湖南省衡阳市高考数学二模试卷 理（含解析）.doc

2016年湖南省衡阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合m=x|1，n=y|y=1x2，则mn=（）a（，2b（0，1c（0，2d0，12复数的虚部为（）albicd3 =（）ab1cd14给出下列三个命题（1）“若x2+2x30，则x1”为假命题；（2）命题p：xr，2x0，则p：x0r，2x00（3）“=+k（kz）”是“函数y=sin（2x+）为偶数”的充要条件其中正确的个数是（）a0b1c2d35已知函数y=cosx与y=sin（2x+）（0），它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值为（）abcd6如图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入（）aq=bq=cq=dq=7我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，dn*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道=3.14159，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得的近似分数为（）abcd8已知变量x，y满足，则的取值范围是（）abcd9某几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面与底面的面积之比为（）abcd10如图，已知双曲线上有一点a，它关于原点的对称点为b，点f为双曲线的右焦点，且满足afbf，设abf=，且，则该双曲线离心率e的取值范围为（）abcd11如图，正abc的中线af与中位线de相交于g，已知aed是aed绕de旋转过程中的一个图形，下列说法中，错误的是（）a动点a在平面abc上的射影在线段af上b异面直线ae与bd不可能垂直c三棱锥afed的体积有最大值d恒有平面agf平面bced12已知函数f（x）的图象在点（x0，f（x0）处的切线方程l：y=g（x），若函数f（x）满足xl（其中i为函数f（x）的定义域），当xx0时，f（x）g（x）（xx0）0恒成立，则称x0为函数f（x）的“转折点”，若函数f（x）=lnxax2x在（0，e上存在一个“转折点”，则a的取值范围为（）abcd二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知幂函数y=f（x）图象过点（9，3），则f（x）dx等于_14二项式的展开式中，x4y4与x2y6项的系数之和是_（用数字作答）15如图茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵树为20棵的概率是_16在abc中， =2， =3，设p为abc内部及边界上任意一点，若=+，则的最大值为_三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知数列an的前n项和为sn，且2sn=1an（nn*）（）求数列an的通项公式；（）设bn=，cn=，求数列cn的前n项和tn18心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答选题情况如右表：（单位：人）几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在57分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在68分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 x，求 x的分布列及数学期望 ex附表及公式p（k2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828k2=19如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为直角梯形，adbc，adc=90，平面pad底面abcd，q为ad的中点，m是棱pc上的点，pa=pd=ad=2，bc=1，cd=（）求证：平面pqb平面pad；（）若二面角mbqc为30，设pm=tmc，试确定t的值20在直角坐标系xoy，椭圆c1：的左、右焦点分别为f1，f2，其中f2也是抛物线c2：y2=4x的焦点，点m为c1与c2在第一象限的交点，且|mf2|=（1）求椭圆的方程；（2）若过点d（4，0）的直线l与c1交于不同的两点a、b，且a在db之间，试求aod与bod面积之比的取值范围21已知函数f（x）=满足f（x）的图象与直线x+y1=0相切于点（0，1）（1）求f（x）的解析式；（2）对任意nn，定义f0（x）=x，fn+1（x）=f（f（xn），fn（x）=f0（x）+f1（x）+f2（x）+fn（x）证明：对任意xy0，均有fn（x）fn（y）选修4-1：几何证明选讲22如图，ab是o的一条弦，延长ab到点c，使得ab=bc，过点b作bdac且db=ab，连接ad与o交于点e，连接ce与o交于点f（）求证：d，f，b，c四点共圆；（）若ab=，df=，求be2选修4-4：坐标系与参数方程选讲23已知在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为24cos+3=0（）求直线l的普通方程和曲线c的直角坐标方程；（）设点p是曲线c上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值范围选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x3|（）若不等式f（x1）+f（x）a的解集为空集，求实数a的取值范围；（）若|a|1，|b|3，且a0，判断与的大小，并说明理由2016年湖南省衡阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合m=x|1，n=y|y=1x2，则mn=（）a（，2b（0，1c（0，2d0，1【考点】交集及其运算【分析】求出m中不等式的解集确定出m，求出n中y的范围确定出n，找出m与n的交集即可【解答】解：由m中不等式1，解得：0x2，即m=（0，2，由n中y=1x21，得到n=（，1，则mn=（0，1，故选：b2复数的虚部为（）albicd【考点】复数的基本概念【分析】把给出的复数采用复数的除法运算化简为a+bi（a，br）的形式，则虚部可求【解答】解：所以，复数的虚部为故选c3 =（）ab1cd1【考点】三角函数的化简求值【分析】由条件利用两角和差的三角公式化简所给的式子，求得结果【解答】解： =2=2sin30=1，故选：d4给出下列三个命题（1）“若x2+2x30，则x1”为假命题；（2）命题p：xr，2x0，则p：x0r，2x00（3）“=+k（kz）”是“函数y=sin（2x+）为偶数”的充要条件其中正确的个数是（）a0b1c2d3【考点】命题的真假判断与应用【分析】（1）根据逆否命题的等价性进行判断（2）根据含有量词的命题的否定进行判断（3）根据充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：（1）若命题“若x=1，则x2+2x3=0”是真命题，所以其逆否命题亦为真命题，因此（1）不正确；（2）根据含量词的命题否定方式，可知命题（2）正确（3）当时，则函数）为偶函数；反之也成立故“”是“函数y=sin（2x+）为偶函数”的充要条件；综上可知：真命题的个数2故选：c5已知函数y=cosx与y=sin（2x+）（0），它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值为（）abcd【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象【分析】由题意可得sin（+），把四个选择支的值代入此式，检验，可得结论【解答】解：函数y=cosx与y=sin（2x+）（0），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得 cos=sin（+）=，把四个选项中的值代入此式，检验只有a中的数值适合，故选：a6如图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入（）aq=bq=cq=dq=【考点】循环结构【分析】通过题意与框图的作用，即可判断空白框内应填入的表达式【解答】解：由题意以及框图可知，计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，所以输出的结果是及格率，所以图中空白框内应填入故选d7我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，dn*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道=3.14159，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得的近似分数为（）abcd【考点】进行简单的合情推理【分析】利用“调日法”进行计算，即可得出结论【解答】解：由调日法运算方法可知，第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，第二次用调日法后得是更为精确的不足近似值，即，第三次用调日法后得是更为精确的过剩近似值，即，故第三次调日法后得到为的近似分数故选b8已知变量x，y满足，则的取值范围是（）abcd【考点】简单线性规划【分析】作出可行域，变形目标函数可得=1+表示可行域内的点与a（2，1）连线的斜率与1的和，数形结合可得【解答】解：作出满足所对应的区域（如图阴影），变形目标函数可得=1+，表示可行域内的点与a（2，1）连线的斜率与1的和，由图象可知当直线经过点b（2，0）时，目标函数取最小值1+=；当直线经过点c（0，2）时，目标函数取最大值1+=；故答案为：，9某几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面与底面的面积之比为（）abcd【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知，该几何体是高为4的四棱锥，计算出最小面的面积与最大面是底面的面积，求出比值即可【解答】解：由三视图可知，该几何体是高为4的四棱锥，计算可得最小面的面积为14=2，最大的是底面面积为（2+4）221=5，所以它们的比是故选：c10如图，已知双曲线上有一点a，它关于原点的对称点为b，点f为双曲线的右焦点，且满足afbf，设abf=，且，则该双曲线离心率e的取值范围为（）abcd【考点】双曲线的简单性质【分析】运用锐角三角函数的定义可得，|af|=2csin，|bf|=2ccos，取左焦点f，连接af，bf，可得四边形afbf为矩形，由双曲线的定义和矩形的性质，可得2c|cossin|=2a，由离心率公式和三角函数的辅助角公式，结合余弦函数的性质，即可得到所求范围【解答】解：在rtabf中，|of|=c，|ab|=2c，在直角三角形abf中，abf=，可得|af|=2csin，|bf|=2ccos，取左焦点f，连接af，bf，可得四边形afbf为矩形，|bf|af|=|af|af|=2c|cossin|=2a，故选：a11如图，正abc的中线af与中位线de相交于g，已知aed是aed绕de旋转过程中的一个图形，下列说法中，错误的是（）a动点a在平面abc上的射影在线段af上b异面直线ae与bd不可能垂直c三棱锥afed的体积有最大值d恒有平面agf平面bced【考点】平面与平面之间的位置关系；异面直线及其所成的角【分析】由斜线的射影定理可判断a正确；由异面直线所成的角的概念可判断b不正确；由三棱锥的体积计算公式，可判断c正确；由面面垂直的判定定理，可判断d正确；【解答】解：ad=ae，deag，abc是正三角形，deag，又agag=g，de平面agf，从而平面abc平面aaf，且两平面的交线为af，a在平面abc上的射影在线段af上，故a正确；e、f为线段ac、bc的中点，efab，aef就是异面直线ae与bd所成的角，当（ae）2+ef2=（af）2时，直线ae与bd垂直，故b不正确；三棱锥afed的底面面积sfed的面积为定值，由（1）知，a到af的距离即为此三棱锥的高，故当平面ade平面def时，三棱锥的高最大为ag，从而三棱锥体积最大，故c正确由a知，平面agf一定过平面bced的垂线，恒有平面agf平面bced，故d正确；故选 b12已知函数f（x）的图象在点（x0，f（x0）处的切线方程l：y=g（x），若函数f（x）满足xl（其中i为函数f（x）的定义域），当xx0时，f（x）g（x）（xx0）0恒成立，则称x0为函数f（x）的“转折点”，若函数f（x）=lnxax2x在（0，e上存在一个“转折点”，则a的取值范围为（）abcd【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算【分析】根据已知函数，求出切线方程，构造h（x）=f（x）g（x），求导，根据导数判断单调性，找到其转折点，并讨论a的取值范围【解答】解：设f（x）=2ax1，则在该切点的切线的斜率k切=f（x0）=所以切线方程为y=g（x）=（）（xx0）+lnx0ax0记显然h（x0）=0；当a0时，h（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+）上单调递减，所以h（x）h（x0）=0因此，当x（0，x0）时f（x）g（x）（xx0）0；当当x（x0，+）时f（x）g（x）（xx0）0所以当a0时函数f（x）在（0，+）上不存在“转折点”排除选项a、b、c，故选d（本题也可以利用二阶导函数为0，求解：，显然只有当a0时有解，其解就为“转折点”横坐标，故，由题意，所以，故故选：d二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知幂函数y=f（x）图象过点（9，3），则f（x）dx等于【考点】定积分；幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】根据根据幂函数f（x）=xn可求得n的值，再求定积分的值【解答】解：设f（x）=xn，则则，f（x）dx=dx=，故答案为：14二项式的展开式中，x4y4与x2y6项的系数之和是（用数字作答）【考点】二项式定理的应用【分析】写出二项式的通项公式，利用幂指数求解x4y4与x2y6项的系数之和【解答】解：的展开式的通项为当r=4时，可得x4y4的系数为；当r=6时，可得x2y6的系数为；所以x4y4与x2y6的系数之和是故答案为：15如图茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵树为20棵的概率是【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图【分析】记甲组四名同学为a，b，c，d，乙组四名同学为e，f，g，h，写出他们植树的棵树，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值即可【解答】解：记甲组四名同学为a，b，c，d，他们植树的棵树依次为9，9，11，11：乙组四名同学为e，f，g，h，他们植树的棵树依次为9，8，9，10，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是（a，e）（a，f）（a，g）（a，h）（b，e）（b，f）（b，g）（b，h）（c，e）（c，f）（c，g）（c，h）（d，e）（d，f）（d，g）（d，h）设选出的两名同学的植树总棵数为20为事件c，则c中的结果有4个，它们是（c，e）（d，e）（c，g）（d，g），故所求概率为p（c）=16在abc中， =2， =3，设p为abc内部及边界上任意一点，若=+，则的最大值为【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】可作出图形，过点p作bc的平行线，并分别交ab，ac于m，n，可设，0t1，从而可以得到，而可设，从而，0m1，这样即可得出，从而得到，从而有0，0，3+2=66，由基本不等式即可得到，从而便可得出的最大值【解答】解：如图，过点p作bc的平行线交ab、ac于点m、n；设，则：，0t1；设，则，0m1；又；=2tm，=3（1t）m；0，0，3+2=6m6；由得，；的最大值为故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知数列an的前n项和为sn，且2sn=1an（nn*）（）求数列an的通项公式；（）设bn=，cn=，求数列cn的前n项和tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（）由已知得当n2时，2sn=1an，2sn1=1an1，两式相减，能推导出（）由=得=由此能求出数列cn的前n项和tn【解答】解：（）当n=1时，由2s1=1a1得：当n2时，2sn=1an；2sn1=1an1，上面两式相减，得：所以数列an是以首项为，公比为的等比数列（）= tn=（1）+（）+（）+（）=118心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答选题情况如右表：（单位：人）几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在57分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在68分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 x，求 x的分布列及数学期望 ex附表及公式p（k2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828k2=【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到结论；（2）利用面积比，求出乙比甲先解答完的概率；（3）确定x的可能值有0，1，2依次求出相应的概率求分布列，再求期望即可【解答】解：（1）由表中数据得k2的观测值，所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x、y分钟，则基本事件满足的区域为（如图所示）设事件a为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为xy，由几何概型即乙比甲先解答完的概率为；（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种，x可能取值为0，1，2，x的分布列为：x012p19如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为直角梯形，adbc，adc=90，平面pad底面abcd，q为ad的中点，m是棱pc上的点，pa=pd=ad=2，bc=1，cd=（）求证：平面pqb平面pad；（）若二面角mbqc为30，设pm=tmc，试确定t的值【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【分析】（）法一：由adbc，bc=ad，q为ad的中点，知四边形bcdq为平行四边形，故cdbq由adc=90，知qbad由平面pad平面abcd，知bq平面pad由此能够证明平面pqb平面pad法二：由adbc，bc=ad，q为ad的中点，知四边形bcdq为平行四边形，故cdbq由adc=90，知aqb=90由pa=pd，知pqad，故ad平面pbq由此证明平面pqb平面pad（）由pa=pd，q为ad的中点，知pqad由平面pad平面abcd，且平面pad平面abcd=ad，知pq平面abcd以q为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出t=3【解答】证明：（）证法一：adbc，bc=1，ad=2，q为ad的中点，四边形bcdq为平行四边形，cdbqadc=90aqb=90，即qbad又平面pad平面abcd，且平面pad平面abcd=ad，bq平面padbq平面pqb，平面pqb平面pad 证法二：adbc，bc=1，ad=2，q为ad的中点，四边形bcdq为平行四边形，cdbqadc=90aqb=90pa=pd，pqadpqbq=q，ad平面pbqad平面pad，平面pqb平面pad（）pa=pd，q为ad的中点，pqad平面pad平面abcd，且平面pad平面abcd=ad，pq平面abcd如图，以q为原点建立空间直角坐标系则平面bqc的法向量为；q（0，0，0），设m（x，y，z），则，在平面mbq中，平面mbq法向量为二面角mbqc为30，t=320在直角坐标系xoy，椭圆c1：的左、右焦点分别为f1，f2，其中f2也是抛物线c2：y2=4x的焦点，点m为c1与c2在第一象限的交点，且|mf2|=（1）求椭圆的方程；（2）若过点d（4，0）的直线l与c1交于不同的两点a、b，且a在db之间，试求aod与bod面积之比的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（1）求出f2（1，0），设m（x1，y1）利用抛物线定义得到x1，求出m坐标，代入椭圆方程，结合a2b2=1，解得a，b即可得到椭圆c1的方程（2）设l的方程为x=my+4代入，由0，解得m24，设a（x1，y1），b（x2，y2），利用韦达定理，通过令，则且01，将y1=y2代入韦达定理，利用，求出oda与odb面积之比的取值范围【解答】解：（1）依题意知f2（1，0），设m（x1，y1）由抛物线定义得|mf2|=，即将代入抛物线方程得，进而由及a2b2=1，解得a2=4，b2=3故椭圆c1的方程为（2）依题意知直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x=my+4代入，整理得（3m2+4）y2+24my+36=0，由0，解得m24设a（x1，y1），b（x2，y2），则令，则且01将y1=y2代入得，消去y2得，即由m24得，所以1且3210+30，解得或13又01，故oda与odb面积之比的取值范围为21已知函数f（x）=满足f（x）的图象与直线x+y1=0相切于点（0，1）（1）求f（x）的解析式；（2）对任意nn，定义f0（x）=x，fn+1（x）=f（f（xn），fn（x）=f0（x）+f1（x）+f2（x）+fn（x）证明：对任意xy0，均有fn（x）fn（y）【考点】函数恒成立问题【分析】（1）利用切点在函数图象上和在切点处的导数值等于切线的斜率得出a=b=c，进而求出函数的表达式；（2）根据函数的迭代关系，猜想函数的单调性，再利用数学归纳法证明函数的单调性【解答】解：（1）因为y=f（x）的图象过（0，1）点，f（0）=1，所以故c0且b=c又，f（0）=1，即，a=c由可得（2）f（x）的定义域为（0，+），且f0（x）=x在（0，+）上为增函数而在（0，+）上为减函数，在（0，+）上为增函数在（0，+）上为减函数，猜想f2k（x）在（0，+）上为增函数，f2k+1（x）在（0，+）上为减函数，用数学归纳法证明f2k（x）在（0，+）上为增函数如下：当n=0时，f0（x）=x在（0，+）上为增函数假设当n=2k时，f2k（x）在（0，+）上为增函数=由假设可知f2k（x）在（0，+）上为增函数，所以f2k+2（x）在（0，+）上为增函数所以命题对于n=2（k+1）时也成立故对于任意自然数k，f2k（x）在（0，+）上为增函数同理可证f2k+1（x）在（0，+）上为减函数当k=0时在（0，+）上为增函数f0（x）=x；f1（x）=f（x），又由fn+1（x）=f（fn（x）当k=1时f2（x）+f3（x）=f0f2（x）+f1f2（x）由复合函数单调性可知f2（x）+f3（x）在（0，+）上也为增函数类似：f2k（x）+f2k+1（x）=f0f2k（x）+f1f2k（x）由复合函数单调性可知f2k（x）+f2k+1（x）在（0，+）上也为增函数当n=2m+1（mn）时，fn（x）=f0（x）+f1（x）+f2（x）+f3（x）+f2m（x）+f2m+1（x）易知此时f2m+1（x）在（0，+）上为增函数所以对任意xy0，f2m+1（x）f2m+1（y）当n=2m（mn）时，fn（x）=f0（x）+f1（x）+f2（x）+f3（x）+f2m2（x）+f2m1（x）+f2m（x）易知此时f2m（x）在（0，+）上也为增函数所以对任意xy0，f2m（x）f2m（y）综上所述：对任意xy0，fn（x）fn（y）选修4-1：几何证明选讲22如图，ab是o的一条弦，延长ab到点c，使得ab=bc，过点b作bdac且db=ab，连接ad与o交于点e，连接ce与o交于点f（）求证：d，f，b，c四点共圆；（）若ab=，df=，求be2【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定【分析】（）先由割线定理得cacb=cfce，再由图中的等量关系，得cacb=2cb2=dc2=cfce，再通证明cde和cfd相似，从而得出cfd=cde=90，即dfce，再由bdac