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数学奥林匹克初中训练题11 第一试一、选择题(每小题7分,共42分)1.设an=7n+9n(nN+).则a2 008被64除的余数为( ) .(A) 0 (B) 2 (C) 16 (D) 222.图1的各图中,不是立方体的侧面展开图的个数为( ) . (A)1 (B)2 (C)3 (D)43.多项式|x+1|+|x+2|+|x+2 008|+|x-1|+|x-2|+|x-2 008|的最小值是( ).(A)4 034 072 (B)4 030 056(C)2 008 (D)04.有四位同学参加一场竞赛.竞赛规则规定:每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答,选甲题答对得100分,答错得-100分;选乙题答对得90分,答错得-90分.若四位同学的总分为0,则这四位同学不同得分情况的种数是( ) .(A)18 (B) 24 (C)36 (D)485.不定方程 (x+y)(y+z) (z+x)+(x+y+z)3=1-xyz的所有整数解有( )组.(A) 2 (B)4 (C)5 (D)66.有一个实心多面体,从左往右看、右往左看,都如图2(a);从前往后看、从后前看,都如图2(b);从下往上看如图2(c).且图中的正方形的边长都是6.那么,这个心多面体的体积是( ). (A)72 (B)108 (C)144 (D)180二、填空题(每小题7分,共28分)1.在2 008/3的分子、分母上分别加上同的整数a(a0),使该分数成为整数.则加的这个整数a共有 个.2.共有 个正整数n使1+7n完全平方数,并且1+3n2 007.3.关于x的方程其中a+b+c0,方程的解为 .4.如图,在圆周上有十个等分点,每隔两个等分点用一条线段连接两个等分点,共十条线段,它们彼此相交,构成了各种几何图形.则构成的图形中共有 个四边形.第二试一、(20分)把自然数按上小下大、左小右大的原则排成如图4的三角形数表(每行比上一行多一个数).设aij(i、jN+)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数的第j个数(如a42=8).(1)若aij=2 008,求i、j的值.(2)记三角形数表从上往下数第n行各数的和为bn,令.若数列cn的前n项和为Tn,求Tn.二、(25分)设l是锐角ABC所在平面内的一条直线,直线l分别关于ABC三边的对称直线两两交于点A、B、C.证明:ABC的内心在ABC的外接圆上.三、(25分)如果将自然数N放在任一个自然数的右面所得的新数总可被N整除,则称N为“魔术数”.试求出所有的魔术数.数学奥林匹克初中训练题11参考答案第一试 一、1.B.a2 008=(8-1)2 008+(8+1)2 008=64k+2.2.B.(a)、(b)、(d)、(e)、(g)、(h)、(i)、(j)、(k)、(l)是立方体的侧面展开图,(c)、(f)不是.3.A.由题设知在-1x1时,多项式有最小值2(1+2+2 008)=2 0082 009=4 034 072.4.C.(1)若四人全选甲(或乙),其中两人答对,两人答错,共有2C24=12种;(2)若两人选甲,两人选乙,每题各有一人答对,一人答错,共有22C24=24种.综合知,四位同学不同的得分情况为36种.5.D.设x+y=u,y+z=v,z+x=w.则方程变形为4uvw+(u+v+w)3=8-(u+v-w)(u-v+w) (-u+v+w) .整理得4(u2v+v2w+w2u+uv2+vw2+wu2)+8uvw=8,即 u2v+v2w+w2u+uv2+vw2+wu2+2uvw=2.对上式左边因式分解得(u+v)(v+w)(w+u)=2.于是,(u+v,v+w,w+u)=(1,1,2),(-1,-1,2),(1,-2,-1)及对称的情形.分别求解得(u,v,w)=(1,0,1),(1,-2,1),(1,0,-2).进而(x,y,z)=(1,0,0),(2,-1,-1).综上所述,结合对称性,可知原方程的整数解共有6组.6.C.如图,这个实心多面体实际就是一个棱长为6的正方体截去两个角所形成的立体图形.它的体积为63-(6666)2=144.二、1.3.由题意可知,应为一个整数,即=+1应为一个整数.所以,(3+a)|2 005=5401.由于2 005有4个约数,此时,a分别取2 002、398、2,还有一个约数对应的a的取值小于0.所以,符合题意的a共有3个.218.由条件1+3n2 007,得n668.设1+7n=m2 n=.既然n是正整数, 必是正整数.不妨设m+1=7k或m-1=7k.(1)当m+1=7k时,n=7k2-2k668.因为k是正整数,当k9时,7k2-2k7k2668;当k=10时,7k2-2k=680668.此时,有9个正整数n使1+7n是完全平方数,并且1+3n2 007.(2)当m-1=7k时,n=7k2+2k668.当k=9时,7k2+2k=585668.此时,有9个正整数n使1+7n是完全平方数,并且1+3n2 007.所以,符合题意的正整数n共有18个.3.x=a+b+c.将原方程变形为由此可解得x=a+b+c.4.45.图中有10条弦,取其中一条弦AB,以这条弦上的六个点依顺序取两个点计算有多少个四边形:(1)以A、C为两个顶点的四边形的一类有10个.(2)以A、D为两个顶点的凹四边形的一类有10个.(3)以A、E为两个顶点的四边形的一类有10个.(4)以A、F为顶点的梯形的一类有10个(因为梯形中仅有一条边是弦).(5)以A、F为顶点的平行四边形的一类有5个(因为平行四边形的一对平行边在一对平行的弦上).(6)以A、B为顶点的四边形包括在上述第(3)、(4)类中.(7)以不在圆周上的两个点为顶点的四边形包括在第(1)、(2)、(4)类中.第二试一、(1)三角形数表中前n行共有1+2+n=n(n+1)/2个,即第i行的最后一个数是i(i+1)/2.因此,使aij= 2 008的i是不等式i(i+1)/22 008的最小正整数解.因为6263/2=1 953,而6364/2=2 016,所以,i=63.于是,第63行的第一个数是6263/2+1=1 954.故j=(2 008-1 954)+1=55.(2)前n行的所有自然数的和为Sn=.则bn=Sn-Sn-1=n(n2+1)/2.所以,当n2时,cn=,Tn=.二、如图,设直线l与边BC、CA、AB交于点D、E、F,且直线l关于BC、CA、AB的对称直线分别为k、m、n,且设直线m与n、n与k、k与m的交点分别为A、B、C.因为BF、BD分别为BFD、BDF(或其外角)的平分线,故B为BFD的内心(或旁心).从而,BB平分ABC(或其外角).同理,CC平分BCA(或其外角). 设直线BB与CC交于点I,则I为ABC的内心.设BAC=EAF=.则BIC=90+ ,即 BIC=90- (或BIC=90+ ).在AEF中,FA、EA分别为AFE、AEF的平分线,故A为AEF的内心(或旁心).于是FAE=90+ (或FAE=90- ),即 BAC=90- (或BAC=90+ ).由式、得BIC+BAC=180(或BIC=BAC),即A、B、C、I四点共圆.故ABC的内心在ABC的外接圆上.三、设N为魔术数,其位数为m.则将N放在1的右面所得新数为10m+N.因为N|(10m+N),所以,N|10m.从而,N=2a5b(a、b为不超过m的非负整数),即N=2r10k或10k或5r10k(k为a、b中较小者,r为正整数,r+km且r+k为a、b中较大者).当N=5r10k时,由于54=625,若r4