湖南省常德市高考数学一模试卷 理（含解析）.doc

湖南省常德市2016年高考数学一模试卷（理科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设全集u=xn|x1，集合a=xn|x23，则ua=（）ab1c1，2d1，2，32设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数若z=12i，则复数在复平面内对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限3已知向量，均为单位向量，它们的夹角为，则|+|=（）a1bcd24已知随机变量xn（1，2），若p（0x2）=0.4，则p（x0）=（）a0.6b0.4c0.3d0.25已知函数，则=（）asin1bsin1c1d16如图程序框图的算法思路源于数学名著几何原本中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m mod n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）a0b5c45d907已知3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为（）abcd8已知圆c：x2+y22x4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，经过点m（m，m）作圆的两条切线，切点分别为p，q，则|pq|=（）a3bcd9函数是（）a最小正周期为的奇函数b最小正周期为的偶函数c最小正周期为的奇函数d最小正周期为的偶函数10不等式组的解集记为d，有下面四个命题：p1：（x，y）d，z1；p2：（x，y）d，z1p3：（x，y）d，z2；p4：（x，y）d，z0其中的真命题是（）ap1，p2bp1，p3cp1，p4dp2，p311某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）ab3c6d2412已知e为自然对数的底数，若对任意的x0，1，总存在唯一的y1，1，使得x+y2eya=0成立，则实数a的取值范围是（）a1，ebc（1，ed二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上13已知定义在r上的函数f（x）满足f（x+2）f（x）=0，当x（0，2时，f（x）=2x，则f（2016）=14已知（1x）6=a0+a1x+a2x2+a6x6，则|a0|+|a1|+|a6|=15已知双曲线=1（a0，b0）的左顶点为m，右焦点为f，过f的直线l与双曲线交于a，b两点，且满足： =2， =0，则该双曲线的离心率是16在四边形abcd中，ab=7，ac=6，cd=6sindac，则bd的最大值为三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）（2016常德一模）已知数列an前n项和为sn，且满足3sn4an+2=0（）求数列an的通项公式；（）令bn=log2an，tn为bn的前n项和，求证：18（12分）（2016常德一模）某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查右图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图：已知350，450），450，550），550，650）三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”（）求m，n的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在350，450），550，650）内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量x，求x的分布列及数学期望19（12分）（2016常德一模）如图所示的几何体中，abca1b1c1为三棱柱，且aa1平面abc，四边形abcd为平行四边形，ad=2cd，adc=60（）若aa1=ac，求证：ac1平面a1b1cd；（）若cd=2，aa1=ac，二面角ca1dc1的余弦值为，求三棱锥c1a1cd的体积20（12分）（2016常德一模）已知椭圆c1：的离心率为，焦距为，抛物线c2：x2=2py（p0）的焦点f是椭圆c1的顶点（）求c1与c2的标准方程；（）c1上不同于f的两点p，q满足，且直线pq与c2相切，求fpq的面积21（12分）（2016常德一模）已知函数，曲线y=f（x）在点（e2，f（e2）处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）（）求f（x）的解析式及单调减区间；（）若函数无零点，求k的取值范围请考生在第22，23，24三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分选修4-1：几何证明选讲22（10分）（2016常德一模）如图，已知ab=ac，圆o是abc的外接圆，cdab，ce是圆o的直径过点b作圆o的切线交ac的延长线于点f（）求证：abcb=cdce；（）若，求abc的面积选修4-4：坐标系与参数方程23（2016常德一模）已知曲线c的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，a，b的极坐标分别为a（2，），（）求直线ab的直角坐标方程；（）设m为曲线c上的动点，求点m到直线ab距离的最大值选修4-5：不等式选讲24（2016常德一模）己知函数f（x）=|2x+1|x1|（）求不等式f（x）2的解集；（）若关于x的不等式f（x）a有解，求a的取值范围2016年湖南省常德市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设全集u=xn|x1，集合a=xn|x23，则ua=（）ab1c1，2d1，2，3【分析】直接利用集合的补集求解即可【解答】解：全集u=xn|x1，集合a=xn|x23，则ua=1故选：b【点评】本题考查集合的基本运算，补集的求法，是基础题2设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数若z=12i，则复数在复平面内对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【分析】利用复数的乘法运算法则化简求解，求出复数的对应点的坐标即可判断选项【解答】解：z=12i，则复数=12i+i（1+2i）=-1i，复数对应点的坐标（-1，1）在第三象限故选：c【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的几何意义，是基础题3已知向量，均为单位向量，它们的夹角为，则|+|=（）a1bcd2【分析】由条件即可得到，且夹角为，从而进行数量积的运算便可求出，从而便可得出的值【解答】解：根据题意，；=；故选：a【点评】考查单位向量的概念，向量夹角的概念，以及向量数量积的运算及计算公式4已知随机变量xn（1，2），若p（0x2）=0.4，则p（x0）=（）a0.6b0.4c0.3d0.2【分析】随机变量服从正态分布n（1，2），得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到小于等于0的概率和大于等于2的概率是相等的得到结果【解答】解：随机变量服从正态分布n（1，2），曲线关于x=1对称，p（x0）=（1p（0x2）=（10.4）=0.3故选：c【点评】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题5已知函数，则=（）asin1bsin1c1d1【分析】利用分段函数、三角函数的性质求解【解答】解：函数，f（）=sin（）=sin=1，=f（1）=1故选：d【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用6如图程序框图的算法思路源于数学名著几何原本中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m mod n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）a0b5c45d90【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：第一次执行循环体，r=90，m=135，n=90，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体，r=0，m=45，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为45，故选：c【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答7已知3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为（）abcd【分析】利用相互独立事件概率乘法公式求解【解答】解：3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为：p=故选：b【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用8已知圆c：x2+y22x4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，经过点m（m，m）作圆的两条切线，切点分别为p，q，则|pq|=（）a3bcd【分析】由题意直线l：x+my+1=0过圆心c（1，2），从而得到m=1圆c半径r=2，当过点m（1，1）的切线的斜率不存在时，切线方程为x=1，把x=1代入圆c，得p（1，2）；当过点m（1，1）的切线的斜率存在时，设切线方程为y=k（x+1）1，由圆心c（1，2）到切线y=k（x+1）1的距离d=r，求出切线方程，与圆联立，得q（，），由此能求出|pq|【解答】解：圆c：x2+y22x4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，直线l：x+my+1=0过圆心c（1，2），1+2m+1=0解得m=1圆c：x2+y22x4y+1=0的圆心（1，2），半径r=2，当过点m（1，1）的切线的斜率不存在时，切线方程为x=1，圆心c（1，2）到x=1的距离为2，成立，把x=1代入圆c：x2+y22x4y+1=0，得y=2，p（1，2），当过点m（1，1）的切线的斜率存在时，设切线方程为y=k（x+1）1，圆心c（1，2）到切线y=k（x+1）1的距离d=，解得k=，切线方程为y=（x+1）1，即5x12y7=0，联立，得169x2598x+529=0，解得x=，y=，q（，），|pq|=故选：d【点评】本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用9函数是（）a最小正周期为的奇函数b最小正周期为的偶函数c最小正周期为的奇函数d最小正周期为的偶函数【分析】使用两角和差的三角函数公式化简函数解析式【解答】解：y=（cosxsinx）（cosxsinx）+=（cosxsinx）2=sin2x函数y的周期t=y=sinx是奇函数，y=sin2x为奇函数故选a【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题10不等式组的解集记为d，有下面四个命题：p1：（x，y）d，z1；p2：（x，y）d，z1p3：（x，y）d，z2；p4：（x，y）d，z0其中的真命题是（）ap1，p2bp1，p3cp1，p4dp2，p3【分析】画出约束条件不是的可行域，利用目标函数的几何意义，求出范围，判断选项的正误即可【解答】解：不等式组的可行域如图：的几何意义是可行域内的点与（1，1）连线的斜率，可知（1，1）与c连线的斜率最小，与b连线的斜率最大可得c（2，1）最小值为： =，z，由，解得x=1，y=3，b（1，3）最大值为： =2z2可得选项p2，p3正确故选：d【点评】本题考查线性规划的解得应用，命题的真假的判断，正确画出可行域以及目标函数的几何意义是解题的关键11某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）ab3c6d24【分析】根据三视图知几何体是三棱锥为长方体一部分，画出直观图，由长方体的性质求出该几何体外接球的半径，利用球的表面积公式求出该几何体外接球的表面积【解答】解：根据三视图知几何体是：三棱锥pabc为长方体一部分，直观图如图所示：且长方体的长、宽、高分别是1、1、2，三棱锥pabc的外接球与长方体的相同，设该几何体外接球的半径是r，由长方体的性质可得，2r=，解得r=，该几何体外接球的表面积s=4r2=6，故选：c【点评】本题考查由三视图求几何体外接球的表面积，在三视图与直观图转化过程中，以一个长方体为载体是很好的方式，使得作图更直观，考查空间想象能力12已知e为自然对数的底数，若对任意的x0，1，总存在唯一的y1，1，使得x+y2eya=0成立，则实数a的取值范围是（）a1，ebc（1，ed【分析】由x+y2eya=0成立，解得y2ey=ax，根据题意可得：a1（1）2e1，且a012e1，解出并且验证等号是否成立即可得出【解答】解：由x+y2eya=0成立，解得y2ey=ax，对任意的x0，1，总存在唯一的y1，1，使得x+y2eya=0成立，a1（1）2e1，且a012e1，解得ae，其中a=1+时，y存在两个不同的实数，因此舍去，a的取值范围是故选：b【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上13已知定义在r上的函数f（x）满足f（x+2）f（x）=0，当x（0，2时，f（x）=2x，则f（2016）=4【分析】由题意可得函数为周期为2的周期函数，可得f（2016）=f（2），代值计算可得【解答】解：定义在r上的函数f（x）满足f（x+2）f（x）=0，f（x+2）=f（x）即函数f（x）为周期为2的周期函数，又当x（0，2时，f（x）=2x，f（2016）=f（2）=22=4，故答案为：4【点评】本题考查函数的周期性，涉及指数的运算，属基础题14已知（1x）6=a0+a1x+a2x2+a6x6，则|a0|+|a1|+|a6|=64【分析】根据二项式定理可知a0，a2，a4，a6均为正数，a1，a3，a5均为负数，令x=1即可求出结论【解答】解：，由二项式定理可知a0，a2，a4，a6均为正数，a1，a3，a5均为负数，令x=1，得（1+1）6=a0a1+a2+a6=26=64，即|a0|+|a1|+|a6|=a0a1+a2+a6=64故答案为：64【点评】本题考查了用赋值法求二项式展开式的各项系数和的应用问题，是基础题目15已知双曲线=1（a0，b0）的左顶点为m，右焦点为f，过f的直线l与双曲线交于a，b两点，且满足： =2， =0，则该双曲线的离心率是2【分析】由中点的向量表示形式可得f为ab的中点， =0可得mamb，由abm为等腰直角三角形，可得tan45=，即有b2=a（c+a），由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值【解答】解：由=2， =0可得：f为ab的中点，mamb，由双曲线的对称性，可得abx轴，令x=c，可得y=b=，由abm为等腰直角三角形，可得：tan45=1，即有b2=a（c+a），即（ca）（c+a）=a（c+a），可得ca=a，即c=2a，即有e=2故答案为：2【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用平面向量共线定理和向量垂直的条件，考查等腰三角形的性质，属于中档题16在四边形abcd中，ab=7，ac=6，cd=6sindac，则bd的最大值为8【分析】由cd=6sindac，可得cdad点d在以ac为直径的圆上（去掉a，b，c）可得：当bd经过ac的中点o时取最大值，利用余弦定理可得：ob，可得bd的最大值=ob+ac【解答】解：由cd=6sindac，可得cdad点d在以ac为直径的圆上（去掉a，b，c）当bd经过ac的中点o时取最大值，ob2=32+72237cosbac=25，解得ob=5，bd的最大值=5+ac=8故答案为：8【点评】本题考查了余弦定理、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）（2016常德一模）已知数列an前n项和为sn，且满足3sn4an+2=0（）求数列an的通项公式；（）令bn=log2an，tn为bn的前n项和，求证：【分析】（）当n=1，a1=2，当n2，求得an=4an1，数列an是首项为a1=2，公比为4的等比数列，再利用等比数列的通项公式即可得出，（）写出bn的通项公式，bn=2n1，及前n项和tn=n2，采用裂项法，化简=2【解答】解：（）由3sn4an+2=0，令n=1，可得：a1=2； （2分）当n2时，可得（3sn4an+2）（3sn14an1+2）=0an=4an1（4分）所以数列an是首项为a1=2，公比为4的等比数列，故： =22n1（6分）（），tn=1+3+（2n1）=n2（8分）（11分）=2（12分）【点评】本题考查求数列通项公式及前n项和公式，属于中档题18（12分）（2016常德一模）某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查右图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图：已知350，450），450，550），550，650）三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”（）求m，n的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在350，450），550，650）内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量x，求x的分布列及数学期望【分析】（）由题意知 100（m+n）=0.6且2m=n+0.0015，由此能求出m，n的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数（）由题意从350，450）中抽取7人，从550，650）中抽取3人，随机变量x的取值所有可能取值有0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量x的分布列及随机变量x的数学期望e（x）【解答】解：（）由题意知 100（m+n）=0.6且2m=n+0.0015，故m=0.0025，n=0.0035（3分）所求平均数为：（元）（5分）（）由题意从350，450）中抽取7人，从550，650）中抽取3人（7分）随机变量x的取值所有可能取值有0，1，2，3，（9分）所以，随机变量x的分布列为x0123p随机变量x的数学期望e（x）=（12分）【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用19（12分）（2016常德一模）如图所示的几何体中，abca1b1c1为三棱柱，且aa1平面abc，四边形abcd为平行四边形，ad=2cd，adc=60（）若aa1=ac，求证：ac1平面a1b1cd；（）若cd=2，aa1=ac，二面角ca1dc1的余弦值为，求三棱锥c1a1cd的体积【分析】（）若aa1=ac，根据线面垂直的判定定理即可证明ac1平面a1b1cd；（）建立坐标系，根据二面角ca1dc1的余弦值为，求出的值，根据三棱锥的体积公式进行计算即可【解答】证明：（）若aa1=ac，则四边形acc1a1为正方形，则ac1a1c，ad=2cd，adc=60，acd为直角三角形，则accd，aa1平面abc，cd平面acc1a1，则cda1c，a1ccd=c，ac1平面a1b1cd；（）若cd=2，adc=60，ac=2，则aa1=ac=2，建立以c为坐标原点，cd，cb，cc1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则c（0，0，0），d（2，0，0），a（0，2，0），c1（0，0，2），a1（0，2，2），则=（2，2，2），=（2，0，0），=（0，2，0），设面ca1d的一个法向量为=（1，0，0）则=2x2y2z=0， =2x=0，则x=0，y=z，令z=1，则y=，则=（0，1）设面a1dc1的一个法向量为=（x，y，z）=2x2y2z=0， =2y=0，则y=0，2x2z=0，令z=1，则x=，则=（，0，1），二面角ca1dc1的余弦值为，cos，=，即（1+2）（1+32）=8，得=1，即aa1=ac，则三棱锥c1a1cd的体积v=v=4【点评】本题主要考查线面垂直的判断以及三棱锥体积的计算，根据二面角的关系建立坐标系求出的值是解决本题的关键20（12分）（2016常德一模）已知椭圆c1：的离心率为，焦距为，抛物线c2：x2=2py（p0）的焦点f是椭圆c1的顶点（）求c1与c2的标准方程；（）c1上不同于f的两点p，q满足，且直线pq与c2相切，求fpq的面积【分析】（i）设椭圆c1的焦距为2c，依题意有，由此能求出椭圆c1的标准方程；又抛物线c2：x2=2py（p0）开口向上，故f是椭圆c1的上顶点，由此能求出抛物线c2的标准方程（ii）设直线pq的方程为y=kx+m，设p（x1，y1），q（x2，y2），则，联立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m212=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出fpq的面积【解答】解：（i）设椭圆c1的焦距为2c，依题意有，解得，b=2，故椭圆c1的标准方程为（3分）又抛物线c2：x2=2py（p0）开口向上，故f是椭圆c1的上顶点，f（0，2），p=4，故抛物线c2的标准方程为x2=8y（5分）（ii）由题意得直线pq的斜率存在设直线pq的方程为y=kx+m，设p（x1，y1），q（x2，y2），则，（6分）即（*）联立，消去y整理得，（3k2+1）x2+6kmx+3m212=0（*）依题意，x1，x2是方程（*）的两根，=144k212m2+480，（7分）将x1+x2和x1x2代入（*）得m2m2=0，解得m=1，（m=2不合题意，应舍去）（8分）联立，消去y整理得，x28kx+8=0，令=64k232=0，解得（10分）经检验，m=1符合要求此时，（12分）【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用21（12分）（2016常德一模）已知函数，曲线y=f（x）在点（e2，f（e2）处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）（）求f（x）的解析式及单调减区间；（）若函数无零点，求k的取值范围【分析】（）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得m=2，求得f（x）的解析式，可得导数，令导数小于0，可得减区间；（）可得g（x），函数g（x）无零点，即要在x（0，1）（1，+）内无解，亦即要在x（0，1）（1，+）内无解构造函数对k讨论，运用单调性和函数零点存在定理，即可得到k的范围【解答】解：（）函数的导数为，又由题意有： ，故此时，由f（x）00x1或1xe，所以函数f（x）的单调减区间为（0，1）和（1，e（），且定义域为（0，1）（1，+），要函数g（x）无零点，即要在x（0，1）（1，+）内无解，亦即要在x（0，1）（1，+）内无解构造函数当k0时，h（x）0在x（0，1）（1，+）内恒成立，所以函数h（x）在（0，1）内单调递减，h（x）在（1，+）内也单调递减又h（1）=0，所以在（0，1）内无零点，在（1，+）内也无零点，故满足条件；当k0时，（1）若0k2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增又h（1）=0，所以在（0，1）内无零点；易知，而，故在内有一个零点，所以不满足条件；（2）若k=2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+）内单调递增又h（1）=0，所以x（0，1）（1，+）时，h（x）0恒成立，故无零点，满足条件；（3）若k2，则函数h（x）在内单调递减，在内单调递增，在（1，+）内也单调递增又h（1）=0，所以在及（1，+）内均无零点又易知，而h（ek）=k（k）2+2ek=2ekk22，又易证当k2时，h（ek）0，所以函数h（x）在内有一零点，故不满足条件综上可得：k的取值范围为：k0或k=2【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查函数方程的转化思想的运用，分类讨论的思想方法，以及函数零点存在定理的运用，考查化简整理的运算能力，属于难题请考生在第22，23，24三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分选修4-1：几何证明选讲22（10分）（2016常德一模）如图，已知ab=ac，圆o是abc的外接圆，cdab，ce是圆o的直径过点b作圆o的切线交ac的延长线于点f（）求证：abcb=cdce；（）若，求abc的面积【分析】（）连接ae，证明rtcbdrtcea，结合ab=ac，即可证