和弯矩图 写出A点x处截面的剪力方程和弯矩方程 剪力图 弯矩图如右 最大剪力 弯矩均发生在B点 且 M FQ与q的关系 设梁上作用任意载荷 坐标原点选在A点 左端点形心 现分析剪力 弯矩与载荷集度的关系 取x处一小段dx长度梁 如图 由平衡方程得 Fy 0 FQ FQ dFQ q x dx 0 a MC 0 M dM M FQdx q x dx2 2 0 b 在上式中略去高阶微量后 得 使用关系式画FQ M图 例题 7 M 3kN m q 3kN m a 2m 解 求A B处支反力FAY 3 5kN FBY 14 5KN 剪力图 如图 将梁分为三段AC q 0 FQC FAYCB q 0 FQB 8 5kNBD q 0 FQB 6kN 弯矩图 AC q 0 FQC 0 直线 MC 7KN MCB q 0 抛物线 FQ 0 MB 6 04BD q 0 开口向下 MB 6kN m 14 5 c 解答 AC FQAC qx FQACmax qa 2MQAC qx2 2 MQACmax qa2 8 BC B点为圆点 x向左 FB qa 2 qa 8 3qa 8FQBC qx FB q 8x 3a 8FQBC 0 x 3a 8MBC q 3ax 4x2 8 MBC x 3a 8 9qa2 128 0 MBC x 3a 4 0 14 8 c 解答 A B支反力 FA qa 2 FB 5qa 2 AB段 q 0 斜直线 左上右下 A点 FQA FA qa 2 B点 FQB FA 2qa 3qa 2D点 FQAB 0 x a 2BC段 q 0 直线 水平 C点 FQC F qa FQB 弯矩图 AB段 q 0 抛物线 上凸A点 MC 0 D点 MD FAa 2 q a2 8 qa2 8B点 MB FA 2a 2qa2 qa2 BC段 q 0直线 左下右上 MC 0 MB F a qa2 D 横截面上的应力 平面假设杆件的横截面在变形后仍保持为平面 且垂直于杆的轴线 横截面上各点只产生沿垂直于横截面方向的变形 故横截面上只有正应力 两横截面之间的纵向纤维伸长都相等 故横截面上各点的正应变都相等 根据胡克定律 其正应力也相等 即横截面上的正应力均匀分布 杆件轴向拉压时横截面上正应力计算公式 FN 轴力A 横截面面积 的正负号与FN相同 即拉伸为正压缩为负 例15 1 一中段开槽的直杆如图 受轴向力F作用 已知 F 20kN h 25mm h0 10mm b 20mm 试求杆内的最大正应力 解 求轴力FN FN F 20kN 20 x103N 求横截面面积 A1 bh 20 x25 500mm2A2 b h h0 20 x 25 10 300mm2 求应力由于1 1 2 2截面轴力相同 所以最大应力应该在面积小的2 2截面上 FN A 20X103 300 66 7MPa 负号表示为压应力 轴向变形 设等截面直杆原长l0 截面面积A0 在轴力F作用下 其长度变为l1 截面面积变为A1 其轴向绝对变形 l和轴向 相对变形 线应变 分别为 l l1 l0 直杆横截面上的正应力 当应力不超过某一值时 正应力与线应变满足胡克定律 E 由以上可以得到 式中EA称为杆件的抗拉压刚度 此式称为拉压变形公式 横向变形与泊松比 如果等直杆在变形前后的横向尺寸为 b0 b1 那么其横向绝对变形和横向线应变分别为 b和 b b1 b0 b b0 实验表明 杆件轴向拉伸时 横向尺寸减小 为负 杆件轴向压缩时 横向尺寸增大 为正 可见 轴向线应变 和横向线应变 恒为异号 实验还表明 对于同一种材料 当应力不超过某一极限时 杆件的横向线应变 与轴向线应变 之比为一负常数 即 或 比例系数 称为泊松比 是量刚为一的量 例15 2p241 一板状试样如图 已知 b 4mm h 30mm 当施加F 3kN的拉力时 测的试样的轴向线应变 120 x10 6 横向线应变 38x10 6 试求试样材料的弹性模量E和泊松比 解 求试件的轴力FN F 3kN 横截面面积A bh 120mm2 横截面上的应力 F A 根据胡克定律 E 得 泊松比 例15 3p241 钢制阶梯杆如图所示 已知轴向力F1 50kN F2 20kN 杆各段长度l1 120mm l2 l3 100mm 杆AD DB段的面积A1 A2分别是500和250mm2 钢的弹性模量E 200GPa 试求阶梯杆的轴向总变形和各段线应变 解 画出杆件的轴力图 求出个段轴向变形量 AC段 CD段 DB段 总变形 l 36 20 40 x10 3 0 024mm 由 L L得 1 300 x10 6 2 200 x10 6 3 400 x10 6 一 圆轴扭转时横截面上的应力 平面假设 圆周扭转变形后各个横截面仍为平面 而且其大小 形状以及相邻两截面之间的距离保持不变 横截面半径仍为直线 横截面上各点无轴向变形 故横截面上没有正应力 横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动 故横截面上有剪应力存在 各横截面半径不变 所以剪应力方向与截面径向垂直 推断结论 切应变 切应力 横截面上任意一点的切应变 与该点到圆心的距离 成正比 由剪切胡克定律可知 当切应力不超过某一极限值时 切应力与切应变成正比 即 横截面上任意一点的切应力 的大小与该点到圆心的距离 成正比 切应力的方向垂直于该点和转动中心的连线 切应力分布 根据以上结论 扭转变形横截面上的切应力分布如图a 所示 扭矩和切应力的关系 如图b 所示 微面积dA上内力对o点的矩为dM dA 整个截面上的微内力矩的合力矩应该等于扭矩 即 圆轴的扭转变形计算公式 由推导的结论式 可以得到 或 变形计算公式 于是有 外边缘 最大切应力计算公式 截面的几何性质 极惯性矩 p 扭转截面系数 p 二 圆轴扭转时的变形 应力计算例15 5 在图示传动机构中 功率从B轮输入 再通过锥齿轮将一半传递给铅垂轴C 另一半传递给水平轴H 若已知输入功率P1 14kW 水平轴E和H的转速n1 n2 120r min 锥齿轮A和D的齿数分别为z1 36 z2 12 图中d1 70 d2 50 d3 35 求各轴横截面上的最大切应力 分析 此机构是典型的齿轮传动机构 各传动轴均为扭转变形 欲求各传动轴横截面上的切应力 必须求得各轴所受的扭矩 即各轴所受到的外力偶矩 由题意可知 E H C轴所传递的功率分别为 P1 14kW P2 P3 P1 2 7kW E H轴转速为120r min 由传动比可计算出C轴的转速为 n3 z1 z2 n1 3n1 360r min 再通过公式 可以求得各轴所受到的外力矩 M1M2M3 例15 5 续 解 1 求各轴横截面上的扭矩 2 求各轴横截面上的最大切应力 应力计算习题15 10 11 如图所示 已知 M1 5kNm M2 3 2kNm M3 1 8kNm AB 200mm BC 250mm AB 80mm BC 50mm G 80GPa1 求此轴的最大切应力2 C截面相对于A截面的扭转角 CA 3 相对扭转角 AB BC 解 1 求最大切应力扭矩图如左 TAB 5kN m TBC 1 8kN m根据切应力计算公式 15 11续 2 求C截面相对A截面的扭转角 扭转角计算公式 C截面相对A截面的扭转角为 3 相对扭转角为 本节要点 扭转圆轴的切应力计算公式 扭转圆轴的横截面上切应力分布规律 相对扭转角 单位长度相对扭转角 第三讲弯曲梁正应力弯曲正应力公式弯曲梁截面的最大正应力惯性矩的平行轴定理平行轴定理应用举例1平行轴定理应用举例2弯曲正应力计算习题15 14p271作业 第三讲弯曲梁正应力 平面弯曲 横力弯曲 纯弯曲 剪力FQ 0 弯矩M 0 剪力FQ 0 弯矩M 0 纯弯曲 平面假设 梁变形后 其横截面仍为平面 并垂直于梁的轴线 只是绕截面上的某轴转动了一个角度 总第16讲 弯曲正应力公式 纯弯曲正应力公式推导 如上图1 2得纵向变形 根据胡克定律 可知 由图3得 几何关系 物理关系 即 对照以上各式 得 其中 Iz为截面对z轴的惯性矩 弯曲梁截面的最大正应力 由正应力公式可知 弯曲梁截面上的最大正应力应该在其上下边缘 即 y 的最大值处 引入弯曲截面系数Wz Iz ymax 最大正应力公式为 惯性矩计算 A定义式 B积分式 矩形截面Iz的计算 如图 惯性矩的平行轴定理 由惯性矩的定义式可知 组合截面对某轴的惯性矩 等于其组成部分对同一轴惯性矩的代数和 即 Iz Iz1 Iz2 Izn Izi 设某截面形心在某坐标系的坐标为 a b 如图 则其对坐标轴的惯性矩为 对于z轴的惯性矩 对于y轴的惯性矩 平行轴定理应用举例1 工字形截面梁尺寸如图 求截面对z轴的惯性矩 解 可以认为该截面是由三个矩形截面构成 所以 Iz Iz1 Iz2 Iz3 1 2 3 Iz Iz1 Iz2 Iz3 243 170 67 8 53 x104 80 86x104 mm4 平行轴定理应用举例2 求图示截面对z轴的惯性矩 解 截面可分解成如图组合 A1 300 x30 9000mm2A2 50 x270 13500mm2yc1 75 15 90mmyc2 135 75 60mm A1 A2两截面对其型心轴的惯性矩为 I1cz 300 x303 12 0 675x106mm4I2cz 50 x2703 12 82 0125x106mm4 由平行轴定理得 I1z I1cz yc12A1 0 675x106 902x9000 73 575x106mm4I2z I2cz yc22A2 82 0125x106 602x13500 130 61x106mm4Iz I1z I2z 73 575 130 61 x106 204x106mm4 A1 A2 弯曲正应力计算习题15 14p271 已知 A 40MPa 拉 y1 10mm y2 8mm y3 30mm求 1 B D 2 max 拉 解 A 40MPa 拉 y1 10mm 由公式 由于A点应力为正 因此该梁上半部分受拉 应力为正 下半部分受压 应力为负 因此有 最大拉应力在上半部边缘 弯曲梁的切应力 总第17讲 横力弯曲时 梁的横截面上切应力分布 横力弯曲时 梁的横截面上切应力计算公式 例15 11 如图所示 已知6120柴油机活塞销的外径D 45mm 内径d 28mm 活塞销上的载荷作用尺寸a 34mm b 39mm 连杆作用力F 88 4kN 求活塞销的最大正应力和最大切应力 解 活塞销所受的载荷简化为均布载荷 其均布集度为 剪力图如例15 11b FQmax 44 2kN 弯矩图如例15 11c Mmax 1 18kN m continue 已知活塞销截面为薄壁圆环 那么 活塞销的最大正应力为弯矩最大处 即销子中心点 由切应力近似计算公式可以得出 活塞销的最大切应力为 弯曲梁的变形 梁弯曲变形的概念 挠度 梁的横截面形心在垂直雨量轴线方向的位移称为挠度 用w表示 正负规定 图示坐标中上正下负 转角 梁的横截面相对于变形前后初始位置转过的角度 用 表示 正负规定 逆时针为正 反之为负 挠曲线 梁在弹性范围弯曲变形后 其轴线变成一条光滑连续曲线 称为挠曲线 其表示式为 转角 与挠度w的关系 如图所示 tan dw x dx w 即 横截面的转角近似等于挠曲线在该截面处的斜率 w w x 积分法求梁的变形 积分法求梁的变形 挠曲线公式简单推导 由前可知 而在数学中有 略去高阶无穷小 得到 挠曲线近似微分方程 积分后 式中的积分常数C D由梁的边界条件和连续条件确定 积分法求梁的变形举例 习题15 20 q 8kN m l 2m E 210GPa 求 max wmax 解 求A B支座反力 FA FB ql 2 8kN 写出梁的弯矩方程 如图b M x FAx qx2 2 qlx 2 qx2 2 EIzw M x q l x x 2 1 积分后得到 CONTINUE 习题15 20 续 FINE 边界条件 x 0 w 0 D 0 x l w 0 C ql3 24 由 1 可知 max为M x 0的点 即x 0和x l处 A B端点 max Amax Bmax C EIzz ql3 24EIzz w qx l3 x3 2lx2 24EIz w 0 x l 2 wx l 5ql4 384EIz 叠加法求梁的变形 叠加法求梁的变形 叠加法当梁受多个载荷作用时 梁的变形是每个独立载荷作用时变形的叠加 理论基础 略 参见教材 常见简单载荷作用下梁的变形教材P261 叠加法求梁的变形举例习题15 22 用叠加法求图示梁B截面的转角和C截面的挠度 叠加结果为 查表 材料拉压时的力学性能 低碳钢拉伸时的力学性能 试件仪器压力实验机游标卡尺 应力应变曲线比例极限 p弹性极限 e屈服极限 s抗拉强度 b 滑移线 颈缩 伸长率和断面收缩率 伸长率 断面收缩率 塑性材料 5 脆性材料 5 铸铁拉伸铸铁等脆性材料在拉伸时 变形很小 应力应变曲线图没有明显的直线部分 通常近似认为符合胡克定律 其抗拉强度 b是衡量自身强度的唯一指标 时衡量材料塑性的一个重要指标 低碳钢和铸铁压缩时的力学性能 低碳钢压缩 铸铁压缩 名义屈服极限 对于没有明显屈服阶段的塑性材料 在工程上常以卸载后产生0 2 的残余应变的应力作为屈服应力 称为名义屈服极限 用 P0 2来表示 冷作硬化对于这种对材料预加塑性变形 而使其比例极限或弹性极限提高 塑性变形减小的现象称之为冷作硬化 轴向拉压杆件的强度设计 拉压杆的强度设计准则为拉压杆横截面上的正应力是均匀分布的 而且各点均为单向应力状态 根据材料的失效判据 拉压杆的强度设计准则为 式中 max为拉压杆横截面上的最大工作应力 为材料的许用应力对于塑性材料 s ns对于脆性材料 拉 b拉 nb 压 b压 nb 拉压杆强度设计 对于等截面杆 其强度准则可以写成 1 强度校核 2 选择截面尺寸 3 确定许可载荷 强度校核 某铣床工作台的近给液压缸如图示 缸内工作压力p 2MPa 液压缸内径D 75mm 活塞杆直径d 18mm 已知活塞杆材料的许用应力 50MPa 试校核活塞杆的强度 解 求活塞杆的轴力 横截面上的应力为 活塞杆强度足够 注 在工程中 允许工作应力大于许用应力但不可超出5 选择截面尺寸 习题17 3 已知 h 2b F 40kN 100MPa 试设计拉杆截面尺寸h b 解 求出拉杆的轴力FN FN F 40kN 拉杆的工作应力 FN A 根据强度准则 有 即A FN 而A hb 2b2所以 2b2 40 103 100 400mm2 求得 b 14 14mm h 2b 28 28mm 考虑安全 可以取b 15mm h 30mm 结束 例题17 3 确定许可载荷 如左图 已知 木杆面积A1 104mm2 1 7MPa钢杆面积A2 600mm2 2 160MPa 确定许用载荷 G 解 1 求各杆的轴力如图b 列平衡方程 得 Fx 0 FN1 FN2cos300 0 Fy 0FN2sin300 G 0 求解上式 得 FN1 1 73G FN2 2G 2 用木杆确定 G 由强度准则 1 FN1 A1 1得 G 1A1 1 73 40 4kN 3 校核钢杆强度 即 2 FN2 A2 2G A2 80 8 103 600 134 67MPa 2强度足够 故许可载荷 G 40 4kN 结束 弯曲梁的强度计算 梁在弯曲变形时 其截面上既有正应力也有切应力 故有 和 对于等截面梁 可以写成 对于脆性梁 其抗拉 抗压性能不等时 应分别予以设计 通常在设计计算时 先以弯曲正应力强度准则设计出截面尺寸 然后按照弯曲切应力强度准则进行校核 弯曲正应力 强度校核 图示T形截面铸铁外伸梁 其许用拉应力 30MPa 许用压应力 60MPa 截面尺寸如图 截面对形心轴z的惯性矩Iz 763mm4 且y1 52cm 试校核梁的强度 分析 1 画出梁的弯矩图 确定最大弯矩及其所在截面 2 求出梁的最大拉应力和最大压应力值3 校核强度 解 1 求支座反力 FA 2 5kN FB 10 5kN 画出弯矩图如b 最大正弯矩在C点 最大负弯矩在B点 即 C点为上压下拉 而B点为上拉下压 FA FB 例17 6 续1 2 求出B截面最大应力 最大拉应力 上边缘 最大压应力 下边缘 例17 6 续2 3 求出C截面最大应力 最大拉应力 下边缘 最大压应力 上边缘 由计算可见 最大拉应力在C点且 Cmax 28 83MPa 30MPa最大压应力在B点且 Bmax 46 13MPa 60MPa故梁强度足够 梁的截面设计 简支梁AB如图所示 已知 160MPa 100MPa a 0 2m l 2m F 200kN 试选择工字钢型号 解 1 计算梁的约束力FA FB 由于机构对称 所以FA FB 210kN 2 画出梁的剪力图可以看出FQmax FA FB 210kN 3 画出梁的弯矩图 其最大弯矩在梁的中点 计算得 Mmax 45kN m 4 应用梁的弯曲正应力准则选择截面尺寸 max Mmax Wz 例17 7续 变形可以得出 查附录C选取22a工字钢 其Wz 309cm3 h 220mm d 7 5mm t 12 3mm 校核梁的切应力强度 工字钢腹部切应力最大 对应面积A1 h 2t d 则有 由于切应力大出其许用应力很多 故再选大一号 选22b并校核其切应力强度 相应尺寸 h 250 d 10 t 13 那么 切应力强度足够 故选22b号工字钢 fine 例17 10 钢板如图所示 试校核强度 不考虑应力集中影响 已知 F 80kN b 80 t 10 10 140MPa 解 如图b FN F 80kN e b 2 b t 2 80 2 80 10 2 5M FNe 400kN mm FN引起的应力 M引起的应力 例17 10 续 因此 最大拉应力为 上缺口最低点 下边缘应力为 讨论 显然 钢板的强度不够 引起应力增大的原因是偏心距造成的 因此 解决此类问题就是消除偏心距 如左 正应力分布图如下 总第23讲 纯扭圆轴横截面切应力分布 圆轴扭转的强度设计准则 等截面圆轴扭转的强度设计准则 为许可切应力 通常 对于塑性材料 0 5 0 6 对于脆性材料 0 8 1 0 扭转圆轴强度设计 例17 11 某传动轴所传递的功率P 80kW 其转速n 580prm 直径d 55mm 材料的许可切应力 50MPa 试校核轴的强度 解 传动轴的外力偶矩为 工作切应力的最大值 强度足够 例17 12 汽车传动轴由45 无缝钢管制成 已知 60MPa 若钢管的外径D 90mm 管壁厚t 2 5mm 轴所传动的最大扭矩M 1 5kN m 试 1 校核传动轴的强度 2 与同性能实心轴的重量比 解 1 校核强度 带入数据后得 max 50 33MPa 60MPa 强度足够 2 设计实心轴直径D1 两轴的最大工作切应力相等 3 两轴重量比 总第24讲 轴向拉伸杆件 式中 l 为轴向拉伸的许可伸长量或缩短量 平面弯曲梁 式中 为许用挠度 为许用转角 扭转变形圆轴 式中 max 为许用扭转角 杆件的刚度准则与刚度设计 例17 15P317 飞机系统中的钢拉索 其长度为l 3m 承受拉力F 24kN 弹性模量E 200GPa 需用应力 120MPa 要求钢拉索在弹性范围内的许用伸长量 l 2mm 试求其横截面面积至少应该为多少 解 钢拉索发生轴向拉伸变形 其轴力为FN F 24kN 1 由等截面轴向拉伸杆件的强度设计准则 得 2 由轴向拉压杆件的刚度设计准则 得 综合上列强度和刚度设计结果 钢拉索的横截面面积至少应该为 200mm2 例17 16 如图所示阶梯轴 已知 d1 40mm d2 55mm MC 1432 5N m MA 620 8N m 轴的