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开始 学点一 学点二 如果已知数列的第1项 或前几项 且 的关系可以用一个公式来表示 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 递推公式也是给出数列的一种方法 学点一命题的判断 分析 数列是用递推公式给出的 已知a1就可以递推出a2 依此类推 就可求出其任一项 已知数列 an 分别满足下列 写出它的前5项 并归纳出各数列的一个通项公式 1 a1 0 an 1 an 2n 1 2 a1 1 an 1 3 已知a1 1 a1a2 an n2 解析 1 因为a1 0 an 1 an 2n 1 所以a2 a1 2 1 1 1 a3 a2 2 2 1 4 a4 a3 2 3 1 9 a5 a4 2 4 1 16 所以它的前5项为0 1 4 9 16 此数列又可写成 1 1 2 2 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 2 故该数列的一个通项公式为an n 1 2 评析 1 根据数列的递推公式写出数列的前5项是考纲的基本要求 归纳 猜想数列的通项公式可锻炼同学们的观察能力与推理能力 2 已知数列的递推公式求通项公式 此类题型求数列通项公式的方法大致公两类 一类是根据前几项的特点归纳猜想出an的表达式 然后用数学归纳法证明 后面学 另一类是将已知递推关系 用累项相加 乘 法 迭代法 换无法转化为基本数列求通项 已知an an 1 n 2 a1 1 1 写出数列的前5项 2 由 1 中的前5项 猜测数列的通项公式并进行验证 解 学点二数列递推公式的应用 已知数列 an 满足an 1 a1 2 求an 分析 依据已知数列的递推关系适当地进行变形 可寻找数列的通项的差an an 1或通项的商的规律 解析 设数列 an 是首项为1的正项数列 且 n 1 a2n 1 na2n an 1an 0 n N 求它的通项公式 解 1 如何理解数列的递推公式 1 递推公式是给出数列的一种重要形式 并不是所有的数列都有递推公式 递推公式可用于求数列中的各项 2 递推公式与通项公式的区别与联系 3 这样的公式不是递推公式 因为数列 bn 是由数列 an 中的项 通过公式构造出来的 不是由数列 bn 中的项经过递推构造出来的 如果改成并给出数列 bn 的第1项 第2项 那么就是递推公式了 4 由数列的递推公式不一定能求出数列的通项公式 1 数列的递推公式是已知数列的第一项 或前几项 利用其任意一项an和其前一项an 1 或前几项 来给出数列的一种方法 可由递推公式求出数列的每一项 2 已知数列的递推公式求通项公式 此类题型求数列通项公式方法大致分两类 一类是根据前几项的特点归纳猜想出an的表达式 然后用数学归纳法证明 后面学 另一类是将已知递推关系 用累项相加 乘 法 迭代法 换元法或转化为基本数列 后面学 等方法求通项 3 对于等差数列 an 当d 0时 讨论其最大值与最小值 可以借助一次函数的单调性得以解决 4 三个数成等差数列 根据对称性特点一般可设为a d a a d 若
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