福建省漳州市高三数学5月模拟试卷 文（含解析）.doc

2016年福建省漳州市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1已知集合p=2，3，4，5，6，q=3，5，7，若m=pq，则m的子集个数为（）a5b4c3d22已知复数（1+i）z=3+i，其中i为虚数单位，则复数z所对应的点在（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限3设命题p：函数f（x）=ex在r上为增函数；命题q：函数f（x）=cos2x为奇函数，则下列命题中真命题是（）apqb（p）qc（p）（q）dp（q）4两向量，则在方向上的投影为（）a（1，15）b（20，36）cd5已知函数f（x）=2sinxcosx2sin2x，xr，则函数f（x）的单调递增区间是（）ak，k+，kzbk，k+，kzc2k，2k+，kzd2k，2k+，kz6已知函数f（x）满足f（2x）=x，则f（3）=（）alog23blog32cln2dln37执行如图的程序框图，若输入n=4，则输出的结果是（）a30b62c126d2548定长为6的线段mn的两端点在抛物线y2=4x上移动，设点p为线段mn的中点，则p到y轴距离的最小值为（）a6b5c3d29三棱锥sabc中，sb平面abc，sb=，abc是边长为的正三角形，则该三棱锥sabc的外接球的表面积为（）a3b5c9d1210若实数x，y满足，则x2+y2的最小值为（）abcd511一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下部分的几何体的体积为（）a +b +c +d2+312已知函数f （x）=x2x|xa|3a，a3若函数f （x）恰有两个不同的零点x1，x2，则|的取值范围是（）a（1，+）b（，+）c（，1d（，二、填空题：本大题共4小题。每小题5分.13已知等比数列an中，an0，a2=3，a6=12，则a4=14已知双曲线y2=1（m0）的离心率为，则m的值为15为推广漳州“三宝”，某商场推出“砸金蛋”促销活动，单笔购满50元可以玩一次“砸金蛋”游戏，每次游戏可以砸两个金蛋，每砸一个金蛋可以等可能地得到“水仙花卡片”，“片仔癀卡片”和“八宝印泥卡片”中的一张，如果一次游戏中可以得到相同的卡片，那么该商场赠送一份奖品，则玩一次该游戏可以获赠一份奖品的概率是16已知数列an中，a1=1，且n（an+1an）=2an+1（nn*），现给出下列4个结论：数列an是递增数列；数列an是递减数列；存在nn*，使得（2a1）+（2a2）+（2an）2016；存在nn*，使得（2a1）2+（2a2）2+（2an）22016；其中正确的结论的序号是（请写出所有正确结论的序号）三、解答题:解答写出文字说明、证明或验算步骤17已知abc的三个内角为a，b，c，向量=（cosa，sinb），=（cosb，sina），满足=cosc（1）求证：abc是直角三角形；（2）若ac=，bc=6，p是abc内的一点，且apc=bpc=120，设pac=，求tan18某高校进行自主招生测试，报考学生有500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们测试的分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成4组：70，90），90，110），110，130），130，150分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图（）根据频率分布直方图可以估计女生测试成绩的平均值为103.5，请你估计男生测试成绩的平均值，由此推断男、女生测试成绩的平均水平的高低；（）若规定分数不小于110分的学生为“优秀生”，请你根据已知条件完成22列联表，并判断是否有90%的把握认为“优秀生与性别有关”？优秀生非优秀生合计男生女生合计参考公式：k2=参考数据：p（k2k0）0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.82819四棱锥pabcd中，平面pad平面abcd，bcd的边长为的等边三角形，ad=2，ab=1，点f在线段ap上（）求证：cd平面pad；（）若bf平面pcd，pcd是等边三角形，求点f到平面pcd的距离20已知定点a（1，0），动点p在圆b：（x+1）2+y2=16上，线段pa的中垂线为直线l，直线l交直线pb于点q，动点q的轨迹为曲线e（）求曲线e的方程；（）若点p在第二象限，且相应的直线l与曲线e和抛物线c：y=x2都相切，求点p的坐标21已知函数f（x）=，函数f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线与直线y=x+e垂直，其中实数a是常数，e是自然对数的底数（）求实数a的值；（）若关于x的不等式f（ex+1）t有解，求实数t的取值范围请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图，ab是o的一条切线，切点为b，ade，cfd和 cge都是o的割线，ac=ab（1）证明：ac2=adae；（2）证明：fgac选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xoy中，圆c的参数方程为（其中为参数），以坐标原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线=和=（0）与圆c分别异于极点o的a，b两点（1）求圆c的极坐标方程；（2）求|oa|+|ob|的最大值选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|2x+a|2x3|，ar（1）若a=2，求不等式f（x）3的解集；（2）若存在实数x使得f（x）2a成立，求实数a的取值范围2016年福建省漳州市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1已知集合p=2，3，4，5，6，q=3，5，7，若m=pq，则m的子集个数为（）a5b4c3d2【考点】交集及其运算【分析】求出p与q的交集确定出m，即可求出m子集的个数【解答】解：p=2，3，4，5，6，q=3，5，7，m=pq=3，5，则m的子集个数为22=4故选：b2已知复数（1+i）z=3+i，其中i为虚数单位，则复数z所对应的点在（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z的坐标得答案【解答】解：由（1+i）z=3+i，得，复数z所对应的点的坐标为（2，1），在第四象限故选：d3设命题p：函数f（x）=ex在r上为增函数；命题q：函数f（x）=cos2x为奇函数，则下列命题中真命题是（）apqb（p）qc（p）（q）dp（q）【考点】复合命题的真假【分析】先判定命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出【解答】解：命题p：函数f（x）=ex在r上为增函数，是真命题；命题q：函数f（x）=cos2x为偶函数，因此是假命题，q是真命题则下列命题中真命题是pq故选：d4两向量，则在方向上的投影为（）a（1，15）b（20，36）cd【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用平面向量的数量积、向量的投影定义即可得出【解答】解：，=4（5）+（3）（12）=16， =13，在方向上的投影为=，故选：c5已知函数f（x）=2sinxcosx2sin2x，xr，则函数f（x）的单调递增区间是（）ak，k+，kzbk，k+，kzc2k，2k+，kzd2k，2k+，kz【考点】正弦函数的单调性；三角函数中的恒等变换应用【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论【解答】解：函数f（x）=2sinxcosx2sin2x=sin2x2=2sin（2x）1，xr，令 2k2x2k+，求得kxk+，可得函数f（x）的单调递增区间为k，k+，kz，故选：b6已知函数f（x）满足f（2x）=x，则f（3）=（）alog23blog32cln2dln3【考点】函数的值【分析】用换元法，设2x=t，则x=log2t，求出解析式f（t），计算f（3）的值即可【解答】解：设2x=t，x=log2t，f（t）=log2t，即f（x）=log2x；f（3）=log23故选：a7执行如图的程序框图，若输入n=4，则输出的结果是（）a30b62c126d254【考点】程序框图【分析】由程序框图知：算法的功能是求s=2+22+23+2i的值，根据条件确定跳出循环的i值，从而计算输出的s值【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求s=2+22+23+2i的值，当输入n=4时，跳出循环的i值为5，输出s=2+22+23+24+25=62故选：b8定长为6的线段mn的两端点在抛物线y2=4x上移动，设点p为线段mn的中点，则p到y轴距离的最小值为（）a6b5c3d2【考点】抛物线的简单性质【分析】先设出m，n的坐标，根据抛物线方程可求得其准线方程，进而可表示出m到y轴距离，根据抛物线的定义结合两边之和大于第三边且a，b，f三点共线时取等号判断出的最小值即可【解答】解：设m（x1，y1），n（x2，y2），抛物线的y2=4x准线x=1，p到y轴距离s=11=31=2，当且仅当m，n过f点时取等号，故选：d9三棱锥sabc中，sb平面abc，sb=，abc是边长为的正三角形，则该三棱锥sabc的外接球的表面积为（）a3b5c9d12【考点】球内接多面体；球的体积和表面积【分析】由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以abc为底面以sb为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，得球的半径r，然后求解表面积【解答】解：根据已知中sb平面abc，sb=，abc是边长为的正三角形，可得此三棱锥外接球，即为以abc为底面以sb为高的正三棱柱的外接球，abc是边长为的正三角形，abc的外接圆半径r=1，球心到abc的外接圆圆心的距离d=，故球的半径r=三棱锥sabc外接球的表面积为：4=9故选：c10若实数x，y满足，则x2+y2的最小值为（）abcd5【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用两点间的距离公式进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，x2+y2的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，由图象知o到直线x+y3=0的距离最小，此时d=，则x2+y2的最小（）2=，故选：b11一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下部分的几何体的体积为（）a +b +c +d2+3【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图求出圆锥的高和底面半径，再求出截去的底面弧的圆心角，由扇形面积公式求出底面剩余部分的面积，代入锥体体积公式计算可得答案【解答】解：由三视图得，圆锥底面半径为r=，圆锥的高h=，由俯视图和侧视图可得：截去的底面弧的圆心角=2=，底面剩余部分的面积s=1+，所以几何体的体积为：v=sh=（1+）=，故选：a12已知函数f （x）=x2x|xa|3a，a3若函数f （x）恰有两个不同的零点x1，x2，则|的取值范围是（）a（1，+）b（，+）c（，1d（，【考点】函数的零点与方程根的关系【分析】当a3的取值范围结合函数f（x）有两个零点，利用韦达定理写出x1+x2，x1x2的表达式，结合一元二次函数的性质进行求解即可【解答】解：f （x）=x2x|xa|3a=，a3，当xa3，令f（x）=0，ax3a=0，x=3，不满足，xa时，函数f （x）恰有两个不同的零点x1，x2，令f（x）=0，则可得x1，x2是方程2x2ax3a=0的两个根，则：x1+x2=，x1x2=，|=（，1，故答案选：c二、填空题：本大题共4小题。每小题5分.13已知等比数列an中，an0，a2=3，a6=12，则a4=6【考点】等比数列的性质【分析】直接利用等比数列的性质求解即可【解答】解：等比数列an中，an0，a2=3，a6=12，可得a4=6故答案为：614已知双曲线y2=1（m0）的离心率为，则m的值为3【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的几何量，通过离心率求解即可【解答】解：双曲线y2=1（m0）的离心率为，可得： =，解得m=3故答案为：315为推广漳州“三宝”，某商场推出“砸金蛋”促销活动，单笔购满50元可以玩一次“砸金蛋”游戏，每次游戏可以砸两个金蛋，每砸一个金蛋可以等可能地得到“水仙花卡片”，“片仔癀卡片”和“八宝印泥卡片”中的一张，如果一次游戏中可以得到相同的卡片，那么该商场赠送一份奖品，则玩一次该游戏可以获赠一份奖品的概率是【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】“水仙花卡片”，“片仔癀卡片”和“八宝印泥卡片”分别用a，b，c表示，列举出所有的基本事件，再根据概率公式计算即可【解答】解：“水仙花卡片”，“片仔癀卡片”和“八宝印泥卡片”分别用a，b，c表示，一次游戏中，得到的卡片的基本事件有aa，ab，ba，ac，ca，bc，cb，bb，cc共9种，其中以得到相同的卡片有aa，bb，cc，共3种，故玩一次该游戏可以获赠一份奖品的概率是=，故答案为：16已知数列an中，a1=1，且n（an+1an）=2an+1（nn*），现给出下列4个结论：数列an是递增数列；数列an是递减数列；存在nn*，使得（2a1）+（2a2）+（2an）2016；存在nn*，使得（2a1）2+（2a2）2+（2an）22016；其中正确的结论的序号是（请写出所有正确结论的序号）【考点】数列递推式【分析】对于：由n（an+1an）=2an+1（nn*），变形为（n+1）an+1nan=2，利用等差数列的通项公式可得：an=2，即可判断出正误对于：（2a1）+（2a2）+（2an）=3，由于n+时，1+，即可判断出正误；对于：（2an）2=9，（n2）时，利用“裂项求和”即可判断出正误【解答】解：对于：n（an+1an）=2an+1（nn*），（n+1）an+1nan=2，数列nan是等差数列，首项为1，公差为2nan=1+2（n1）=2n3，解得an=2，数列an是单调递增数列，因此不正确，正确对于：（2a1）+（2a2）+（2an）=2n=3，由于n+时，1+，因此存在nn*，使得（2a1）+（2a2）+（2an）2016，正确对于：（2an）2=9，（n2）时，n2时，（2a1）2+（2a2）2+（2an）29+9+=9+918，因此不存在nn*，使得（2a1）2+（2a2）2+（2an）22016综上可得：只有正确故答案为：三、解答题:解答写出文字说明、证明或验算步骤17已知abc的三个内角为a，b，c，向量=（cosa，sinb），=（cosb，sina），满足=cosc（1）求证：abc是直角三角形；（2）若ac=，bc=6，p是abc内的一点，且apc=bpc=120，设pac=，求tan【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用【分析】（1）根据=cosc得a，b，c之间的关系，使用两角和的余弦公式即可得出cosc=0；（2）用表示出pbc，分别在apc和bpc中使用正弦定理得出pc，即可列出关于的方程，得出tan【解答】解：（1）=cosc，即cosacosbsinasinb=cos（a+b）=cosc=cosc，cosc=0，0c，c=abc是直角三角形（2）apc=bpc=120，pca=60，bcp=90pca=30+，pbc=60pcb=30在pac中，由正弦定理得，即，pc=2sin在bpc中，由正弦定理得，即，pc=4sin（30）sin=2sin（30）=cos3sin，4sin=cos，tan=18某高校进行自主招生测试，报考学生有500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们测试的分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成4组：70，90），90，110），110，130），130，150分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图（）根据频率分布直方图可以估计女生测试成绩的平均值为103.5，请你估计男生测试成绩的平均值，由此推断男、女生测试成绩的平均水平的高低；（）若规定分数不小于110分的学生为“优秀生”，请你根据已知条件完成22列联表，并判断是否有90%的把握认为“优秀生与性别有关”？优秀生非优秀生合计男生女生合计参考公式：k2=参考数据：p（k2k0）0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828【考点】独立性检验【分析】（）利用同一组数据用该区间中点值作代表，计算男生的成绩平均数，即可得出结论；（）根据所给的条件写出列联表，根据列联表做出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到结论【解答】解：（）由频率分布直方图可以估计男生测试的成绩的平均值为=800.01520+1000.022520+1200.0120+1400.02520=100分，因为103.5100，所以由此可以判断，女生测试成绩的平均水平略高于男生（）由频数分布表可知：在抽取的100学生中，男生有100=60（人），测试成绩优秀的男生有60（0.0100+0.0025）20=15人，女生有100=40（人），测试成绩优秀的女生有40（0.01625+0.00250）20=15人，据此可得22列联表如下：优秀生非优秀生合计男生154560女生152540合计3070100可得k2=1.79因为1.792.706，所以没有90%的把握认为“数学成绩与性别有关”19四棱锥pabcd中，平面pad平面abcd，bcd的边长为的等边三角形，ad=2，ab=1，点f在线段ap上（）求证：cd平面pad；（）若bf平面pcd，pcd是等边三角形，求点f到平面pcd的距离【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定【分析】（）根据面面垂直的性质定理证明平面pad平面abcd即可证明cd平面pad；（）根据点到平面的距离的定义作出点f到平面的距离，结合三角形的边角关系进行求解即可【解答】解：（）ab=1，ad=2，bd=，cosadb=，则adb=30，bcd是等边三角形，bdc=60，adc=adb+bdc=90，即cdad，平面pad平面abcd，平面pad平面abcd=ad，cd平面abcd，cd平面pad；（） 在平面abcd内过b作bgcd，交ad于g，bg平面pcd，cd平面pcd，则bg平面pcd，由（1）得cdad，bgad，连接gf，bf平面pcd，bf，bg平面fbg，bfbg=b，平面fbg平面pcd，平面pad分别交平面fbg，pcd于fg，pd，fgpd，则直角三角形bgd中，bd=，bdg=30，dg=bdcos30=，=，在平面pad内过f作fhpd于h，cd平面pad，面fhc面pad，cdfh，pd，cd平面pcd，pdcd=d，fh平面pcd于h，则fh是点f到平面pcd的距离过a作ampd于m，pad是边长为2的等边三角形，am=，fham，=，fh=am=，即点f到平面pcd的距离是20已知定点a（1，0），动点p在圆b：（x+1）2+y2=16上，线段pa的中垂线为直线l，直线l交直线pb于点q，动点q的轨迹为曲线e（）求曲线e的方程；（）若点p在第二象限，且相应的直线l与曲线e和抛物线c：y=x2都相切，求点p的坐标【考点】抛物线的简单性质；直线与圆相交的性质【分析】（）利用垂直平分线的性质可得|qa|=|qp|，由|qb|+|qp|=4，可得|qb|+|qa|=4，利用椭圆的定义可得点q的轨迹是一个椭圆；（）设l：y=kx+m代入椭圆、抛物线的方程，利用判别式等于0，a与p关于直线l对称，即可求点p的坐标【解答】解：（）由条件知：|qa|=|qp|，|qb|+|qp|=4，|qb|+|qa|=4，|ab|=24，所以点q的轨迹是以b，a为焦点的椭圆，2a=4，2c=2，b2=3，曲线e的方程是=1；（）由题意，设l：y=kx+m，代入=1得（4k2+3）x2+8kmx+4（m23）=0，1=（8km）4（4k2+3）4（m23）=0，4k2m2+3=0把代入：y=x2，得： x2+kx+m=0，由2=0，得m=8k2由解得k=，m=2设p（x0，y0），则x00，y00a与p关于直线l对称，kap0，k0，k=，l：y=x+2，则，x0=1，y0=4，经检验p（1，4）在圆c上故所求点p的坐标为p（1，4）21已知函数f（x）=，函数f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线与直线y=x+e垂直，其中实数a是常数，e是自然对数的底数（）求实数a的值；（）若关于x的不等式f（ex+1）t有解，求实数t的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求导数，利用函数f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线与直线y=x+e垂直，求实数a的值；（）由于ex+11，关于x的不等式f（ex+1）t有解，等价于1，使得f（x）t，即t，即extx+te0成立分类讨论，利用导数确定函数的单调性，即可求实数t的取值范围【解答】解：（）f（x）=，f（x）=，函数f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线与直线y=x+e垂直，f（2）=e，f（2）=a，a=e；（）由（）可知f（x）=，ex+11，关于x的不等式f（ex+1）t有解，等价于1，使得f（x）t，即t，即extx+te0成立令g（x）=extx+te，则g（x）=extte，则x1时，g（x）=extet0，g（x）在1，+）上是增函数，x1时，g（x）g（1）=0，extx+te0不成立；te，则由g（x）=ext=0得x=lnt1，x（1，lnt）时，g（x）0，g（x）在1，lnt）上是减函数，x（1，lnt）时，g（x）g（1）=0，extx+te0成立综上所述，实数t的取值范围是（e，+）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计