高考数学 立体几何：空间向量在求空间角及距离中的应用题源探究.doc

空间向量在求空间角及距离中的应用【考点梳理】 1.异面直线所成的角 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则a与b的夹角l1与l2所成的角范围(0，)求法cos cos |cos | 2.求直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，则sin|cosa，n|. 3.求二面角的大小 (1)如图，ab，cd是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，. (2)如图，n1，n2 分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).4.利用空间向量求距离（1）两点间的距离设点，点，则（2）点到平面的距离如图所示，设为平面的一条斜线段，为平面的法向量，则点到平面的距离【教材改编】1(选修21 p111a组t1改编)在正方体abcda1b1c1d1中，点m为棱cc1上的中点，则a1m与d1c所成的角为()a30 b45c60 d90答案 b解析 以，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则d1(0,0,2)，c(0,2,0)，a1(2,0,2)，m(0,2,1)，(2,2，1)，(0,2，2)，设a1m与d1c所成角为，cos |cos，|，45.2. (选修21 p118a组t10改编)如图，棱长为a的正方体oeacbfgd中，p是ab上的一点，q是cd上的一点当点p为对角线ab的中点，点q在棱cd上运动时，则pq的最小值为()aa b.ac.a d.a答案 b解析 建立如图所示的空间直角坐标系oxyz，当点p为对角线ab的中点时，点p的坐标是.因为点q在线段cd上，设q(0，a，z)pq .当z时，pq的最小值为a.即点q在棱cd的中点时，pq有最小值a.故选b.3(选修21 p112a组t4改编)在正方体abcda1b1c1d1中，点e为bb1的中点，则平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为()a. b.c. d.答案 b解析 以a为原点建立如图所示的空间直角坐标系axyz，设棱长为1，则a1(0，0,1)，e(1,0，)，d(0,1,0)，(0,1，1)，所以有，即解得(1,2,2)平面abcd的一个法向量为(0,0,1)，cos，.即所成的锐二面角的余弦值为.4(选修21 p97练习t3改编)如图，正方体abcda1b1c1d1中，点m是ab的中点，则d1b与cm所成角的余弦值为()a. b.c. d.答案 c解析 建立如图所示的空间直角坐标系dxyz.设正方体棱长为2，则m(2,1,0)，c(0,2,0)，b(2,2,0)，d1(0,0,2)，(2，1，0)，(2,2，2)，cos，.d1b与cm所成角的余弦值为，故选c.5(选修21 p111练习t3改编)如图，在正方体abcda1b1c1d1中，e为bc1的中点，则de与平面bcc1b1所成角的正切值为()a. b.c. d.答案 c解析 设正方体abcda1b1c1d1的棱长为2， 以d为原点，以da为x轴，dc为y轴，dd1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， e为bc1的中点，d(0,0,0)，e(1,2,1)，(1,2,1)， 设de与平面bcc1b1所成角的平面角为， 平面bcc1b1的法向量(0,1,0)， sin |cos，|， cos ， tan ，故选c.6(选修21 p98a组t4改编)正四面体abcd棱长为2，e，f分别为bc，ad中点，则ef的长为_答案 解析 |22()22222()1222122(12cos 120021cos 120)2，|，ef的长为.7.(选修21 p118a组t12改编)如图将正方形纸片abcd沿对角线ac折成直二面角，点e、f分别为ad、bc的中点，o是原正方形abcd的中心，则折叠后eof的大小为_答案 解析 如图所示，以，方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，设正方形边长为2，则a(2,0,0)，b(0,2,0)，c(2,0,0)，d(0,0,2)e(1,0,1)，f(1,1,0)，(1,0,1)，(1,1,0)，cos， eof120. 8(选修21 p117a组t5改编)已知三点a(0,2,3)，b(2，1,6)，c(1，1,5)，则abc的面积为_答案 解析 (2，1,3)，(1，3,2)，|，|.cos，.则sin，.sabc|sin，. 9. (选修21 p112a组t6改编)如图，bcd与mcd都是边长为2的正三角形，平面mcd平面bcd，ab平面bcd，ab2，则点a到平面mbc的距离为_，平面acm与平面bcd所成二面角的正弦值为_ 答案 解析 取cd的中点o，连接ob，om，则obcd，omcd，又平面mcd平面bcd，则mo平面bcd.以o为原点，直线oc，bo，om为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，obom，则各点的坐标分别为o(0,0,0)，c(1,0,0)，m(0,0，)，b(0，0)，a(0，2)设(x，y，z)是平面mbc的法向量，则(1，0)，(0，)由，得xy0；由，得yz0.取(，1,1)，(0,0,2)，则距离d.(1,0，)，(1，2)设平面acm的法向量为(x，y，z)，由得解得xz，yz，取(，1,1)平面bcd的法向量为(0,0,1)，则cos，.设所求二面角为，则sin . 10(选修21 p118a组t11改编)某几何体abca1b1c1的三视图和直观图如图所示 (1)求证：a1c平面ab1c1； (2)求二面角c1ab1c的余弦值 解析 (1)证明：由三视图可知，在三棱柱abca1b1c1中，aa1底面a1b1c1，b1c1a1c1，且|aa1|ac|4，|bc|3.以点c为原点，分别以ca、cb、cc1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示由已知可得a(4,0,0)，b(0,3,0)，c(0,0,0)，a1(4,0,4)，b1(0,3,4)，c1(0,0,4)(4,0，4)，(4,0，4)，(0,3,0)0，0.a1cc1a，a1cc1b1.又c1ac1b1c1，a1c平面ab1c1.(2)由(1)得，(4,0,0)，(0,3,4)设平面ab1c的法向量为(x，y，z)，则，.，即.令y4，得平面ab1c的一个法向量为(0,4，3)由(1)知，是平面ab1c1的一个法向量cos，.故二面角c1ab1c的余弦值为.11(选修21 p119b组t3改编)在四棱锥sabcd中，底面abcd是直角梯形，dabcda90，sa平面abcd，cd2ab，e为sc中点(1)求证：be平面sad；(2)若saad2，且平面sbc与平面sad所成的二面角的余弦值为，求四棱锥sabcd的体积解析 (1)证明：设点f为sd的中点，连接af，ef，e点为sc的中点，ef为sdc的中位线，efdc，又dabcda90且cd2ab，abcd，abef，四边形abef为平行四边形，beaf，又af平面sad，be平面sad，be平面sad.(2)sa平面abcd，则可建以a为原点的空间直角坐标系(如图所示)，saad2，a(0,0,0)，d(2,0,0)，s(0,0,2)，设