浙江省宁波市高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.3.1 幂函数教案 新人教A版必修1.docVIP

2.3.1 幂函数【教材分析】幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例,让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型,通过研究yx,yx2,yx3,yx-1,yx等函数的性质和图象,让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性：当幂指数a0时,幂函数的图象都经过点（0,0）和（1,1）,且在第一象限内函数单调递增；当幂指数a0时,幂函数的图象都经过点（1,1）,且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上,我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习.【教学目标】1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象,通过观察图象,了解幂函数图象的变化情况和性质2.了解几个常见的幂函数的性质,通过这几个幂函数的性质,总结幂函数的性质,通过画图比较,使学生进一步体会数形结合的思想3.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力,了解类比法在研究问题中的作用,培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力.【教学重难点】教学重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质.教学难点:幂函数的性质.【教学设计建议】一、导入新课1、前面我们已经学习过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，这类函数有什么特点呢？2、生活中也有这些问题：(1).如果张红购买了每千克1元的水果w千克,那么她需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？根据函数的定义可知,这里p是w的函数.(2).如果正方形的边长为a,那么正方形的面积s=a2,这里s是a的函数.(3).如果正方体的边长为a,那么正方体的体积v=a3,这里v是a的函数.(4).如果正方形场地面积为s,那么正方形的边长a=s,这里a是s的函数.(5).如果某人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的速度v=t-1km/s,这里v是t的函数.以上这些我们生活中经常遇到的几个数学模型,这些函数解析式有什么共同特点？【设计意图：简单回顾已有知识的基础上，通过实例加深和引出新的函数模型，形成认知冲突.】二、探索新知（一）观察分析上述函数的解析式，给这类函数命名。由于函数的指数是一个常数,底数是变量,类似于我们学过的幂的形式,因此我们称这种类型的函数为幂函数。如果我们用字母a来表示函数的指数,就能得到一般的式子,即幂函数的定义:一般地,形如y=xa（xr）的函数称为幂函数,其中x是自变量,a是常数.如y=x2,y=x,y=x3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数.（二）画出画出y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图象1、学生通过列表、描点、连线画函数图象:x-3-2-10123y=x-3-2-10123y=x011.411.73y=x29410149y=x3-27-8-101827y=x-1-11来源:z#xx#k.com2、观察图象,分组讨论,探究幂函数的性质和图象的变化规律，完成表格函数 性质y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定义域值域奇偶性单调性特殊点图象分布（三）归纳新知1、幂函数的定义及其注意2、上诉五个函数的图像及性质 函数性质 y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定义域rrrx|x0x|x0值域ry|y0ry|y0y|y0奇偶性奇奇奇非奇非偶奇单调性在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递减特殊点(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)图象分布第、象限第、象限第、象限第象限第、象限三、反思提升（一）幂函数的定义及说明（二）幂函数的图像及特点1、第一象限一定有幂函数的图象,第四象限一定没有幂函数的图象,而第二、三象限可能有,也可能没有图象,这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断.2、幂函数y=xa的性质.（1）所有的幂函数在（0,+）都有定义,并且图象都过点（1,1）；（2）当a0时,幂函数的图象都通过原点,并且在0,+)上是增函数（从左往右看,函数图象逐渐上升）.特别地,当a1时,x（0,1）,y=x2的图象都在y=x图象的下方,形状向下凸,a越大,下凸的程度越大.当0a1时,x（0,1）,y=x2的图象都在y=x的图象上方,形状向上凸,a越小,上凸的程度越大.（3）当a0时,幂函数的图象在区间（0,+）上是减函数.在第一象限内,当x向原点靠近时,图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴,当x慢慢地变大时,图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.（三）数学方法与思想类比法和数学结合的思想四、反馈例练（一）基础例练例1判断下列函数哪些是幂函数.y=0.2x;y=x-3;y=x-2;y=x.y=2x2活动：学生独立思考,讨论回答,教师巡视引导,及时评价学生的回答.根据幂函数的定义判别,形如y=xa（xr）的函数称为幂函数,严格按这个标准来判断.解：不是;是;是是不是例2求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性.（1）y=x,（2）y=x,（3）y=x-2.活动：学生思考,小组讨论,教师引导,学生展示思维过程,教师评价.解：（1）偶函数,它在(-,0上是减函数,在0,+)上是增函数.（2）非奇非偶的函数,它在(0,+)上是减函数.（3）偶函数,它在(-,0)上是增函数,在(0,+)上是减函数.点评：在函数解析式中含有分数指数时,可以把它们的解析式化成根式,进行判定.例3证明幂函数f(x)=在0,+)上是增函数.（二）巩固例练例1函数y（x2-2x）的定义域是( )a.x|x0或x2 b.（-,0）（2,）c.（-,02,) d.（0,2）答案：b例2 比较下列各组数的大小：（1）1.10.1,1.20.1;（2）0.24-0.2,0.25-0.2;(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2.活动：学生先思考或回忆,然后讨论交流,教师适时提示点拨.比较数的大小,常借助于函数的单调性.对（1）（2）可直接利用幂函数的单调性.对(3)只利用幂函数的单调性是不够的,还要利用指数函数的单调性,事实上,这里0.30.3可作为中间量.解：（1）5-0.2.(3).（三）拓展提升分别在同一坐标系中作出下列函数的图象,通过图象说明它们之间的关系.yx-1,yx-2,y=x-3;yx,yx;y=x,y=x2,y=x3;y=x,yx.活动：学生思考或交流,探讨作图的方法,教师及时提示,必要时,利用几何画板演示.解：利用描点法,在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如图2-3-2、图2-3-3，图2-3-4、图2-3-5.图2-3-2 图2-3-3图2-3-4 图2-3-5【设计意图：.】五、课后作业 1、教科书p79 1、2、32、校本教辅资料相应练习【教