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几何概型 1 1 问题情境 问题1 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环 从外向内为白色 黑色 蓝色 红色 靶心为金色 金色靶心叫 黄心 奥运会的比赛靶面直径为122cm 靶心直径为12 2cm 运动员在70m外射 假设射箭都能中靶 且射中靶面内任意一点都是等可能的 那么射中黄心的概率有多大 2 1 试验中的基本事件是什么 能用古典概型描述该事件的概率吗 为什么 2 每个基本事件的发生是等可能的吗 射中靶面上每一点都是一个基本事件 这一点可以是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点 3 符合古典概型的特点吗 3 问题2 取一根长度为3m的绳子 拉直后在任意位置剪断 那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大 1 试验中的基本事件是什么 能用古典概型描述该事件的概率吗 为什么 2 每个基本事件的发生是等可能的吗 3 符合古典概型的特点吗 从每一个位置剪断都是一个基本事件 剪断位置可以是长度为3m的绳子上的任意一点 4 问题3 有一杯1升的水 其中漂浮有1个微生物 用一个小杯从这杯水中取出0 1升 求小杯水中含有这个微生物的概率 1 试验中的基本事件是什么 能用古典概型描述该事件的概率吗 为什么 2 每个基本事件的发生是等可能的吗 3 符合古典概型的特点吗 微生物出现的每一个位置都是一个基本事件 微生物出现位置可以是1升水中的任意一点 5 1 一次试验可能出现的结果有无限多个 2 每个结果的发生都具有等可能性 上面三个随机试验有什么共同特点 对于一个随机试验 我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点 该区域中每一个点被取到的机会都一样 而一个随机事件的发生则理解为恰好取到所述区域内的某个指定区域中的点 这里的区域可以是线段 平面图形 立体图形等 用这种方法处理随机试验 称为几何概型 6 数学理论 将古典概型中的有限性推广到无限性 而保留等可能性 就得到几何概型 古典概型的本质特征 1 基本事件的个数有限 2 每一个基本事件都是等可能发生的 几何概型的本质特征 3 事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中 1 有一个可度量的几何图形S 2 试验E看成在S中随机地投掷一点 7 如何求几何概型的概率 P A P B P C 8 注意 D的测度不能为0 其中 测度 的意义依D确定 当D分别为线段 平面图形 立体图形时 相应的 测度 分别为长度 面积 体积等 9 数学运用 例1 某人午觉醒来 发现表停了 他打开收音机 想听电台报时 求他等待的时间不多于10分钟的概率 解 设A 等待的时间不多于10分钟 我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于 50 60 时间段内 因此由几何概型的求概率的公式得答 等待的时间不超过10分钟 的概率为 10 例2 一海豚在水池中自由游弋 水池长30m 宽20m的长方形 求此刻海豚嘴尖离岸小于2m的概率 答 海豚嘴尖离岸小于2m的概率约为0 31 11 例3 取一个边长为2a的正方形及其内切圆 如图 随机地向正方形内丢一粒豆子 求豆子落入圆内的概率 解 记 豆子落入圆内 为事件A 则 P A 答 豆子落入圆内的概率为 撒豆试验 向正方形内撒n颗豆子 其中有m颗落在圆内 当n很大时 频率接近于概率 12 练一练 练习2 在1L高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子 从中随机取出10mL 含有麦锈病种子的概率是多少 解 取出10mL种子 其中 含有病种子 这一事件高为A 则 P A 答 含有麦锈病种子的概率为0 01 练习1 在数轴上 设点x 3 3 中按均匀分布出现 记a 1 2 为事件A 则P A A 1B 0C 1 2D 1 3 C 13 练习3 在正方形ABCD内随机取一点P 求 APB 90 的概率 B C APB 90 概率为0的事件可能发生 14 回顾小结 1 几何概型的特点 事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中 有一个可度量的几何图形S 试验E看成在S中随机地投掷一点 2 古典概型与几何概型的区别 相同 两者基本事件的发生都是等可能的 不同 古典概型要求基本事件有有限个 几何概型要求基本事件有无限多个 15 回顾小结 3 几何概型的概率公式 4 几何概型问题的概率的求解 16 几何概型 2 17 复习回顾 1 几何概型的特点 事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中 有一个可度量的几何图形S 试验E看成在S中随机地投掷一点 2 古典概型与几何概型的区别 相同 两者基本事件的发生都是等可能的 不同 古典概型要求基本事件有有限个 几何概型要求基本事件有无限多个 18 3 几何概型的概率公式 4 几何概型问题的概率的求解 19 1 某公共汽车站每隔5分钟有一辆公共汽车通过 乘客到达汽车站的任一时刻都是等可能的 求乘客等车不超过3分钟的概率 2 如图 假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆 分别计算它落到阴影部分的概率 巩固练习 20 3 某商场为了吸引顾客 设立了一个可以自由转动的转盘 并规定 顾客每购买100元的商品 就能获得一次转动转盘的机会 如果转盘停止时 指针正好对准红 黄或绿的区域 顾客就可以获得100元 50元 20元的购物券 转盘等分成20份 甲顾客购物120元 他获得购物券的概率是多少 他得到100元 50元 20元的购物券的概率分别是多少 21 例题讲解 例1 在等腰直角三角形ABC中 在斜边AB上任取一点M 求AM小于AC的概率 解 在AB上截取AC AC 故AM AC的概率等于AM AC 的概率 记事件A为 AM小于AC 答 AM AC的概率等于 22 抛阶砖 是国外游乐场的典型游戏之一 参与者只须将手上的 金币 设 金币 的直径为r 抛向离身边若干距离的阶砖平面上 抛出的 金币 若恰好落在任何一个阶砖 边长为a的正方形 的范围内 不与阶砖相连的线重叠 便可获奖 例2 抛阶砖游戏 问 参加者获奖的概率有多大 23 设阶砖每边长度为a 金币 直径为r 若 金币 成功地落在阶砖上 其圆心必位于右图的绿色区域A内 问题化为 向平面区域S 面积为a2 随机投点 金币 中心 求该点落在区域A内的概率 24 于是成功抛中阶砖的概率 由此可见 当r接近a p接近于0 而当r接近0 p接近于1 0 r a 若r a 你还愿意玩这个游戏吗 25 例3 会面问题 甲 乙二人约定在12点到17点之间在某地会面 先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的 且二人互不影响 求二人能会面的概率 解 以X Y分别表示甲乙二人到达的时刻 于是 即点M落在图中的阴影部分 所有的点构成一个正方形 即有无穷多个结果 由于每人在任一时刻到达都是等可能的 所以落在正方形内各点是等可能的 26 二人会面的条件是 答 两人会面的概率等于 27 送报人可能在早上6 30 7 30之间把报纸送到你家 你父亲离开家去工作的时间在早上7 00 8 00之间 问你父亲在离开家前能得到报纸 称为事件A 的概率是多少 变式题 假设你家订了一份报纸 28 6 30 7 30之间报纸送到你家7 00 8 00之间父亲离开家问你父亲在离开家前能得到报纸 称为事件A 的概率是多少 提示 如果用X表示报纸送到时间用Y表示父亲离家时间那么X与Y之间要满足哪些关系呢 29 解 以横坐标X表示报纸送到时间 以纵坐标Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系 假设随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的 所以符合几何概型的条件 根据题意 只要点落到阴影部分 就表示父亲在离开家前能得到报纸 即事件A发生 所以 30 例4 在一个圆上任取三点A B C 求能构成锐角三角形的概率 解 在一个圆上任取三点A B C 构成的三角形内角分别为 A B C 它们构成本试验的样本空间S 设 A x B y 则 构成锐角三角形的 x y 应满足的条件是 31 由几何概率计算得所求概率为 32 练一练 2 在一张方格纸上随机投一个直径1的硬币 问方格多小才能使硬币与线相交的概率大于0 99 3 Bertrand问题 已知半径为1的圆的内接等边三角形边长是 在圆内随机取一条弦 求弦长超过的概率 1 在线段AD上任意取两个点B C 在B C处折断此线段而得三折线 求此三折线能构成三角形的概率 4 一个服务窗口每次只能接待一名顾客 两名顾客将在8小时内随机到达 顾客甲需要1小时服务时间 顾客乙需要2小时 计算有人需