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初中数学反证法 知识讲解 对于一个几何命题 当用直接证法比较困难时 则可采用间接证法 反证法就是一种间接证法 它不是直接去证明命题的结论成立 而是去证明命题结论的反面不能成立 从而推出命题的结论必然成立 它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径 掌握这种方法 对于提高推理论证的能力 探索新知识的能力都是非常必要的 下面我们对反证法作一个简单介绍 2 反证法的概念 不直接从题设推出结论 而是从命题结论的反面出发 引出矛盾 从而证明命题成立 这样的证明方法叫做反证法 3 反证法的基本思路 首先假设所要证明的结论不成立 然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理 直至得出一个矛盾的结论来 并据此否定原先的假设 从而确认所要证明的结论成立 这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾 或是与数学中已知定理 公理和定义相矛盾 还可以是与日常生活中的事实相矛盾 甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾 即自相矛盾 4 反证法的一般步骤 假设命题的结论不成立 从这个假设出发 经过推理论证得出矛盾 由矛盾判定假设不正确 从而肯定命题的结论正确简而言之就是 反设 归谬 结论 三步曲 5 例题 1 求证 三角形中至少有一个角不大于60 证明 假设 ABC中的 A B C都大于60 则 A B C 3 60 180 这与三角形内角和定义矛盾 所以假设不能成立 故三角形中至少有一个角不大于60 6 例题 例2 已知 AB CD是 O内非直径的两弦 如图1 求证AB与CD不能互相平分 证明 假设AB与CD互相平分于点M 则由已知条件AB CD均非 O直径 可判定M不是圆心O 连结OA OB OM OA OB M是AB中点 OM AB 等腰三角形底边上的中线垂直于底边 同理可得 OM CD 从而过点M有两条直线AB CD都垂直于OM这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾 故AB与CD不能互相平分 7 练习 1 在 ABC中 已知AB c BC a CA b 且 C 90 求证 a2 b2 c2 2 求证 一个五边形不可能有4个内角为锐角 3 求证 若a 0 则ax b 有唯一解 4 已知 在四边形ABCD中 M N分别是AB DC的中点 且MN AD BC 求证 AD BC 8 练习4答案 证明 假设ADBC 连结BD 并设P是BD的中点 再连结MP PN 在 ABD中 BM MA BP PD MPAD 同理可证PNBC从而MP PN AD BC 这时 BD的中点不在MN上若不然 则由MN AD MN BC 得AD BC与假设ADBC矛盾 于是M P N三点不共线 从而MP
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