数学奥林匹克初中训练题4.doc

数学奥林匹克初中训练题4第一试一、选择题(每小题7分,共42分)1.已知A、B两地间有6条网线并联,它们能通过的最大信息量分别是1,1,2,2,3,4.现从中任选三条网线且使这三条网线通过的最大信息量的和大于或等于6的方法共有( )种.(A)13 (B)14 (C)15 (D)162.设a、b、c是互不相等的任意正数,.则x、y、z这三个数( ).(A)都不大于2 (B)至少有一个大于2 (C)都不小于2 (D)至少有一个小于23.在凸四边形ABCD中,B=D=90,AD=DC.若S四边形ABCD=12,则AB+BC=( ).(A)6 (B)4 (C)5 (D)3 4.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像如图所示.记p=|a-b+c|+|2a+b|,q=|a+b+c|+|2a-b|.则有( ). (A)pq (B)p=q (C)pc(|x|+|y|+|z|).二、(25分)如图5,以锐角ABC的边AB为直径作半圆O交边BC、CA于点E、F.过点E、F分别作O的切线得交点P.求证:CPAB.三、(25分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像过点A(x1,y1)、B(x2,y2),且满足a2+(y1+y2)a+y1y2=0.(1)证明:y1=-a或y2=-a;(2)证明:函数f(x)的图像必与x轴有两个交点;(3)若关于x的不等式f(x)0的解集为x|xm或xn(nm0.数学奥林匹克初中训练题4参考答案第一试 一、1.C.如图6,依题意,第五、第六条网线必须至少有一条使用.若选择第六条网线,则前五条网线中任若选择第六条网线,则前五条网线中任选两条皆可,共有10种选法;若选择第五条网线,则再选择第四、第三条(3,2,2)有1种选法;或从第三、第四条与第一、第二条中分别任选一条(3,2,1)有22=4种选法,此时,有1+4=5种选法.综上所述,共有10+5=15种选法.2.B.注意到xyz=而a、b、c是互不相等的正数,所以,a+2,b+2,c+2,且等号不能同时成立.因此,xyz8.故x、y、z中至少有一个大于2.3.B.如图,将DAB旋转到DCK的位置.因为AD=DC,所以,点A必重合于点C.因为B=D=90,所以,A+C=180.故B、C、K三点共线.此时,DBK为等腰直角三角形,则SDBK=S四边形ABCD=12.所以,DB=DK=2 .故AB+BC=BK= DB=4 .4.C.由图1知,f(0)=c=0,f(1)=a+b+c0,则a+b0,f(-1)=a-b+c=a-b0.又由a1,得2a+b0.而2a-b=a+(a-b)0,所以,p=-(a-b)+(2a+b)=a+2b,q=(a+b)-(2a-b)=-a+2b.因为p-q=(a+2b)-(-a+2b)=2a0,故p0.故m=1.令f(x)=x2+(2a+1)x+2a,应有f(0)f(4)=2a(20+10a)0,即a(a+2)0.所以,-2ax.解得x(x+y+z)2+2|xy+yz+zx|=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx+|xy+yz+zx|)x2+y2+z2.而x2+y22|xy|,y2+z22|yz|,x2+z22|xz|,则2(x2+y2+z2)2(|xy|+|yz|+|zx|).两边同时加上x2+y2+z2,有3(x2+y2+z2)(|x|+|y|+|z|)2,即 x2+y2+z2 (|x|+|y|+|z|)2.故M2 (|x|+|y|+|z|)2因此,可取c=/3.二、如图,联结AE、BF得交点Q,显然,点Q为ABC的垂心,有CQAB.延长FP到点K,使PK=PF,联结EF、KE.易知PEF=PFE=EAF.联结PQ并延长交AB于点H.因为EQF=180-AQF=180-(90-EAF)=90+EAF=90+PEF,K= EPF= (180-2PEF)=90-PEF, 所以,EQF+K=180.故K、F、Q、E四点共圆.注意到PK=PE=PF,则P必是该圆的圆心.此时,PQ=PF.于是,PQF=PFQ=PFB=FAB=FAH.故A、H、Q、F四点共圆.此时,PHA=QHA=180-QFA=90,所以,PHAB,即PQAB.由式、知C、P、Q三点共线.故CPAB.三、(1)由a2+(y1+y2)a+y1y2=0,得(a+y1)(a+y2)=0.解得y1=-a或y2=-a.(2)当a0时,二次函数f(x)的图像开口向上,图像上的点A、B的纵坐标至少有一个为-a0,所以,图像与x轴有两个交点;当a0,所以,图像与x轴有两个交点.故函数f(x)的图像与x轴有两个不同交点.(3)因为ax2+bx+c0的解集为x|xm或xn(nm0,b0,c