湖南省郴州市高三数学三模试卷 文（含解析）.doc

2016年湖南省郴州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1已知集合m=x|3x1，xr，n=3，2，1，0，1，则mn=（）a2，1，0，1b3，2，1，0c2，1，0d3，2，12已知i为虚数单位，复数z=2i+，则复数z的模为（）abcd23命题“所有实数的平方都是正数”的否定为（）a所有实数的平方都不是正数b有的实数的平方是正数c至少有一个实数的平方是正数d至少有一个实数的平方不是正数4以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）a2，5b5，5c5，8d8，85若函数f（x）=sinx（0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则=（）a8b2cd6已知数列an中，a1=25，4an+1=4an7，若用sn表示该数列前n项和，则（）a当n=15时，sn取到最大值b当n=16时，sn取到最大值c当n=15时，sn取到最小值d当n=16，sn取到最小值7在abc中，m为边bc上任意一点，n为am中点，则+的值为（）abcd18一只蚂蚁从正方体abcda1b1c1d1的顶点a处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点c1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）abcd9在0，上随机取一个数x，则事件“2sincos+cosx”发生的概率为（）abcd10已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a0，b0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）a5b4cd211设f1，f2分别为双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，双曲线上存在一点p使得（|pf1|pf2|）2=b23ab，则该双曲线的离心率为（）abc4d12定义：若函数f（x）的图象经过变换t后所得图象对应函数的值域与f（x）的值域相同，则称变换t是f（x）的同值变换下面给出四个函数及其对应的变换t，其中t不属于f（x）的同值变换的是（）af（x）=（x1）2，t将函数f（x）的图象关于y轴对称bf（x）=2x11，t将函数f（x）的图象关于x轴对称cf（x）=2x+3，t将函数f（x）的图象关于点（1，1）对称d，t将函数f（x）的图象关于点（1，0）对称二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知g是abc的重心，若直线pq过点g，与ac，bc分别交于p，q，设=m， =n，则+=14已知流程图如图所示，输出的y值，则输入的实数x值15弹簧振子的振动在简谐振动，如表给出的振子在完成一次全振动的过程中的时间t与位移y之间的对应数据，根据这些数据求出这个振子的振动的函数解析式为t0t02t03t04t05t06t07t08t09t010t011t012t0 y20.017.810.1 0.1 10.3 17.1 20.0 17.7 10.3 0.110.117.820.016在圆x2+y2=r2中，ab为直径，c为圆上异于a，b的任意一点，则有kackbc=1，设直线ab过椭圆+=1中心，且和椭圆相交于点a，b，p（x，y）为椭圆上异于a，b的任意一点，用各类比的方法可得kapkbp=三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知函数f（x）=sinx+cosx（0）的周期为（）求的值，并在下面提供的坐标系中画出函数y=f（x）在区间0，上的图象；（）函数y=f（x）的图象可由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到？18两组学校的社会实践活动各有7位人员（下文分别简称为“甲小组”和“乙小组”）两小组成员分别独立完成一项社会调查，并形成调查报告，每位成员从启动调查到完成报告所用的时间（单位：天）如表所示： 组别 每位成员从启动调查到完成报告所用的时间（单位：天） 甲小组 10 11 12 13 14 15 16 乙小组 12 13 15 16 17 14 a假设所有成员所用时间相互了独立，从甲、乙两小组随机各选1人，甲小组选出的人记为a，乙小组选出的人记为b（）求a所用时间不小于13天的概率；（）如果a=18，求a所用的时间比b所用时间长的概率19如图，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，af=1，m是线段ef的中点（1）求证am平面bde；（2）试在线段ac上确定一点p，使得pf与cd所成的角是6020已知椭圆e： +=1（ab0），其左、右焦点分别为f1（c，0），f2（c，0）（c0）（）若c=2，且f2关于直线y=x+的对称点在椭圆e上，求椭圆e的方程；（）如图所示，若椭圆e的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点，试求这个平行四边形的面积的最大值21已知函数f（x）=ax+x2xlna（a0，a1）（）求函数f（x）单调区间；（）若存在x1，x21，1，使得|f（x1）f（x2）|e1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22（a）如图，abc内接圆o，ad平分bac交圆于点d，过点b作圆o的切线交直线ad于点e（）求证：ebd=cbd（）求证：abbe=aedc选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xoy中，以o为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知曲线c的极坐标方程为cos2+8cos=0，直线l的参数方程（t为参数，0）（1）求曲线c的直角坐标方程；（2）若直线l过定点（1，0），求直线l被曲线c截得的线段ab的长选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x3a|，（ar）（i）当a=1时，解不等式f（x）5|2x1|；（）若存在x0r，使f（x0）+x06成立，求a的取值范围2016年湖南省郴州市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1已知集合m=x|3x1，xr，n=3，2，1，0，1，则mn=（）a2，1，0，1b3，2，1，0c2，1，0d3，2，1【考点】交集及其运算【分析】找出集合m与n的公共元素，即可求出两集合的交集【解答】解：集合m=x|3x1，xr，n=3，2，1，0，1，mn=2，1，0故选c2已知i为虚数单位，复数z=2i+，则复数z的模为（）abcd2【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数的代数形式混合运算，化简求解即可【解答】解：复数z=2i+=2i+=2i+1i=1+i复数z的模为：故选：b3命题“所有实数的平方都是正数”的否定为（）a所有实数的平方都不是正数b有的实数的平方是正数c至少有一个实数的平方是正数d至少有一个实数的平方不是正数【考点】命题的否定【分析】原命题给出的是全称命题，全称命题的否定一定是特称命题【解答】解：“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，命题“所有实数的平方都是正数”的否定是：“至少有一个实数的平方不是正数”故选d4以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）a2，5b5，5c5，8d8，8【考点】茎叶图【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数据此列式求解即可【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）5=16.8；y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27所以中位数为：10+x=15，x=5故选：c5若函数f（x）=sinx（0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则=（）a8b2cd【考点】由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】由题意可知函数在x=时确定最大值，就是，求出的值即可【解答】解：由题意可知函数在x=时确定最大值，就是，kz，所以=6k+；k=0时，=故选c6已知数列an中，a1=25，4an+1=4an7，若用sn表示该数列前n项和，则（）a当n=15时，sn取到最大值b当n=16时，sn取到最大值c当n=15时，sn取到最小值d当n=16，sn取到最小值【考点】等差数列的性质【分析】由4an+1=4an7，变形为：an+1an=，利用等差数列通项公式可得：an令an0，解得n即可得出结论【解答】解：4an+1=4an7，变形为：an+1an=，数列an是等差数列，公差为，首项为25an=25（n1）=令an0，解得n15当n=15时，sn取到最大值故选：a7在abc中，m为边bc上任意一点，n为am中点，则+的值为（）abcd1【考点】向量的共线定理【分析】设，将向量用向量、表示出来，即可找到和的关系，最终得到答案【解答】解：设则=（）故选a8一只蚂蚁从正方体abcda1b1c1d1的顶点a处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点c1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）abcd【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题【分析】根据空间几何体的三视图的画法结合正方体判断分析【解答】解：中线段为虚线，正确，中线段为实线，正确，故选：d9在0，上随机取一个数x，则事件“2sincos+cosx”发生的概率为（）abcd【考点】几何概型【分析】先化简不等式，确定满足sin（x+）且在区间0，内x的范围，根据几何概型利用长度之比可得结论【解答】解：2sincos+cosx，即sinx+cosx，即sin（x+），sin（x+），又x0，x+，在区间，内，满足sin（x+）时，x+，在区间0，内，满足sin（x+）时，x，；事件“2sincos+cosx”发生的概率为p=故选：b10已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a0，b0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）a5b4cd2【考点】简单线性规划【分析】由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b2=0a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b2=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：a（2，1）化目标函数为直线方程得：（b0）由图可知，当直线过a点时，直线在y轴上的截距最小，z最小2a+b=2即2a+b2=0则a2+b2的最小值为故选：b11设f1，f2分别为双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，双曲线上存在一点p使得（|pf1|pf2|）2=b23ab，则该双曲线的离心率为（）abc4d【考点】双曲线的简单性质【分析】根据（|pf1|pf2|）2=b23ab，由双曲线的定义可得（2a）2=b23ab，求得a=，c=b，即可求出双曲线的离心率【解答】解：（|pf1|pf2|）2=b23ab，由双曲线的定义可得（2a）2=b23ab，4a2+3abb2=0，a=，c=b，e=故选：d12定义：若函数f（x）的图象经过变换t后所得图象对应函数的值域与f（x）的值域相同，则称变换t是f（x）的同值变换下面给出四个函数及其对应的变换t，其中t不属于f（x）的同值变换的是（）af（x）=（x1）2，t将函数f（x）的图象关于y轴对称bf（x）=2x11，t将函数f（x）的图象关于x轴对称cf（x）=2x+3，t将函数f（x）的图象关于点（1，1）对称d，t将函数f（x）的图象关于点（1，0）对称【考点】函数的图象【分析】对于a：t是将函数f（x）的图象关于y轴对称，此变换不改变函数的值域；对于b：f（x）=2x11，其值域为（1，+），将函数f（x）的图象关于x轴对称，得到的函数解析式是y=2x1+1，再求出其值域即可进行判断；对于c：f（x）=2x+3，t将函数f（x）的图象关于点（1，1）对称，得到的函数解析式是2y=2（2x）+3，即y=2x+3，它们是同一个函数；对于d：，t将函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，得到的函数解析式是y=，它们的值域都为1，1，从而得出答案【解答】解：对于a：t是将函数f（x）的图象关于y轴对称，此变换不改变函数的值域，故t属于f（x）的同值变换；对于b：f（x）=2x11，其值域为（1，+），将函数f（x）的图象关于x轴对称，得到的函数解析式是y=2x1+1，值域为（1，+），t不属于f（x）的同值变换；对于c：f（x）=2x+3，t将函数f（x）的图象关于点（1，1）对称，得到的函数解析式是2y=2（2x）+3，即y=2x+3，它们是同一个函数，故t属于f（x）的同值变换；对于d：，t将函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，得到的函数解析式是y=，它们的值域都为1，1，故t属于f（x）的同值变换；故选b二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知g是abc的重心，若直线pq过点g，与ac，bc分别交于p，q，设=m， =n，则+=3【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】用表示出，根据p，g，q三点共线列出方程得出m，n的关系【解答】解：取ab中点d，连结cd，则，g是abc的重心，=+=m， =n，+p，g，q三点共线，故答案为：314已知流程图如图所示，输出的y值，则输入的实数x值2【考点】程序框图【分析】算法的功能是求y=的值，分当x0时和当x0时求得输出y=时的x值即可得解【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求y=的值，当x0时，y=（x+2）2=x=（舍去）或（舍去）；当x0时，y=3x=x=2，故答案为：215弹簧振子的振动在简谐振动，如表给出的振子在完成一次全振动的过程中的时间t与位移y之间的对应数据，根据这些数据求出这个振子的振动的函数解析式为y=20cos（t）t0t02t03t04t05t06t07t08t09t010t011t012t0 y20.017.810.1 0.1 10.3 17.1 20.0 17.7 10.3 0.110.117.820.0【考点】由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】由表格中的数据得到振幅a=20，周期t=12t0，过点（0，20），从而写出解析式即可【解答】解：由表格可知，振幅a=20，周期t=12t0=，解得：=，又函数图象过（0，20），可得：20=20sin，解得：=2k+，kz，故振动函数解析式为：y=20sin（t+2k+）=20cos（t），kz故答案为：y=20cos（t）16在圆x2+y2=r2中，ab为直径，c为圆上异于a，b的任意一点，则有kackbc=1，设直线ab过椭圆+=1中心，且和椭圆相交于点a，b，p（x，y）为椭圆上异于a，b的任意一点，用各类比的方法可得kapkbp=【考点】类比推理【分析】由圆的性质可以类比得到椭圆的类似性质【解答】解：由圆的性质可以类比得到椭圆的类似性质，即kackbc=，证明如下：设点a的坐标为（m，n），则点b的坐标为（m，n），进而可知=1，又设点p的坐标为（x，y）， 则kap=，kbp=kapkbp=，将y2=b2（1），n2=b2（1）代入得kapkbp=故答案为：三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知函数f（x）=sinx+cosx（0）的周期为（）求的值，并在下面提供的坐标系中画出函数y=f（x）在区间0，上的图象；（）函数y=f（x）的图象可由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到？【考点】函数y=asin（x+）的图象变换；五点法作函数y=asin（x+）的图象【分析】（）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（x+），由此根据周期为求得的值根据五点法，求出对应的五点，即可画出函数y=f（x）在区间0，上的图象（）由条件利用函数y=asin（x+）的图象变换规律，可得结论【解答】解：（）f（x）=sinx+cosx=sin（x+），t=，解得：=2，f（x）=sin（2x+），列表：x2x+02sin（2x+） 01010描点得图象：（）把y=sinx的图象向左平移个单位，可得y=sin（x+）的图象；再把所得图象上的点的横坐标变为原来的倍，可得y=sin（2x+）的图象18两组学校的社会实践活动各有7位人员（下文分别简称为“甲小组”和“乙小组”）两小组成员分别独立完成一项社会调查，并形成调查报告，每位成员从启动调查到完成报告所用的时间（单位：天）如表所示： 组别 每位成员从启动调查到完成报告所用的时间（单位：天） 甲小组 10 11 12 13 14 15 16 乙小组 12 13 15 16 17 14 a假设所有成员所用时间相互了独立，从甲、乙两小组随机各选1人，甲小组选出的人记为a，乙小组选出的人记为b（）求a所用时间不小于13天的概率；（）如果a=18，求a所用的时间比b所用时间长的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】设事件ai为“甲是a组的第i个人”，事件bi为“乙是b组的第i个人”，由题意可知p（ai）=p（bi）=，i=1，2，7（）事件等价于“甲是a组的第5或第6或第7个人”，由概率公式可得；（）设事件“a所用的时间比b所用时间长”c=a4b1a5b1a6b1a7b1a5b2a6b2a7b2a7b3a6b6a7b6，易得p（c）=10p（a4b1），易得答案；【解答】解：设事件ai为“甲是a组的第i个人”，事件bi为“乙是b组的第i个人”，由题意可知p（ai）=p（bi）=，i=1，2，7（）事件“a所用时间不小于13天”等价于“甲是a组的第4或第5或第6或第7个人”a所用时间不小于13天的概率p（a4a5a6a7）=p（a4）+p（a5）+p（a6）+p（a7）=；（）设事件c为“a所用的时间比b所用时间长”，则c=a4b1a5b1a6b1a7b1a5b2a6b2a7b2a7b3a6b6a7b6，p（c）=p（a4b1）+p（a5b1）+p（a6b1）p+（a7b1）+p（a5b2）+p（a6b2）+p（a7b2）+p（a7b3）+p（a6b6）+p（a7b6）=10p（a4b1）=10p（a4）p（b1）=19如图，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，af=1，m是线段ef的中点（1）求证am平面bde；（2）试在线段ac上确定一点p，使得pf与cd所成的角是60【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，利用向量平行得到线线平行，从而说明线面平行；（2）设出线段ac上p点的坐标，由pf与cd所成的角是60，得到向量与所成的角的余弦值的绝对值等于，由此可求得p点的坐标【解答】（1）证明：如图建立空间直角坐标系设acbd=n，连结ne，则，e（0，0，1）又，且ne与am不共线，neam，又ne平面bde，am平面bde，am平面bde（2）设p（t，t，0），则=， =又与所成的角为60，解之得或（舍去），故点p为ac的中点时满足题意20已知椭圆e： +=1（ab0），其左、右焦点分别为f1（c，0），f2（c，0）（c0）（）若c=2，且f2关于直线y=x+的对称点在椭圆e上，求椭圆e的方程；（）如图所示，若椭圆e的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点，试求这个平行四边形的面积的最大值【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由题意可得，c=2，设f2关于直线y=x+的对称点为（m，n），运用点关于直线的对称条件，解方程可得m，n，代入椭圆方程，可得a，b，进而得到椭圆方程；（）当直线ad的斜率不存在时，求出三个点的坐标，然后求解平行四边形的面积；当直线ad的斜率存在时，设直线ad的方程为y=k（xc），与椭圆方程联立，设点a（x1，y1），b（x2，y2），c（x3，y3），d（x4，y4）利用韦达定理，连结af1，df1，表示出面积表达式，然后求解最值【解答】解：（）由题意可得，c=2，即a2b2=4，设f2关于直线y=x+的对称点为（m，n），可得=， n=（m+2）+，解得m=2，n=，将（2，）代入椭圆方程可得+=1，解得a=3，b=，即有椭圆的方程为+=1；（）当直线ad的斜率不存在时，此时易得a（c，），b（c，），c（c，），d（c，），所以平行四边形abcd的面积为|ab|cd|=；当直线ad的斜率存在时，设直线ad的方程为y=k（xc），将其代入椭圆方程，整理得（b2+a2k2）x22ca2k2x+a2c2k2a2b2=0设点a（x1，y1），b（x2，y2），c（x3，y3），d（x4，y4）则x1+x4=，x1x4=连结af1，df1，则平行四边形abcd的面积s=2=|f1f2|y1y4|=2c|y1y4|，又（y1y4）2=k2（x1x4）2=k2（x1+x4）24x1x4=k2（）24=，由ab，可得（k2+）2k2（1+k2）=k2+，当ab时，（y1y4）2，即有s；当ab时，s与k的取值有关，无最值综上，当ab时，平行四边形的面积取得最大值；当ab时，s与k的取值有关，无最值21已知函数f（x）=ax+x2xlna（a0，a1）（）求函数f（x）单调区间；（）若存在x1，x21，1，使得|f（x1）f（x2）|e1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求导数，利用导数的正负，可求函数f（x）单调区间；（）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（1），最小值f（0）=1，由f（1）f（1）的单调性，判断f（1）与f（1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e1求出a的取值范围【解答】解：（）函数f（x）的定义域为r，f（x）=axlna+2xlna=2x+（ax1）lna令h（x）=f（x）=2x+（ax1）lna，h（x）=2+axln2a，当a0，a1时，h（x）0，所以h（x）在r上是增函数，又h（0）=f（0）=0，所以，f（x）0的解集为（0，+），f（x）0的解集为（，0），故函数f（x）的单调增区间为（0，+），单调减区间为（，0）（）因为存在x1，x21，1，使得|f（x1）f（x2）|e1成立，而当x1，1时|f（x1）f（x2）|f（x）maxf（x）min，所以只要f（x）maxf（x）mine1又因为x，f（x），f（x）的变化情况如下表所示：x（，0）0（0，+）f（x）0+f（x）减函数极小值增函数所以f（x）在1，0上是减函数，在0，1上是增函数，所以当x1，1时，f（x）的最小值f（x）min=f（0）=1，f（x）的最大值f（x）max为f（1）和f（1）中的最大值因为，令，因为，所以在a（0，+）上是增函数而g（1）=0，故当a1时，g（a）0，即f（1）f（1）；当0a1时，g（a）0，即f（1）f（1）所以，当a1时，f（1）f（0）e1，即alnae1，而函数y=alna在a（1，+）上是增函数，解得ae；当0a1时，f（1）f（0）e1，即，函数在a（0，1）上是减函数，解得综上可知，所求a的取值范围为请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22（a）如图，abc内接圆o，ad平分bac交圆于点d，过点b作圆o的切线交直线ad于点e（）求证：ebd=cbd（）求证：abbe=aedc【考点】与圆有关的比例线段【分析】（）根据be为圆o的切线，证明ebd=bad，ad平分bac，证明bad=cad，即可证明ebd=cbd（）证明ebdeab，可得