2020版高考数学二轮复习第3部分策略4妙用8个二级结论巧解高考题教案文.docx

策略4 妙用8个二级结论巧解高考题结论1奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的xD，都有f(x)f(x)0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)maxf(x)min0，且若0D，则f(0)0.- 1 -【典例1】设函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm_.2显然函数f(x)的定义域为R，f(x)1，设g(x)，则g(x)g(x)，g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)maxg(x)min0，Mmg(x)1maxg(x)1min2g(x)maxg(x)min2.【链接高考1】(2018全国卷)已知函数f(x)ln(x)1，f(a)4，则f(a)_.2由f(a)ln(a)14，得ln(a)3，所以f(a)ln(a)1ln 1ln(a)1312.结论2函数周期性问题已知定义在R上的函数f(x)，若对任意的xR，总存在非零常数T，使得f(xT)f(x)，则称f(x)是周期函数，T为其一个周期.,常见的与周期函数有关的结论如下：(1)如果f(xa)f(x)(a0)，那么f(x)是周期函数，其一个周期T2a.(2)如果f(xa)，那么f(x)是周期函数，其一个周期T2a.(3)如果f(xa)f(x)c(a0)，那么f(x)是周期函数，其一个周期T2a.(4)如果f(x)f(xa)f(xa)(a0)，那么f(x)是周期函数，其一个周期T6a.【典例2】已知定义在R上的函数f(x)满足ff(x)，且f(2)f(1)1，f(0)2，则f(1)f(2)f(3)f(2 014)f(2 015)()A2B1C0D1A因为ff(x)，所以f(x3)ff(x)，则f(x)的周期T3.则有f(1)f(2)1，f(2)f(1)1，f(3)f(0)2，所以f(1)f(2)f(3)0，所以f(1)f(2)f(3)f(2 014)f(2 015)f(1)f(2)f(3)f(2 014)f(2 015)f(2 016)f(2 016)672f(1)f(2)f(3)f(2 016)f(03672)f(0)2，故选A.【链接高考2】一题多解(2018全国卷)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x)若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)()A50 B0 C2 D50C法一：因为f(1x)f(1x)，所以函数f(x)的图象关于直线x1对称因为f(x)是奇函数，所以函数f(x)的图象关于坐标原点(0,0)中心对称数形结合可知函数f(x)是以4为周期的周期函数因为f(x)是(，)上的奇函数，所以f(0)0.因为f(1x)f(1x)，所以当x1时，f(2)f(0)0；当x2时，f(3)f(1)f(1)2；当x3时，f(4)f(2)f(2)0.综上，可得f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)1220(2)0202.故选C.法二：取一个符合题意的函数f(x)2sin ，则结合该函数的图象易知数列f(n)(nN*)是以4为周期的周期数列故f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)1220(2)0202.故选C.结论3函数图象的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数.(1)若f(ax)f(bx)恒成立，则yf(x)的图象关于直线对称，特别地，若f(ax)f(ax)恒成立，则yf(x)的图象关于直线xa对称.(2)若f(ax)f(bx)c，则yf(x)的图象关于点中心对称.特别地，若f(ax)f(ax)2b恒成立，则yf(x)的图象关于点(a，b)中心对称.)【典例3】已知定义在R上的函数f(x)满足f(x1)f(1x)，且在1，)上是增函数，不等式f(ax2)f(x1)对任意的x恒成立，则实数a的取值范围是()A3，1 B2,0C5，1 D2,1B由f(x1)f(1x)可知f(x)图象关于x1对称，当a0时，不等式f(ax2)f(x1)化为f(2)f(x1)，由函数f(x)的图象特征可得|21|x11|，解得x3或x1，满足不等式f(ax2)f(x1)对任意x恒成立，由此排除A，C两个选项当a1时，不等式f(ax2)f(x1)化为f(x2)f(x1)，由函数f(x)的图象特征可得|x21|x11|，解得x，不满足不等式f(ax2)f(x1)对任意x恒成立，由此排除D选项综上可知，选B.【链接高考3】(2017全国卷)已知函数f(x)ln xln(2x)，则()Af(x)在(0,2)单调递增Bf(x)在(0,2)单调递减Cyf(x)的图象关于直线x1对称Dyf(x)的图象关于点(1,0)对称Cf(x)的定义域为(0,2)f(x)ln xln(2x)lnx(2x)ln(x22x)设ux22x，x(0,2)，则ux22x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减又yln u在其定义域上单调递增，f(x)ln(x22x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减选项A，B错误f(x)ln xln(2x)f(2x)，f(x)的图象关于直线x1对称，选项C正确f(2x)f(x)ln(2x)ln xln xln(2x)2ln xln(2x)，不恒为0，f(x)的图象不关于点(1,0)对称，选项D错误故选C.结论4对数、指数形式的经典不等式1对数形式：1ln(x1)x(x1)，当且仅当x0时，等号成立2指数形式：exx1(xR)，当且仅当x0时，等号成立【典例4】设函数f(x)1ex.证明：当x1时，f(x).证明f(x)(x1)1ex(x1)1ex(x1)(x1)x1ex(x1)由经典不等式exx1(xR)恒成立可知x1时，exx1.即x1时，f(x).【链接高考4】(2016全国卷)设函数f(x)ln xx1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明当x(1，)时，1x；(3)设c1，证明当x(0,1)时，1(c1)xcx.解(1)由题设，f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，令f(x)0，解得x1.当0x1时，f(x)0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减(2)证明：由(1)知，f(x)在x1处取得最大值，最大值为f(1)0.所以当x1时，ln xx1.故当x(1，)时，ln xx1，ln1，即1x.(3)证明：由题设c1，设g(x)1(c1)xcx，则g(x)c1cxln c.令g(x)0，解得x0.当xx0时，g(x)0，g(x)单调递增；当xx0时，g(x)0，g(x)单调递减由(2)知1c，故0x01.又g(0)g(1)0，故当0x1时，g(x)0.所以当x(0,1)时，1(c1)xcx.结论5等差数列的有关结论1若Sm，S2m.S3m分别为等差数列an的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列2若等差数列an的项数为2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2mm(amam1)，S偶S奇md，.3若等差数列an的项数为2m1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数之和为S偶，则所有项之和S2m1(2m1)am，S奇mam，S偶(m1)am，S奇S偶am，.【典例5】(1)等差数列an的前n项和为Sn，已知am1am1a0，S2m138，则m_.(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为3227，则数列的公差d_.(1)10(2)5(1)由am1am1a0得2ama0，解得am0或2.又S2m1(2m1)am38，显然可得am0，所以am2.代入上式可得2m119，解得m10.(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S奇，偶数项和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得解得又S偶S奇6d，所以d5.【链接高考5】(2015全国卷)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5()A5 B7 C9 D11A法一：利用等差数列的性质进行求解a1a52a3，a1a3a53a33，a31，S55a35，故选A.法二：利用等差数列的通项公式和前n项和公式进行整体运算a1a3a5a1(a12d)(a14d)3a16d3，a12d1，S55a1d5(a12d)5，故选A.结论6等比数列的有关结论(1)公比q1时，Sn，S2nSn，S3nS2n，成等比数列(nN*).(2)若等比数列的项数为2n(nN*)，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则S偶qS奇.(3)已知等比数列an，公比为q，前n项和为Sn，则SmnSmqmSn(m，nN*).【典例6】(1)设等比数列an的前n项和为Sn，若3，则()A2 B. C. D3(2)已知等比数列an的前n项和为Sn，且满足S3，S6.求数列an的通项公式；求log2a1log2a2log2a3log2a25的值(1)B(1)由已知3，得S63S3，因为S3，S6S3，S9S6也为等比数列，所以(S6S3)2S3(S9S6)，则(2S3)2S3(S93S3)化简得S97S3，从而.(2)由S3，S6，得S6S3q3S3(1q3)S3，q2.又S3a1(1qq2)，得a1.故通项公式an2n12n2.由(1)及题意可得log2ann2，所以log2a1log2a2log2a3log2a25101223275.【链接高考6】(2017江苏高考)等比数列an的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3，S6，则a8_.32设an的首项为a1，公比为q，则解得所以a8272532.结论7多面体的外接球和内切球(1)长方体的对角线长d与共点的三条棱a，b，c之间的关系为d2a2b2c2；若长方体外接球的半径为R，则有(2R)2a2b2c2.(2)棱长为a的正四面体内切球半径，外接球半径【典例7】(1)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线(实线和虚线)表示的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为()A24 B29C48 D58(2)已知一个三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的内切球的体积为_(1)B(2)(1)由三视图知，该几何体为三棱锥，如图，在324的长方体中构造符合题意的几何体(三棱锥ABCD)，其外接球即为长方体的外接球表面积为4R2(322242)29.(2)由题意可知，该三棱锥为正四面体，如图所示AEABsin 60，AOAE，DO，三棱锥的体积VDABCSABCDO，设内切球的半径为r，则VDABCr(SABCSABDSBCDSACD)，r，V内切球r3.【链接高考7】(2017全国卷)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为_14长方体的顶点都在球O的球面上，长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径设球的半径为R，则2R.球O的表面积为S4R24214.结论8过抛物线y22px(p0)焦点的弦过抛物线y22px(p0)焦点的弦AB有：(1)xAxB.(2)yAyBp2.(3)|AB|xAxBp(是直线AB的倾斜角).【典例8】过抛物线y24x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|2|BF|，则|AB|等于()A4 B.C5 D6B由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图，设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BEAD于E，设|BF|m，直线