2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程检测（A）（含解析）新人教A版选修.docx

第二章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知椭圆x225+y216=1上一点P到椭圆一个焦点的距离是3,则点P到另一个焦点的距离为()A.2B.3C.5D.7解析:设点P到另一个焦点的距离为d,由椭圆定义可知P到两焦点的距离之和3+d=2a=10,则d=10-3=7.答案:D2已知抛物线C1:y=2x2的图象与抛物线C2的图象关于直线y=-x对称,则抛物线C2的准线方程是()A.x=-18B.x=12C.x=18D.x=-12解析:抛物线C1:y=2x2关于y=-x对称的抛物线C2的解析式为-x=2(-y)2,即y2=-12x,故C2的准线方程为x=18.答案:C3已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于32,则双曲线C的方程是()A.x24-y25=1B.x24-y25=1C.x22-y25=1D.x22-y25=1解析:由曲线C的右焦点为F(3,0),知c=3.由离心率e=32,知ca=32,则a=2,故b2=c2-a2=9-4=5,因此,双曲线C的方程为x24-y25=1.答案:B4已知动点P到两个定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离之和为23(1),则点P轨迹的离心率的取值范围为()A.33,1B.33,32C.0,33D.32,1解析:由题意,得23|F1F2|=2,故点P的轨迹是椭圆,其中a=3,c=1.于是e=1313.故选C.答案:C5已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1PF2,且PF2F1=60,则C的离心率为()A.1-32B.2-3C.3-12D.3-1解析:不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|+|PF2|=2a.F2PF1=90,PF2F1=60,3c+c=2a,即(3+1)c=2a.e=ca=23+1=2(3-1)(3-1)(3+1)=3-1.答案:D6抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-y23=1的渐近线的距离是()A.12B.32C.1D.3解析:由题意可得,抛物线的焦点为(1,0),双曲线的渐近线方程为y=3x,即3x-y=0,故由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d=|3-0|2=32.答案:B7AB为过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的中心的弦,F1为一个焦点,则ABF1的最大面积是(c为半焦距)()A.acB.abC.bcD.b2解析:ABF1的面积为c|yA|,因此当|yA|最大,即|yA|=b时,面积最大.答案:C8如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,准线与对称轴交于点M,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为()A.y2=32xB.y2=3xC.y2=92xD.y2=9x解析:由抛物线的定义,知|BF|等于点B到准线的距离,由|BC|=2|BF|,得BCM=30.又|AF|=3,从而Ap2+32,332,A在抛物线上,代入抛物线方程y2=2px,解得p=32.故抛物线方程为y2=3x.答案:B9若椭圆x2a2+y2b2=1的焦点在x轴上,过点(2,1)作圆x2+y2=4的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程为()A.x212+y28=1B.x216+y212=1C.x25+y24=1D.x220+y216=1解析:设切点坐标为(m,n),则n-1m-2nm=-1,即m2+n2-n-2m=0,因为m2+n2=4,所以2m+n-4=0,即直线AB的方程为2x+y-4=0,由于直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,因此2c-4=0,b-4=0,解得c=2,b=4,所以a2=b2+c2=20,故椭圆方程为x220+y216=1.答案:D10若F1,F2分别为椭圆x22+y2=1的左、右焦点,点P(x,y)是直线x+y-2=0(x2,x1)上的动点,直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,则1k1-3k2的值为()A.2B.32C.-2D.随点P的位置而变化解析:由已知得F1(-1,0),F2(1,0),则有k1=yx+1,k2=yx-1,因此1k1-3k2=x+1y-3x-3y=-2x+4y,又因为P(x,y)在直线x+y-2=0上,所以1k1-3k2=-2x+4-x+2=2.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11双曲线x2256-y2144=1的两条渐近线的方程为_.解析:由题意可知所求双曲线的渐近线方程为y=34x.答案:y=34x12过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p=.解析:抛物线的焦点为Fp2,0,设直线方程为y=x-p2.由y2=2px,y=x-p2,得x2-3px+p24=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p.故|AB|=x1+x2+p=3p+p=8,即p=2.答案:213在平面直角坐标系xOy中,已知ABC的顶点A(-3,0)和C(3,0),顶点B在椭圆x225+y216=1上,则sinA+sinCsinB=_.答案:5314已知抛物线y2=2px(p0)焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,MFO的面积为43,则抛物线方程为_.解析:依题意Fp2,0,所以|MF|=4p2=2p,由抛物线的定义知点M的横坐标为2p-p2=3p2,因此其纵坐标y0满足y02=2p3p2=3p2,故|y0|=3p,而MFO的面积为43,所以12p23p=43,解得p=4,故抛物线方程为y2=8x.答案:y2=8x15在平面直角坐标系中,椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为2,以O为圆心,a为半径作圆,过点a2c,0所作圆的两条切线互相垂直,则椭圆的离心率e=_.解析:设点Ma2c,0,两个切点分别为P,Q.因为|MP|=|MQ|,MPMQ,所以四边形MPOQ是正方形.又因为c=1,所以a212=2a2.整理得a=2.故e=12=22.答案:22三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)点A,B分别是椭圆x236+y220=1的长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PAPF.求点P的坐标.解:由已知可得点A(-6,0),B(6,0),F(4,0).设点P的坐标是(x,y),则AP=(x+6,y),FP=(x-4,y).由已知,得x236+y220=1,(x+6)(x-4)+y2=0,解得x=32或x=-6.因为y0,所以只能取x=32,于是y=532,所以点P的坐标是32,532.17(8分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),短轴顶点B(0,b),若椭圆内接三角形BMN的重心是椭圆的左焦点F,求椭圆的离心率的取值范围.解:如图,设M(x1,y1),N(x2,y2),且已知B(0,b),F(-c,0),由重心公式,得x1+x2+03=-c,y1+y2+b3=0x1+x2=-3c,y1+y2=-b.则弦MN的中点E的坐标为-3c2,-b2.又点E在椭圆内部,则-3c22a2+-b22b21e2130eb0)上的一点,F1,F2为椭圆的两焦点,若PF1PF2,试求:(1)椭圆的方程;(2)PF1F2的面积.解:(1)令F1(-c,0),F2(c,0)(c0),则b2=a2-c2.因为PF1PF2,所以kPF1kPF2=-1.即43+c43-c=-1,解得c=5,所以可设椭圆方程为x2a2+y2a2-25=1.因为点P(3,4)在椭圆上,所以9a2+16a2-25=1,解得a2=45或a2=5.又因为ac,所以a2=5(舍去).故所求椭圆方程为x245+y220=1.(2)由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=65.又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,由2-得2|PF1|PF2|=80,所以SPF1F2=12|PF1|PF2|=20.19(10分)已知抛物线C:y2=2px(p0)与直线x-2y+4=0相切.(1)求该抛物线的方程;(2)在x轴的正半轴上,是否存在某个确定的点M,过该点的动直线l与抛物线C交于A,B两点,使得1|AM|2+1|BM|2为定值?如果存在,求出点M的坐标;如果不存在,请说明理由.解:(1)联立方程,有x-2y+4=0,y2=2px,消去x,得y2-22py+8p=0,由直线与抛物线相切,得=8p2-32p=0,解得p=4.所以抛物线的方程为y2=8x.(2)假设存在满足条件的点M(m,0)(m0).直线l:x=ty+m,由x=ty+m,y2=8x,得y2-8ty-8m=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),有y1+y2=8t,y1y2=-8m.|AM|2=(x1-m)2+y12=(t2+1)y12,|BM|2=(x2-m)2+y22=(t2+1)y22.1|AM|2+1|BM|2=1(t2+1)y12+1(t2+1)y22=1t2+1y12+y22y12y22=1t2+14t2+m4m2,当m=4时,1|AM|2+1|BM|2为定值,所以M(4,0).20(10分)如图,点P(0,-1)是椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径,l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程;(2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程.解:(1)由题意得b=1,a=2.故椭圆C1的方程为x24+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,则直线l1的方程为y=kx-1.又圆C2:x2+y2=4,故点O到直线l1的距离d=1k2+1,则|AB|=