江苏高考数学专题之“隐形圆”问题 (pdf版).pdf

隐形圆 问题 一 问题概述 江苏省高考考试说明中圆的方程是 C 级知识点 每年都考 但有些时候 在条件中没 有直接给出圆方面的信息 而是隐藏在题目中的 要通过分析和转化 发现圆 或圆的方程 从而最终可以利用圆的知识来求解 我们称这类问题为 隐形圆 问题 二 求解策略 如何发现隐形圆 或圆的方程 是关键 常见的有以下策略 策略一 利用圆的定义 到定点的距离等于定长的点的轨迹 确定隐形圆 例例 1 1 如果圆 x 2a 2 y a 3 2 4 上总存在两个点到原点的距离为 1 则实数 a 的取 值范围是 6 0 5 a 略解 到原点的距离为 1 的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆 转化到此单位圆与已知 圆相交求解 2 2016 年南京二模 已知圆 O x2 y2 1 圆 M x a 2 y a 4 2 1 若圆 M 上 存在点 P 过点 P 作圆 O 的两条切线 切点为 A B 使得 APB 60 则 a 的取值范 围为 解 由题意得2OP 所以 P 在以 O 为圆心 2 为半径的圆上 即此圆与圆 M 有公共 点 因此有 22 22 21211 4 922 22 OMaaa 3 2017 年苏北四市一模 已知AB 是圆 22 1 1Cxy 上的动点 3AB P是圆 22 2 3 4 1Cxy 上的动点 则PAPB 的取值范围是 7 13 略解 取 AB 的中点 M 则 C1M 1 2 所以 M 在以 C1圆心 半径为 1 2 的圆上 且 2PAPBPM 转化为两圆上动点的距离的最值 4 若对任意 R 直线 l xcos ysin 2sin 6 4 与圆 C x m 2 y 3m 2 1 均无公共点 则实数 m 的取值范围是 15 22 略解 直线 l 的方程为 x 1 cos y 3 sin 4 M 1 3 到 l 距离为 4 所以 l 是 以 M 为圆心半径为 4 的定圆的切线系 转化为圆 M 与圆 C 内含 注 直线 l x x0 cos y y0 sin R 为圆 M 222 00 xxxyR 的切线系 例例 2 2017 年南通市一模 在平面直角坐标系 xOy 中 已知 B C 为圆 22 4xy 上两点 点 1 1 A 且 AB AC 则线段 BC 的长的取值范围为 解 法一 标解 设BC的中点为 M x y 因为 22222 OBOMBMOMAM 所以 22 22 411xyxy 化简得 22 113 222 xy 所以点M的轨迹是以 11 22 为圆心 3 2 2 为半径的 圆 所以AM的取值范围是 6262 22 所 以BC的取值范围是6262 法二 以 AB AC 为邻边作矩形 BACN 则 BC AN 由矩形的几何性质 矩形所在平面上的任意一点到其对角线上的两个顶点的距离的平方 和相等 有 2222 OBOCOAON 所以 ON 6 故 N 在以 O 为圆心 半径为6的圆上 所以BC的取值范围是6262 变式变式 1 2014 年常州高三期末卷 在平面直角坐标系 xOy 中 已知圆 22 16 O xy 点 P1 2 M N 为圆 O 上两个不同的点 且0PM PN 若PQPMPN 则PQ的 最小值为 3 35 变式变式 2 已知圆 1 C 22 9xy 圆 2 C 22 4xy 定点 1 0 P 动点 A B分别在圆 1 C和圆 2 C上 满足90APB 则线段AB的取值范围 2 31 2 31 变式变式 3 已知向量 a b c 满足3 2 1 0 abcacbc 则 ab范围 为 2 31 2 31 x y O 例例 2 A B C M x y P O B A 策略二 动点 P 对两定点 A B 张角是 0 90 1 PAPB kk 或PA PB 0 确定隐形圆 例例 3 1 2014 年北京卷 已知圆 C 22 3 4 1xy 和两点 0 Am 0 B m 若圆上存在点 P 使得90APB 则 m 的取值范围是 4 6 略解 由已知以AB为直径的圆与圆C有公共点 2 海安 2016 届高三上期末 在平面直角坐标系 xOy 中 已知点 P 1 0 Q 2 1 直线 l 0axbyc 其中实数 a b c 成等差数列 若点 P 在直线 l 上 的射影为 H 则线段 QH 的取值范围是 2 3 2 解 由题意 圆心 C 1 2 在直线 ax by c 0 上 可得 a 2b c 0 即 c 2b a 直线 l 2a b x 2b c y 2c a 0 即 a 2x y 3 b 4 x 0 由 230 40 xy x 可得 x 4 y 5 即直线过定点 M 4 5 由题意 H 在以 PM 为直径的圆上 圆心为 A 5 2 方程为 x 5 2 y 2 2 50 CA 4 2 CH 最小为 52 42 2 CH 最大为 42 52 92 线段 CH 长度的取值范围是 2 92 3 通州区 2017 届高三下开学初检测 设m R 直线 1 l 0 xmy 与直线 2 l 240mxym 交于点 00 P x y 则 22 000 2xyx 的取值范围 是 124 10 124 10 略解 l1过定点 O 0 0 l2过定点 A 2 4 则 P 在以 OA 为直径的圆上 除去一点 变式变式 2017 年南京二模 在平面直角坐标系 xOy 中 直线 l1 kx y 2 0 与 直线 l2 x ky 2 0 相交于点 P 则当实数 k 变化时 点 P 到直线 x y 4 0 的距 离的最大值为 3 2 策略三 两定点 A B 动点 P 满足PA PB 确定隐形圆 例例 4 1 2017 年南通密卷 3 已知点 2 3 A 点 6 3 B 点 P 在直线3430 xy 上 若满足等式20AP BP 的点 P 有两个 则实数 的取值范围是 解 设P x y 则 2 3 APxy 6 3 BPxy 根据 20AP BP 有 2 2 13 4132 2 xy 由题意 圆 2 2 13 4132 2 xy 圆与直线3 430 xy 相交 圆心到直线的距离 22 3 44 03 3132 34 d 所以2 2 2016 年盐城三模 已知线段 AB 的长为 2 动点 C 满足CA CB 为常数 且点 C 总不在以点 B 为圆心 1 2 为半径的圆内 则负数 的最大值是 3 4 略解 动点 C 满足方程 22 1xy 策略四 两定点 A B 动点 P 满足 22 PAPB 是定值确定隐形圆 例例 5 1 在平面直角坐标系 xOy 中 已知圆 C x a 2 y a 2 2 1 点 A 0 2 若 圆 C 上存在点 M 满足 MA2 MO2 10 则实数 a 的取值范围是 0 3 略解 M 满足的方程为 22 1 4xy 转化为两圆有公共点 2 2017 年南京 盐城一模 在ABC 中 A B C 所对的边分别为 a b c 若 222 28abc 则ABC 面积的最大值为 2 5 5 解 以 AB 的中点为原点 AB 所在直线为 x 轴 建系 设 0 2 c A 0 2 c B C x y 则由 222 28abc 得 2222 28 22 cc xyxyc 即 222 5 4 4 xyc 所以点 C 在此圆上 S 222 51552 5 4 4 2244455 cc rccc 变式变式 2008 年高考江苏卷 若22ABACBC 则 ABC S 的最大值 2 2 策略五 两定点 A B 动点 P 满足01 PA PB 确定隐形圆 阿波罗尼斯圆 例例 6 1 2016 年南通一模 在平面直角坐标xOy中 已知点 1 0 4 0 AB 若直线 0 xym 上存在点 P 使得 1 2 PAPB 则实数 m 的取值范围 是 2 2 2 2 略解 点 P 满足圆的方程为 22 4xy 转化到直线与圆相交 2 2016 届常州一模 在平面直角坐标系 xOy 中 已知圆 O x2 y2 1 O1 x 4 2 y2 4 动点 P 在直线30 xyb 上 过点 P 作圆 O O1的两条切线 切点分别为 A B 若满足2PBPA 的点 P 有且仅有两个 则 b 的取值范围 20 4 3 例例 7 2017 年南通二模 一缉私艇巡航至距领海边界线 l 一条南北方向的直线 3 8 海里的 A 处 发现在其北偏东 30 方向相距 4 海里的 B 处有一走私船正欲逃跑 缉私艇立即追 击 已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的 3 倍 假设缉私艇和走私船均按直线方 向以最大航速航行 1 若走私船沿正东方向逃离 试确定缉私艇的追击方向 使得用最短时间在领海内拦截 成功 参考数据 sin17 3 6 335 7446 2 问 无论走私船沿何方向逃跑 缉私艇是否总能在领海内成功拦截 并说明理由 解 1 略 2 如图乙 以A为原点 正北方向所在的直线为y轴建立平面直角坐标系xOy 则 22 3B 设缉私艇在 P xy 处 缉私艇恰好截住走私船的位置 与走私 船相遇 则3 PA PB 即 22 2 2 3 2 2 3 xy xy 整理得 22 999 3 444 xy 所以点 P xy 的轨迹是以点 99 3 44 为圆心 3 2 为半径的圆 因为圆心 99 3 44 到领海边界线l 3 8x 的距离为 1 55 大于圆半径 3 2 所以缉私艇能在领海内截住走私船 策略六 由圆周角的性质确定隐形圆 例例 8 1 已知 a b c分别为ABC 的三个内角 A B C的对边 2a a b sinA sinB c b sinC 则ABC 面积的最大值为 3 y 公海 领海 A B 图乙 60 l x 领海 A B 北 例 7 30 公海 l 略解 cos A 1 2 A 60 设ABC 的外接圆的圆心为 O 外接圆的半径为 2 3 3 则 O 到 BC 的距离为 3 3 则边 BC 上的高 h 的最大值为 3 3 2 3 3 3 则面积的最大值 为3 2 2017 年常州一模 在 ABC 中 C 45o O 是 ABC 的外心 若OCmOAnOB m n R 则 m n 的取值范围是 2 1 略解 AOB 2 C 90 点 C 在以 O 为圆心 半径 OA 的圆上 在优弧 AB 上 三 同步练习 1 已知直线20 l xym 上存在点 M 满足与两点 2 0 A 2 0 B连线的斜率之积为1 则实数 m 的取值范围是 2 5 2 5 2 2016 年泰州一模 已知实数 a b c 满足 222 abc 0c 则 2 b ac 的取值范围 为 33 33 3 已知 tR 则 22 cos2 sin2 tt 的取值范围是 2 21 2 21 4 已知圆 22 341 Cxy 和两点00 AmB m 0 m 若圆 C 上存在点 P 使 得1PA PB 则 m 的取值范围是 15 35 5 在平面直角坐标系xOy中 圆 22 1xy 交x轴于 A B两点 且点A在点B左边 若直 线 30 xym 上存在点P 使得 2PAPB 则m的取值范围为 13 1 3 6 2016 年苏北四市一模 已知 1 0 A 0 1 B 0 tC 点D是直线AC上的动点 若2ADBD 恒成立 则最小正整数t的值为 4 7 2016 年无锡一模 已知圆 22 2 4Cxy 线段 EF 在直线 1l yx 上运动 点 P 为线段 EF 上任意一点 若圆 C 上存在两点 A B 使得0PA PB 则线段 EF 长度 的最大值是 14 8 如图 已知点 A 1 0 与点 B 1 0 C 是圆 x2 y2 1 上的 动点 与点 A B 不重合 连接 BC 并延长至 D 使得 CD BC 则线段 PD 的取值范围 2 2 3 9 在平面直角坐标系 xOy 中 已知点 0 0 Att 0 B t 点 C 满足8AC BC 且点 C 到直线 l 34240 xy 的最小距离为 9 5 则实数 t 的值是 1 10 2013 年江苏卷第 17 题改编 在平面直角坐标系xOy中 已知点0 0 O 0 3 A如果 圆 22 241 Cxaya 上总存在点 M 使得2MAMO 则圆心C的横坐标a的 取值范围是 12 0 5 11 已知向量 a b c 满足2 a 3 ba b 若 2 23 0 cabc 则 bc的最大 值是 12 12 设点 A B是圆 22 4xy 上的两点 点 1 0 C 如果90ACB 则线段AB长度的取 值范围为 71 71 13 在ABC 中 BC 2 AC 1 以 AB 为边作等腰直角三角形 ABD B 为直角顶点 C D 两点在直线 AB 的两侧 当 C 变化时 线段