浙江省温州市十校联合体高三数学上学期期末考试试题.doc

1 20162016 学年第一学期温州十校联合体高三期末考试学年第一学期温州十校联合体高三期末考试 数学学科数学学科 试题试题 考生须知 1 本卷共 4 页满分 150 分 考试时间 120 分钟 2 答题前 在答题卷指定区域填写班级 姓名 考场号 座位号及准考证号并填涂相应数字 3 所有答案必须写在答题纸上 写在试卷上无效 4 考试结束后 只需上交答题纸 一 选择题 本大题共选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 4040 分 分 1 已知集合 则 2 xyxp 1ln xyxq qp a b c d 12 xx 12 xx 12 xx 12 xx 2 若复数 其中 为虚数单位 则z i z 1 2 i a 1 b 1 c 1 d 1 iiii 3 一条直线 与平面内无数条直线异面 是 这条直线与平面平行 的 l a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分又不必要条件 4 二项式的展开式中常数项为 6 1 x x a b c d 15 1520 20 5 若向量 且 则的值是 sin2 cos 1 cos ab 2 1 tan a b a b c d 2 5 8 5 6 5 4 6 点 p 为直线上任一点 则下列结论正确的是 3 4 yx 12 5 0 5 0 ff a b 12 8pfpf 12 8pfpf c d 以上都有可能 12 8pfpf 7 设函数 若关于 x 的方程恰有三个不同的实数根 2 log 0 2 0 x x x f x x 2 0fxaf x 2 则实数 a 的取值范围是 a b c d 0 0 1 1 8 已知数列的首项 前 n 项和为 且满足 则满足 n a 1 1a n s 1 22 nn as 的 n 的最大值是 2 100111 100010 n n s s a 8b 9c 10d 11 9 在中 点 a 在 om 上 点 b 在 on 上 且 若omn abmn2oaom 则终点 p 落在四边形 abnm 内 含边界 时 的取值范围是 opxoayob 2 1 yx x a b c d 1 2 2 1 3 3 3 3 2 4 4 3 10 点 p 为棱长是 2 的正方体的内切球 o 球面上的动点 点 m 为的中点 1111 abcdabc d 11 bc 若满足 则动点 p 的轨迹的长度为 dpbm a b c d 5 5 2 5 5 4 5 5 8 5 5 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 7 7 小题 多空题每题小题 多空题每题 6 6 分 单空题每题分 单空题每题 4 4 分 共分 共 3636 分 分 11 某几何体的三视图是如图所示的直角三角形 半圆和等腰三角形 各边的长度如图所示 则此几何体的体积是 表面积是 12 袋中有 3 个大小 质量相同的小球 每个小球上分别写有数字 2 1 0 随机摸出一个将其上的数字记为 然后放回袋中 再次随机摸出 1 a 一个 将其上的数字记为 依次下去 第 n 次随机摸出一个 将 2 a 其上的数字记为记 则 1 随机变量的期望 n a nn aaa 21 2 第 11 题 3 是 2 当时的概率是 1 2 n n 13 设是定义在 r 上的最小正周期为的函数 且在上 xf 7 6 5 63 则 5 sin 0 6 cos 0 3 x x f x xa x a 16 3 f 14 若的垂心恰好为抛物线的焦点 o 为坐标原点 点 a b 在此抛物线上 oab 1 0 h 2 2ypx 则此抛物线的方程是 面积是 oab 15 对于任意实数和 b 不等式恒成立 则实数 0 aa 2 1 xxababa x 的取值范围是 16 设有序集合对满足 记分别表 a b 1 2 3 4 5 6 7 8 abab carda cardb 示集合的元素个数 则符合条件的集合的对数是 a b cardaa cardbb 17 已知 a 是射线上的动点 b 是 x 轴正半轴的动点 若直线 ab 与圆 0 0 xyx 22 1xy 相切 则的最小值是 ab 3 3 解解答题答题 本大题共本大题共 5 5 小题 共小题 共 7474 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 18 本题满分 14 分 已知三内角 a b c 的对边分别为 a b c 且abc cos3csin0acabc 1 求角 a 的值 2 求函数在区间的值域 cos24sinsinf xxax 23 74 19 本题满分 15 分 如图四边形 pabc 中 90pacabc 2 3 4paabac 4 现把沿 ac 折起 使 pa 与平面 abc 成 设此时 p 在平面 abc 上的投影为 o 点 o 与pac 60 b 在 ac 的同侧 1 求证 平面 pac ob 2 求二面角 p bc a 大小的正切值 20 本题满分 15 分 定义在 d 上的函数 如果满足 对任意 存在常数 都 f xxd 0m 有 则称是 d 上的有界函数 其中 m 称为函数的上界 已知函数 f xm f x f x 32 1 1 3 f xxaxx 1 当时 求函数在 d 上的上界的最小值 5 1 3 3 ad f x 2 记函数 若函数在区间上是以 3 为上界的有界函 g xfx 1 2 x yg d 0 数 求实数的取值范围 a 21 本题满分 15 分 椭圆的离心率为 左焦点 f 到直线 的距离 22 22 1 0 xy ab ab 1 3 l9x 为 圆 g 10 22 1 1xy 1 求椭圆的方程 2 若 p 是椭圆上任意一点 ef 为圆 n 的任一直径 求的取值范 22 1 4xy pe pf 围 3 是否存在以椭圆上点 m 为圆心的圆 m 使得圆 m 上任意一点 n 作圆 g 的切线 切点为 t 5 都满足 若存在 求出圆 m 的方程 若不存在 请说明理由 2 nf nt 22 本题满分 15 分 已知数列满足 n a 2 11 1 1 8 nn aaam 1 若数列是常数列 求 m 的值 n a 2 当时 求证 1m 1nn aa 3 求最大的正数 使得对一切整数 n 恒成立 并证明你的结论 m4 n a 6 2016 学年第一学期温州十校联合体高三期末考试 数学参考答案 一 选择题 本大题共选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 4040 分 分 序号序号 1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010 答案答案 c ca ab bb ba ac cd db bd dc c 5 解 a 2 sin2cosa b 2 222 2 1 21 2sincoscos2tan18 2 1 sincostan15 1 2 6 若 则点 p 的轨迹是以为焦点的双曲线 其方程为 12 8pfpf 12 5 0 5 0 ff 因为直线是它的渐近线 整条直线在双曲线的外面 因此有 22 1 169 xy 3 4 yx 12 8pfpf 7 作出函数的图象 因为由方程 得或 显然 yf x 2 0fxaf x 0f x f xa 有一个实数根 因此只要有两个根 不是 利用图象可得 实数 a 0f x 1x f xa 1x 的取值范围是 1 8 当 时 得 当 时 有 两式相减得1n 11 22as 2 1 2 a 2n 1 22 nn as 再考虑到 所以数列是等比数列 故有 因此原不 1 1 2 nn aa 21 1 2 aa n a 1 22 2 n n s 等式化为 化简得 得 所以 n 的 2 1 22 100111 2 1 100010 22 2 n n 111 1000210 n 4 5 6 7 8 9n 最大值为 9 9 利用向量知识可知 点落 在平面直角坐标系中两直线及 x 轴 q x y1 2xyxy y 轴围成的四边形 含边界 内 又因为 其中 表示点 21 11 11 yxy k xx 1 1 y k x 与点 q 连线的斜率 由图形可知 所以 1 1 r 1 3 3 k 42 4 31 yx x 7 10 直线 dp 在过点 d 且与 bm 垂直的平面内 又点 p 在内接球的球面上 故点 p 的轨迹是正方 体的内切球与过 d 且与 bm 垂直的平面相交得到的小圆 可求得点 o 到此平面的距离为 截得 5 5 小圆的半径为 所以以点 p 的轨迹的长度为 2 5 5 4 5 5 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 7 7 小题 多空题每题小题 多空题每题 6 6 分 单空题每题分 单空题每题 4 4 分 共分 共 3636 分 分 11 12 16 24 84 13 2 1e 3n n 13 14 1 2 3 xy4 2 510 15 2 5 2 1 x 16 44 对 17 22 2 分析 11 解 易知此几何体是半个圆锥 16 24 84 13 12 解 可以求得随机变量 2 1e 3n n 的分布列如表所示 期望为 当时的 2 1 1 2 n n 概率是 3n n 13 解 由于的周期为 则 即1 2 3 xf 7 6 5 36 ff 解得 此时 5 cossin 36 a 1a 16223 sin 3332 ff 14 解 因为焦点为 所以抛物线的方程是 设 2 4 10 5yx 1 0 h 2 4yx 由抛物线的对称性可知 又因为 得 22 2 2 a aa b bbba ahob 解得 不妨取正值 从而可得 22 22 1 1 ab ab 5a 15 解 原不等式可化为恒成立 因此只要 2 5 2 1 x 1 2 abab xx a 0124 p 9 5 9 1 9 2 9 1 8 求 的最小值 因为 所以 abab y a 2 ababababa 2y 且当时取到最小值为 2 因此有 解得 0ab ab 2 2 1 xx 2 5 2 1 x 16 解 44 对 由条件可得 当时 显然不成 cardab cardba 0 8cardacardb 立 当时 则 所以 符合条件1 7cardacardb 7 1ab 7 1 2 3 4 5 6 8 ab 的集合对有 1 对 当时 则 所以 a 中的另一个元素从剩下 62 6cardacardb 6 2ab 个数中选一个 故符合条件的集合对有对 当时 则 1 6 6c 3 5cardacardb 5 3ab 所以 a 中的另两个元素从剩下 6 个数中选 2 个 故符合条件的集合对有对 当 2 6 15c 时 则 矛盾 由对称性 剩下的几种情况类似 故符合条件4 4cardacardb 4 4ab 的集合的对数是对 2 0 16 15 044 17 解一 设 则直线 ab 的方程是22 2 0 0 aa a b ba b 因为若直线 ab 与圆相切 所以 化简 0axab yab 22 1xy 22 1 ab d aab 得 利用基本不等式得 即 2222 22ababa b 2222 222 22a babababab 从而得 当 即22 2ab 22 22 2ababaab 2ba 时 的最小值是 22 42 2ab ab22 2 解二 在中 设 则利用面积可得 得aob oaa obb 11 sin135 1 22 abab 2 2 abab 由余弦定理得 即 222 2cos135ababab 2222 1 222 2 a babababab 解得 即有42 2ab 2 22 2 2 abab 解三 设切点 c 点 则 aocboc aca bcb tan tanab 即 整理得 tan 1 1 ab ab 2 1 1 2 ab abab 2 4 40abab 9 解得 即的最小值是 22 2ab ab22 2 3 3 解答题解答题 本大题共本大题共 5 5 小题 共小题 共 7474 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 18 本题满分 14 分 已知三内角 a b c 的对边分别为 a b c 且 abc cos3csin0acabc 1 求角 a 的值 2 求函数在区间的值域 cos24sinsinf xxax 23 74 解 1 因为 cos3csin0acabc 由正弦定理得 2 分sinacos3sincsinsinsin0cabc 即 3sincsincossinsin0aacc 因为 得 4 分sin0c 3sincos1aa 所以 6 分 1 sin 62 a 解得 7 分 3 a 2 由上可得 8 分 3 sin 2 a 所以 11 分 22 35 cos24sinsin1 2sin2 3sin2 sin 22 f xxaxxxx 因为 23 x 74 所以 12 分 2 sin 1 2 x 故函数的值域为 14 分 f x 5 6 2 19 本题满分 15 分 如图四边形 pabc 中 现把沿 ac90pacabc 2 3 4paabac pac 折起 使 pa 与平面 abc 成 设此时 p 在平面 abc 上的投影为 o 点 o 与 b 在 ac 的同侧 60 1 求证 平面 pac ob 2 求二面角 p bc a 大小的正切值 10 解 1 连 ao 因为平面 abc 得 po poca 又因为 得平面 pao 3 分capa ca caao 因为是 pa 与平面 abc 的角 pao 60pao 因为 得 2 3pa 3oa 在中 故有 6 分oab 903060oab oboa 从而有 得平面 pac 8 分 obac ob 2 过 o 作 bc 的垂线交 cb 延长线于 g 点 连 pg 则是二面角 p bc a 的平面角 pgo 在中 易知 rt pgo 3 3 3 2 poog 所以 15 2 3 tan 3 po pgo og 分 另解 1 同上 2 以 ob oa op 为 x y z 轴 建立坐标系 可得 0 3 0 3 0 0 c 4 3 0 0 0 3 abp 可求得平面 abc 的法向量是 平面 pbc 的法向量是 所以二面角 0 0 1 m 1 3 3 11 p bc a 大小的余弦值是 即 321 cos 717 2 3 tan 3 20 本题满分 15 分 定义在 d 上的函数 如果满足 对任意 存在常数 都有 则 f xxd 0m f xm 称是 d 上的有界函数 其中 m 称为函数的上界 已知函数 f x f x 32 1 1 3 f xxaxx 1 当时 求函数在 d 上的上界的最小值 5 1 3 3 ad f x 2 记函数 若函数在区间上是以 3 为上界的有界函 g xfx 1 2 x yg d 0 数 求实数的取值范围 a 解 1 因为 32 1 1 3 f xxaxx 5 1 3 3 ad 得 2 10 10 3 fxxx 1 分 得或 2 分3x 1 3 故可得函数在区间上单调递增 区间是单调递减 3 分 f x 1 1 3 1 3 3 因为 194 1 2 3 2 381 fff 所以 5 分 94 2 81 f x 故有上界 即上界的最小值是 7 分 2f x 2m 2 2 因为 8 分 2 21g xxax 故有函数 2 111 2 1 222 xxx yga 令 因为 得 1 2 x t x 0 0 1 t 因为函数在区间上是以 3 为上界的有界函数 1 2 x yg x 0 得在区间上恒成立 3g t 0 1 t 即 11 分 2 3213tat 得在区间上恒成立 12 分 21 22 tt a tt 0 1 t 12 记 21 q t 22 tt p t tt 当时 单调递增 0 1 t 2 2 t p t t 所以 单调递减 max 5 2 p t 1 q 2 t t t min 1 2 q t 所以实数的取值范围是 15 分a 51 22 a 另解 利用函数的最值求解 2 t 21 01 gtatt 当时 函数在区间上单调递增 0a t g 0 1 所以只要 解得 所以 1 223 0 13 ga g 1 2 a 1 0 2 a 当时 函数在区间上单调递减 在区间 单调递增 10a t g 0 a 1 a 所以只要 解得 所以 2 1 223 0 13 13 ga g gaa 1 2 2 a 10a 当时 函数在区间上单调递减 1a t g 0 1 所以只要 解得 所以 1 223 0 13 ga g 5 2 a 5 1 2 a 综上可知 实数的取值范围是 a 51 22 a 21 本题满分 15 分 椭圆的离心率为 左焦点 f 到直线 的距离为 圆 g 22 22 1 0 xy ab ab 1 3 l9x 10 22 1 1xy 1 求椭圆的方程 2 若 p 是椭圆上任意一点 ef 为圆 n 的任一直径 求的取值范 22 1 4xy pe pf 围 3 是否存在以椭圆上点 m 为圆心的圆 m 使得圆 m 上任意一点 n 作圆 g 的切线 切点为 t 13 都满足 若存在 求出圆 m 的方程 若不存在 请说明理由 2 nf nt 解 1 3 分 22 1 98 xy 2 2 22222 81 1 1 1 1 8 1 3 1 93 pe pfpnxyxxx 因为 所以 即的取值范围是 8 分33x 3 15 pe pf pe pf 3 15 3 设圆 m 其中 222 0 xmynrr 22 1 98 mn 则 10 分 22222 22xymxnymnr 由于 则 12 分 2 nf nt 2222 1 2 1 1 xyxy 即 代入 22 610 xyx 22222 22xymxnymnr 得对圆 m 上任意点 n 恒成立 222 2 3 210mxnymnr 只要使 即 2