高中数学 第二章 解析几何初步课件 北师大版必修2 .pptVIP

1 直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念 它们从 形 和 数 两个方面刻画了直线的倾斜程度 倾斜角与斜率的对应关系是做题的易错点 应引起足够的重视 2 经过a x1 y1 b x2 y2 两点的直线的斜率公式应用时应注意其使用条件x1 x2 直线的倾斜角和斜率问题 例1 2011 临沂高一检测 已知点a 2 3 b 5 2 若直线l过点p 1 6 且与线段ab相交 求该直线倾斜角的取值范围 审题指导 本题中a b p的坐标已知 可画出图像 利用斜率与倾斜角的关系求解 规范解答 如图所示 直线pa的倾斜角为 直线pb的倾斜角为从而直线l的倾斜角的取值范围是 1 直线方程的五种形式各有优劣 在使用时要根据题目要求灵活选取 尤其在使用四种特殊形式时 注意它们各自的适用条件 必要时对特殊情况进行讨论 2 待定系数法是求直线方程的常用方法 求直线的方程时要借助直线的位置关系进行巧设 如平行直线系 垂直直线系 过定点的直线系等等要灵活掌握 直线方程及其位置关系问题 3 直线位置关系的判断方式设两条直线的方程分别是l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0 a2 b2 c2 0 则 两直线平行 两直线相交特别地 当两直线l1 a1x b1y c1 0与l2 a2x b2y c2 0相互垂直时有a1a2 b1b2 0 两直线重合在使用斜截式判断直线的位置关系时 注意直线斜率不存在的情形 例2 已知两直线l1 x m2y 6 0 l2 m 2 x 3my 2m 0 当m为何值时 l1与l2 1 相交 2 平行 3 重合 审题指导 对直线的斜率存在与否 进行讨论 转化为 斜截式 后 才能使用相关结论 规范解答 当m 0时 l1 x 6 0 l2 x 0 l1 l2 当m 0时 则两直线化为斜截式方程分别为 l1 l2 1 当即m 1 m 3时 l1与l2相交 2 当即m 1时 l1 l2 3 当即m 3时 l1与l2重合 综上所述知 1 当m 1 m 3且m 0时 l1与l2相交 2 当m 1或m 0时 l1 l2 3 当m 3时 l1与l2重合 例3 2011 佛山高二检测 直线l1 3x 4y 5 0与直线l2 2x 3y 8 0的交点为m 1 求经过点m和原点的直线方程 2 求经过点m与直线2x y 5 0垂直的直线方程 审题指导 联立直线l1与直线l2的方程求交点坐标 利用两点式或点斜式求 1 利用垂直直线系求 2 规范解答 由得 m点的坐标为 1 2 1 所求直线方程经过点 0 0 与m 1 2 则直线方程为即2x y 0 2 所求直线方程与直线2x y 5 0垂直 故可设所求直线方程为x 2y c 0 又点m在直线上 1 2 2 c 0 解得c 5 所求直线的方程为x 2y 5 0 1 圆的方程有两种形式 1 圆的标准形式 x a 2 y b 2 r2 2 圆的一般形式 x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 无论哪种形式都含有三个参数 求解圆的方程时常常利用待定系数法 借助方程组求解 圆的方程及其位置关系问题 2 直线与圆及圆与圆的位置关系的判断是圆的核心问题 求解思路有两种 代数法 几何法 学习时应明确两种方法的优劣 巧妙利用圆的有关几何性质解题可大大简化解题步骤 提高解题能力 例4 2011 深圳高一检测 已知方程x2 y2 2x 4y m 0 1 若此方程表示圆 求m的取值范围 2 若 1 中的圆与直线x 2y 4 0相交于m n两点 且om on o为坐标原点 求m的值 3 在 2 的条件下 求以mn为直径的圆的方程 审题指导 二元二次方程含有参数m 求解 1 利用d2 e2 4f 0可以解决 设m x1 y1 n x2 y2 则om on可以转化为x1x2 y1y2 0 借助方程的观点求解 2 利用圆的几何性质求得 3 的方程 规范解答 1 x2 y2 2x 4y m 0 d 2 e 4 f m由d2 e2 4f 20 4m 0 可得m 5 2 联立方程组消去x得5y2 16y 8 m 0设m x1 y1 n x2 y2 om on x1x2 y1y2 0 5y1y2 8 y1 y2 16 0 3 设圆心为 a b 则半径 圆的方程为 例5 过原点o作圆c x2 y2 6x 8y 20 0的两条切线 设切点分别为p q 求 1 经过圆心c 切点p q这三点的圆的方程 2 直线pq的方程 3 线段pq的长 审题指导 解答本题中的 1 可利用o p q c四点共圆求解 解答本题中的 2 可利用相减法求公共弦所在的直线 对于 3 可用几何法 也可用代数法求解 规范解答 1 连接cp cq 由圆的几何性质可知op cp oq cq 点o p c q四点共圆 且oc是该圆的直径 又圆x2 y2 6x 8y 20 0可化为 x 3 2 y 4 2 5 c 3 4 所求圆的圆心为半径 过p c q三点的圆的方程为 2 直线pq即为 1 中求得的圆与圆c的公共弦所在的直线 由可得3x 4y 20 0 即为直线pq的方程 3 方法一 圆心c 3 4 到直线3x 4y 20 0的距离方法二 由得或 p 4 2 与圆有关的最值问题的转化 1 形如的最值问题 可转化为动直线的斜率的最值问题 2 形如t ax by的最值问题 可转化为动直线的截距的最值问题 3 形如m x a 2 y b 2的最值问题 可转化为两点间的距离的平方的最值问题 与圆有关的最值问题 例6 已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 1 求的最大值与最小值 2 求y x的最大值与最小值 3 求x2 y2的最大值与最小值 审题指导 注意到 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率 y x可以看作直线y x b在y轴上的截距 x2 y2是圆上一点与原点距离的平方 借助平面几何知识 利用数形结合求解 规范解答 原方程可化为 x 2 2 y2 3 表示以点 2 0 为圆心 为半径的圆 1 设即y kx 当直线y kx与圆 x 2 2 y2 3相切时 斜率k取得最大值与最小值 此时解得故的最大值为最小值为 2 设y x b 即y x b 当直线y x b与圆相切时 直线在y轴上的截距b取得最大值与最小值 此时解得故y x的最大值为最小值为 3 x2 y2表示圆上的点与原点的距离的平方 由平面几何知识知它在原点与圆心的连线上时与圆的两个交点处分别取得最大值和最小值 又圆心与原点的距离为2 故x2 y2的最大值为最小值为 1 对称问题的分类 对称问题 2 对称问题的求解策略 1 点关于点的对称问题 是对称问题中最基础最重要的一类 其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键 2 点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸 处理这类问题主要抓住两个方面 两点连线与已知直线斜率乘积等于 1 两点的中点在已知直线上 3 直线关于点的对称问题 可转化为直线上的点关于此点对称的问题 这里需要注意到的是两对称直线是平行的 我们往往利用平行直线系去求解 例7 已知直线l x 2y 3 0 1 求点a 1 3 关于直线l的对称点a 的坐标 2 求直线l关于点a 1 3 对称的直线l 的方程 审题指导 1 因为a a 关于直线对称 所以直线l是线段aa 的垂直平分线 2 直线l 与直线l关于点a 1 3 对称 则直线l与直线l 相互平行且点a到两直线的距离相等 规范解答 1 由题意可知 直线l与直线aa 垂直 并且平分线段aa 设a 的坐标为 x y 则aa 的中点b的坐标为由题意可知 解得故所求点a 的坐标为 2 直线l与l 关于点a 1 3 对称 设l 的方程为x 2y c 0 则由题意可知解得 c 3 舍去 或c 11故所求直线l 的方程为x 2y 11 0 1 2011 潍坊模拟 若一个直角三角形的三条边所在直线的斜率分别为k1 k2 k3 且k1 k2 k3 则下列说法中一定正确的是 a k1 k2 1 b k1 0 c k2 0 d k2 k3 1 解析 选b 直角三角形的三条边所在直线的斜率必有一个负值 又k1 k2 k3 故k1 0 2 2011 海淀高一检测 已知直线l1 x 2ay 1 0 与l2 2a 1 x ay 1 0平行 则a的值是 a 0或1 b 1或 c 0或 d 解析 选c 由两直线平行的关系可知1 a 2a 2a 1 0 解得a 0或经检验 a 0或均符合题意 3 1 点 2 3 4 关于yoz平面的对称点为 2 点 2 3 4 到原点的距离为 解析 1 点 2 3 4 关于yoz平面的对称点为 2 3 4 2 点 2 3 4 到原点的距离为答案 1 2 3 4 4 已知直线l经过a 1 m b m 1 两点 1 当直线l与x轴平行时 m 2 当l与y轴平行时 m 3 当l的斜率为时 m 解析 1 当直线与x轴平行时 a b两点的纵坐标相等 m 1 2 当直线与y轴平行时 直线无斜率 得m 1 3 l的斜率为 得即答案 1 1 2 1 3 5 求满足下列条件的直线方程 1 经过点 1 2 倾斜角为45 2 在y轴上的截距为4 斜率为直线y x 1的斜率的相反数 解析 1 由题意可知直线的斜率为1 又过点 1 2 由直线方程的点斜式得所求直线方程为y 2 x 1 即y x 3 2 直线y x 1的斜率为1 所求直线的斜率为 1 由斜截式得所求直线方程为y x 4 6 求与直线y x相切 圆心在直线y 3x上且被y轴截得的弦长为的圆的方程 解析 设圆心坐标为o1 x0 3x0 半径为r y轴与圆的交分别为a b 则解得又 2 x02 2x02 即圆的方程为 7 已知两圆 x 1 2 y 2 2 m2 x 1 2 y 1 2 m 1 2 m 0 试求m为何值时 两圆 1 有惟一公共点 2 有两个公共点 3 无公共点