《2.2.1椭圆及其标准方程(1)》.ppt

了解椭圆的实际背景 经历从具体情境中抽象出椭圆的过程 椭圆标准方程的推导与化简过程 掌握椭圆的定义 标准方程及几何图形 2 2 1椭圆及其标准方程 2 2椭圆 课标要求 核心扫描 利用定义法 待定系数法求椭圆的标准方程 重点 会求简单的与椭圆相关的轨迹问题 难点 1 2 1 2 生活中有椭圆 生活中用椭圆 一 认识椭圆 二 动手试验 1 取一条一定长的细绳 2 把它的两端用图钉固定在画板上 3 用铅笔尖把绳子拉直 使笔尖在纸板上慢慢移动 画出什么图形 椭圆的定义平面内与两个定点F1 F2的 的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的 叫做椭圆的焦距 想一想 在椭圆定义中 将 大于 F1F2 改为 等于 F1F2 或 小于 F1F2 的常数 其他条件不变 点的轨迹是什么 提示当距离之和等于 F1F2 时 动点的轨迹就是线段F1F2 当距离之和小于 F1F2 时 动点的轨迹不存在 自学导引 1 距离之和等于常数 大于 F1F2 焦点 两焦点间的距离 椭圆的标准方程 a b 0 a b 0 c 0 c 0 0 c 0 c a2 b2 2 尝试应用 根据下列椭圆方程 写出a b c的值 并指出焦点的坐标 1 2 焦点坐标为 1 2 4 3 3 4 5 试一试 已知椭圆的标准方程中a 5 b 4 则椭圆的标准方程是什么 方法技巧分类讨论思想在椭圆中的应用 在本节内容中 最常见的分类讨论是因焦点的位置不确定而引起的讨论 椭圆的一个顶点为A 2 0 其长轴长是短轴长的2倍 求椭圆的标准方程 思路分析 题目没有指出焦点的位置 要考虑两种位置 进行分类讨论 方法技巧分类讨论思想在椭圆中的应用 示例 方法点评本题要求根据椭圆上的点和长短轴之间的关系求标准方程 考查椭圆的标准方程和思考问题的全面性 椭圆的标准方程有两个 给出一个顶点的坐标和对称轴的位置 是不能确定椭圆的形状的 因而要考虑两种情况 椭圆的定义的应用 1 应用椭圆的定义和方程 把几何问题转化为代数问题 再结合代数知识解题 而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密 因此 涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理 2 椭圆的定义式 PF1 PF2 2a 2a F1F2 在解题中经常将 PF1 PF2 看成一个整体或者配方等灵活运用 名师点睛 1 椭圆标准方程的特点 1 a b c三个基本量满足a2 b2 c2且a b 0 其中2a表示椭圆上的点到两焦点的距离之和 可借助如图所示的几何特征理解并记忆 2 利用标准方程判断焦点的位置的方法是看大小 即看x2 y2的分母的大小 哪个分母大 焦点就在哪个坐标轴上 较大的分母是a2 较小的分母是b2 2 求椭圆标准方程的方法 1 定义法 即根据椭圆的定义 判断出轨迹是椭圆 然后写出其方程 2 待定系数法 即设出椭圆的标准方程 再依据条件确定a2 b2的值 可归纳为 先定型 再定量 其一般步骤是 定类型 根据条件判断焦点在x轴上还是在y轴上 还是两种情况都有可能 并设椭圆方程为 确定未知量 根据已知条件列出关于a b c的方程组 解方程组 可得a b的值 然后代入所设方程即可 3 题型一用待定系数法求椭圆的标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 两个焦点的坐标分别是 4 0 4 0 椭圆上一点P到两焦点距离的和是10 2 焦点在y轴上 且经过两个点 0 2 和 1 0 例1 思路探索 对于 1 2 可直接用待定系数法设出方程求解 但要注意焦点位置 对于 3 由于题中条件不能确定椭圆焦点在哪个坐标轴上 所以应分类讨论求解 为了避免讨论 还可以设椭圆的方程为Ax2 By2 1 A 0 B 0 A B 然后代入已知点求出A B 规律方法求椭圆的标准方程时 要 先定型 再定量 即要先判断焦点位置 再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程 最后由条件确定待定系数即可 当所求椭圆的焦点位置不能确定时 应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论 但要注意a b 0这一条件 当已知椭圆经过两点 求椭圆的标准方程时 把椭圆的方程设成mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 的形式有两个优点 列出的方程组中分母不含字母 不用讨论焦点所在的坐标轴 从而简化求解过程 求适合下列条件的标准方程 1 两个焦点坐标分别是 3 0 3 0 椭圆经过点 5 0 2 两个焦点坐标分别是 0 5 0 5 椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26 变式1 思路探索 可先利用a b c三者关系求出 F1F2 再利用定义及余弦定理求出 PF1 PF2 最后求出S F1PF2 题型二椭圆定义的应用 例2 由余弦定理知 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos30 F1F2 2 2c 2 4 式两边平方 得 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 20 规律方法在椭圆中由椭圆上的点 两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多 要解决这些题目 我们经常利用椭圆的定义 正弦定理 余弦定理及三角形面积公式 这就需要我们在解题时 要充分理解题意 分析条件 利用椭圆定义 正弦定理 余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系 在解题中 经常把 PF1 PF2 看作一个整体来处理 解如图所示 由已知 a 5 AF1B的周长l AF1 AB BF1 AF1 AF2 BF2 BF1 4a 20 变式2 12分 已知B C是两个定点 BC 8 且 ABC的周长等于18 求这个三角形的顶点A的轨迹方程 题型三与椭圆有关的轨迹问题与椭圆有关的轨迹问题 例3 规范解答 以过B C两点的直线为x轴 线段BC的垂直平分线为y轴 建立直角坐标系xOy 如图所示 2分 由 BC 8 可知点B 4 0 C 4 0 由 AB AC BC 18 得 AB AC 10 6分因此 点A的轨迹是以B C为焦点的椭圆 这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a 10 8分但点A不在x轴上 由a 5 c 4 得b2 a2 c2 25 16 9 10分 题后反思 利用椭圆的定义求轨迹方程 是先由条件找到动点所满足的条件 看其是否符合椭圆的定义 再确定椭圆的方程 特别注意点A不在x轴上 因此y 0 已知动圆M过定点A 3 0 并且内切于定圆B x 3 2 y2 64 求动圆圆心M的轨迹方程 解设动圆M的半径为r 则 MA r MB 8 r MA MB 8 且8 AB 6 动点M的轨迹是椭圆 且焦点分别是A 3 0 B 3 0 且2a 8 a 4 c 3 b2 a2 c2 16 9 7 变式3 在本节内容中 最常见的分类讨论是因焦点的位置不确定而引起的讨论 椭圆的一个顶点为A 2 0 其长轴长是短轴长的2倍 求椭圆的标准方程 思路分析 题目没有指出焦点的位置 要