辽宁省鞍山一中、东北育才中学、大连八中等学校高三数学上学期期末试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年辽宁省鞍山一中、东北育才中学、大连八中等学校高三（上）期末数学试卷（文科）一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合a=x|x23x+2=0，b=x|logx4=2，则ab=（）a2，1，2 b1，2 c2，2 d22若复数z=（a2+2a3）+（a+3）i为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值是（）a3 b3或1 c3或1 d13已知向量=（1，3），=（2，m），若与垂直，则m的值为（）a1 b1 c d4直线x+（a2+1）y+1=0（ar）的倾斜角的取值范围是（）a0，b，） c0，（，） d，），）5已知（0，），且cos（+）=，则sin的值为（）a b c d6若数列an的通项公式是an=（1）n（3n2），则a1+a2+a10=（）a15 b12 c12 d157已知四棱锥pabcd的三视图如图所示，则四棱锥pabcd的四个侧面中面积最大的是（）a6 b8 c d38已知斜三棱柱abca1b1c1的体积为v，在斜三棱柱内任取一点p，则三棱锥pabc的体积大于的概率为（）a b c d9如图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框处应填入的条件是（）an2 bn3 cn4 dn510已知双曲线：=1，左右焦点分别为f1，f2，过f1的直线l交双曲线左支于a，b两点，则|+|的最小值为（）a b11 c12 d1611已知函数f（x）=x33x2+1，g（x）=，则方程gf（x）1=0的根的个数为（）a3个 b4个 c5个 d6个12已知球o半径为，设s、a、b、c是球面上四个点，其中abc=120，ab=bc=2，平面sac平面abc，则棱锥sabc的体积的最大值为（）a b c d3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13将容量为n的样本中的数据分成5组，绘制频率分布直方图若第1至第5个长方形的面积之比3：4：5：2：1，且最后两组数据的频数之和等于15，则n等于14设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值是15已知函数f（x）=（2xx2）ex，则函数f（x）的极大值与极小值之积为16设m表示不超过实数m的最大整数，则在直角坐标平面xoy上，则满足x2+y2=50的点p（x，y）所成的图形面积为三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知函数f（x）=sin2xcos2x，（xr）（1）当x，时，求函数f（x）的最小值和最大值；（2）设abc的内角a，b，c的对应边分别为a，b，c，且c=，f（c）=0，若向量=（1，sina）与向量=（2，sinb）共线，求a，b的值18为积极配合深圳2011年第26届世界大运会志愿者招募工作，某大学数学学院拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队，经过初步选定，2名男同学，4名女同学共6名同学成为候选人，每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的（1）求当选的4名同学中恰有1名男同学的概率；（2）求当选的4明天同学中至少有3名女同学的概率19如图，在长方形abcd中，ab=2，ad=1，e为dc的中点，现将dae沿ae折起，使平面dae平面abce，连接db，dc，be（）求证：be平面ade；（）求点a到平面bde的距离20设椭圆c： +=1（ab0）过点m（，1），且焦点为f1（，0）（）求椭圆c的方程；（）当过点p（4，0）的动直线l与椭圆c相交于两不同点a，b时，在线段ab上取点q，满足=，证明：点q总在某定直线上21设函数f（x）=+lnx，g（x）=x3x23，其中ar（）当a=2时，求曲线y=f（x）在点p（1，f（1）处的切线方程；（）若存在x0，2，使得g（x）m成立，求实数m的最大值；（）若对任意s、t，2都有f（s）g（t），求a的取值范围四、选考题（请考生从22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：几何证明选讲22选修41：几何证明选讲如图，abc内接于o，ab是o的直径，pa是过点a的直线，且pac=abc（） 求证：pa是o的切线；（）如果弦cd交ab于点e，ac=8，ce：ed=6：5，ae：eb=2：3，求sinbce选修4-4：坐标系与参数方程23（选做题）在直角坐标系xoy中，以o为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为sin（+）=，圆c的参数方程为，（为参数，r0）（）求圆心c的极坐标；（）当r为何值时，圆c上的点到直线l的最大距离为3选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|2x1|+|2x3|，xr（1）解不等式f（x）5；（2）若的定义域为r，求实数m的取值范围2015-2016学年辽宁省鞍山一中、东北育才中学、大连八中等学校高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合a=x|x23x+2=0，b=x|logx4=2，则ab=（）a2，1，2 b1，2 c2，2 d2【考点】并集及其运算【分析】先将a，b化简，再计算并集，得出正确选项【解答】解：a=x|x23x+2=0=x|（x1）（x2）=0=1，2b=x|logx4=2=2ab=1，2故选b2若复数z=（a2+2a3）+（a+3）i为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值是（）a3 b3或1 c3或1 d1【考点】复数的基本概念【分析】由复数z=（a2+2a3）+（a+3）i为纯虚数，知，由此能求出实数a【解答】解：复数z=（a2+2a3）+（a+3）i为纯虚数，解得a=1，故选d3已知向量=（1，3），=（2，m），若与垂直，则m的值为（）a1 b1 c d【考点】平面向量数量积的运算【分析】求出向量，然后利用向量垂直数量积为0，求出m的值即可【解答】解：因为向量=（1，3），=（2，m），所以=（3，3+2m），因为与垂直，所以（）=0，即（1，3）（3，3+2m）=0，即3+9+6m=0，所以m=1故选a4直线x+（a2+1）y+1=0（ar）的倾斜角的取值范围是（）a0，b，） c0，（，） d，），）【考点】直线的倾斜角【分析】由直线的方程得 斜率等于，由于 01，设倾斜角为 ，则 0，1tan0，求得倾斜角 的取值范围【解答】解：直线x+（a2+1）y+1=0（ar）的 斜率等于，由于 01，设倾斜角为 ，则 0，1tan0，故选 b5已知（0，），且cos（+）=，则sin的值为（）a b c d【考点】两角和与差的正弦函数【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（+）的值，再利用两角差的正弦公式求得sin=sin（+）的值【解答】解：（0，），且cos（+）=，+为钝角，sin（+）=，则sin=sin（+）=sin（+）coscos（+）sin=（）=，故选：d6若数列an的通项公式是an=（1）n（3n2），则a1+a2+a10=（）a15 b12 c12 d15【考点】数列的求和【分析】通过观察数列的通项公式可知，数列的每相邻的两项的和为常数，进而可求解【解答】解：依题意可知a1+a2=3，a3+a4=3a9+a10=3a1+a2+a10=53=15故选a7已知四棱锥pabcd的三视图如图所示，则四棱锥pabcd的四个侧面中面积最大的是（）a6 b8 c d3【考点】由三视图求面积、体积【分析】三视图复原的几何体是四棱锥，利用三视图的数据直接求解四棱锥pabcd的四个侧面中面积，得到最大值即可【解答】解：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，后面是等腰三角形，腰为3，所以后面的三角形的高为： =，所以后面三角形的面积为： =2两个侧面面积为： =3，前面三角形的面积为： =6，四棱锥pabcd的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积：6故选a8已知斜三棱柱abca1b1c1的体积为v，在斜三棱柱内任取一点p，则三棱锥pabc的体积大于的概率为（）a b c d【考点】几何概型【分析】设出p点到底面距离为h1，由题意得到满足三棱锥pabc的体积大于的h1与原斜三棱柱高的关系得答案【解答】解：如图，设斜三棱柱abca1b1c1的底面积为s，高为h，p点到底面距离为h1，则sh=v，由，得，得：，三棱锥pabc的体积大于的概率为故选：b9如图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框处应填入的条件是（）an2 bn3 cn4 dn5【考点】循环结构【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：由框图的顺序，s=0，n=1，s=（s+n）n=（0+1）1=1；n=2，依次循环s=（1+2）2=6，n=3；n=3，依次循环s=（6+3）3=27，n=4，此刻输出s=27故判断框处应填入的条件是n3，故选b10已知双曲线：=1，左右焦点分别为f1，f2，过f1的直线l交双曲线左支于a，b两点，则|+|的最小值为（）a b11 c12 d16【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的标准方程可得：a=2，再由双曲线的定义可得：|af2|af1|=2a=4，|bf2|bf1|=2a=4，所以得到|af2|+|bf2|（|af1|+|bf1|）=8，再根据a、b两点的位置特征得到答案【解答】解：根据双曲线的标准方程=1可得：a=2，由双曲线的定义可得：|af2|af1|=2a=4，|bf2|bf1|=2a=4，所以+可得：|af2|+|bf2|（|af1|+|bf1|）=8，因为过双曲线的左焦点f1的直线交双曲线的左支于a，b两点，所以|af1|+|bf1|=|ab|，当|ab|是双曲线的通径时|ab|最小所以|af2|+|bf2|（|af1|+|bf1|）=|af2|+|bf2|ab|=8|bf2|+|af2|=|ab|+8=11故选b11已知函数f（x）=x33x2+1，g（x）=，则方程gf（x）1=0的根的个数为（）a3个 b4个 c5个 d6个【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】令t=f（x），则g（t）=1，解得t的值，求函数f（x）的导数f（x），判断函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可【解答】解：令t=f（x），则g（t）=1，当t0时，由g（t）=1得t+=1，即4t24t+1=0，即（2t1）2=0，即t=，当t0，由g（t）=1得t26t8=1，即（t+3）2=0，即t=3，函数f（x）=3x26x=3x（x2），由f（x）0得x2或x0，此时函数单调递增，由f（x）0得0x2，此时函数单调递减，即当x=0时，函数取得极大值f（0）=1，当x=2时，函数取得极小值f（2）=3，则当t=时，f（x）=，有3个根，当t=3时，f（x）=3，有2个根，共有3+2=5个，故选：c12已知球o半径为，设s、a、b、c是球面上四个点，其中abc=120，ab=bc=2，平面sac平面abc，则棱锥sabc的体积的最大值为（）a b c d3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体【分析】求出底面三角形的面积，底面三角形的所在平面圆的半径，由平面sac平面abc，可将已知中的三棱锥sabc补成一个同底等高的棱柱，即可求解锥sabc的体积的最大值【解答】解：三棱锥oabc，a、b、c三点均在球心o的表面上，且ab=bc=2，abc=120，bc=2，abc外接圆半径2r=4，即r=2sabc=22sin120=，og=1由平面sac平面abc，可将已知中的三棱锥sabc补成一个同底等高的棱柱，棱锥sabc的体积的最大值为=故选：a二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13将容量为n的样本中的数据分成5组，绘制频率分布直方图若第1至第5个长方形的面积之比3：4：5：2：1，且最后两组数据的频数之和等于15，则n等于75【考点】频率分布直方图【分析】根据频率和为1，求出直方图中最后两组数据的频率之和，再根据频率、频数与样本容量的关系，求出样本容量【解答】解：根据频率和为1，得；直方图中最后两组数据的频率之和为=对应的频数为15，样本容量为n=75故答案为：7514设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值是4【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】先根据等比中项的性质求得a+b的值，进而利用基本不等式取得ab的最大值，把+化简整理，根据ab的范围，求得答案【解答】解：是3a与3b的等比中项3a3b=3a+b=3a+b=1ab=（当a=b时等号成立）+=4故答案为：415已知函数f（x）=（2xx2）ex，则函数f（x）的极大值与极小值之积为4【考点】利用导数研究函数的极值【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极大值和极小值，从而求出大值与极小值之积即可【解答】解：f（x）=（2x2）ex，令f（x）0，解得：x，令f（x）0，解得：x或x，f（x）在（，）递减，在（，）递增，在（，+）递减，f（x）极大值=f（）=2（1），f（x）极小值=f（）=2（+1），f（x）极大值f（x）极小值=f（）f（）=2（1）2（+1）=4，故答案为：416设m表示不超过实数m的最大整数，则在直角坐标平面xoy上，则满足x2+y2=50的点p（x，y）所成的图形面积为12【考点】分段函数的应用【分析】根据方程可得对于x，y0时，求出x，y的整数解，可得|x|可能取的数值为7、5、1，则可以确定x的范围，进而得到对应的y的范围，求出面积即可【解答】解：由题意可得：方程：x2+y2=50当x，y0时，x，y的整解有三组，（7，1），（5，5），（1，7）所以此时|x|可能取的数值为：7，5，1当|x|=7时，7x8，或7x6，|y|=1，1y0，或1y2，围成的区域是4个单位正方形；当|x|=5时，5x6，或5x4；|y|=5，5y4，5y6，围成的区域是4个单位正方形；当|x|=1时，1x0，或1x2，|y|=7，7y6，或7y8，围成的区域是4个单位正方形所以总面积是：12故答案是12三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知函数f（x）=sin2xcos2x，（xr）（1）当x，时，求函数f（x）的最小值和最大值；（2）设abc的内角a，b，c的对应边分别为a，b，c，且c=，f（c）=0，若向量=（1，sina）与向量=（2，sinb）共线，求a，b的值【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式，根据变量x的取值范围可求出最小值和最大值；（2）根据c的范围和f（c）=0可求出角c的值，再根据两个向量共线的性质可得sinb2sina=0，再由正弦定理可得b=2a，最后再由余弦定理得到a与b的等式，解方程组可求出a，b的值【解答】解：（1）函数f（x）=sin2xcos2x=sin2xcos2x1=sin（2x）1，x，2x，则sin（2x），1函数f（x）的最小值为1和最大值0；（2）f（c）=sin（2c）1=0，即 sin（2c）=1，又0c，2c，2c=，c=向量=（1，sina）与=（2，sinb）共线，sinb2sina=0由正弦定理，得 b=2a，c=，由余弦定理得3=a2+b22abcos，解方程组，得 a=1，b=218为积极配合深圳2011年第26届世界大运会志愿者招募工作，某大学数学学院拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队，经过初步选定，2名男同学，4名女同学共6名同学成为候选人，每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的（1）求当选的4名同学中恰有1名男同学的概率；（2）求当选的4明天同学中至少有3名女同学的概率【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件是从6名学生中选出4名，共有15种结果，满足条件的事件是当选的4名同学中恰有1名男同学，即包括1男3女，共有8种结果，得到概率（2）本题是一个等可能事件的概率，所有事件是从6名学生中选出4名，共有15种结果，满足条件的事件是当选的4名同学中至少有3名女同学，包括两种情况：3女一男；4女，这两种情况是互斥的，即可得到概率【解答】解：（1）将2名男同学和4名女同学分别编号为1，2，3，4，5，6（其中1，2是男同学，3，4，5，6是女同学），该学院6名同学中有4名当选的情况有（1，2，3，4），（1，2，3，5），（1，2，3，6），（1，2，4，5），（1，2，4，6），（1，2，5，6），（1，3，4，5），（1，3，4，6），（1，3，5，6），（1，4，5，6），（2，3，4，5），（2，3，4，6），（2，3，5，6），（2，4，5，6），（3，4，5，6），共15种，当选的4名同学中恰有1名男同学的情况有（1，3，4，5），（1，3，4，6），（1，3，5，6），（1，4，5，6），（2，3，4，5），（2，3，4，6），（2，3，5，6），（2，4，5，6），共8种，故当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为p（a）=（2）当选的4名同学中至少有3名女同学包括3名女同学当选（恰有1名男同学当选），4名女同学当选这两种情况，而4名女同学当选的情况只有（3，4，5，6），则其概率为p（b）=，又当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为p（a）=，故当选的4名同学中至少有3名女同学的概率为p=p（a）+p（b）=19如图，在长方形abcd中，ab=2，ad=1，e为dc的中点，现将dae沿ae折起，使平面dae平面abce，连接db，dc，be（）求证：be平面ade；（）求点a到平面bde的距离【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定【分析】（）由勾股定理得aebe，由等腰三角形的性质得mdae，由面面垂直的性质得md平面abce，由此能证明be平面ade（）利用等体积法，求点a到平面d1bc的距离【解答】（）证明：在长方形abcd中，ab=2，ad=1，e为dc的中点，ae=eb=，ab=2，ab2=ae2+be2，aebe，取ae的中点m，连接md，则ad=de，mdae，平面dae平面abce，md平面abce，mdbe，mdae=m，be平面ade（）由（）可知be平面ade，可得：vdabe=vbade，hd表示d到底面abe的距离h为所求的距离=，=，=，解得：h=1点a到平面bde的距离为120设椭圆c： +=1（ab0）过点m（，1），且焦点为f1（，0）（）求椭圆c的方程；（）当过点p（4，0）的动直线l与椭圆c相交于两不同点a，b时，在线段ab上取点q，满足=，证明：点q总在某定直线上【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由椭圆过点m（，1），且焦点为f1（，0），列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆c的方程（2）设点q（x，y），a（x1，y1），b（x2，y2），设=，（0，1），利用点差法能证明点q总在直线上【解答】解：（1）椭圆c： +=1（ab0）过点m（，1），且焦点为f1（，0），由题意，解得a2=4，b2=2，所求的椭圆c的方程为（2）设点q（x，y），a（x1，y1），b（x2，y2），由题设，|、|、|、|均不为0，且满足=，又p、a、q、b四点共线，设=，（0，1），a（x1，y1），b（x2，y2）在椭圆上，将分别代入c的方程，整理得：（x2+2y24）28（x1）+12=0，（x2+2y24）2+8（x1）+12=0，由，得8（x1）=0，0，x1=0，即点q（x，y）总在直线x1=0上21设函数f（x）=+lnx，g（x）=x3x23，其中ar（）当a=2时，求曲线y=f（x）在点p（1，f（1）处的切线方程；（）若存在x0，2，使得g（x）m成立，求实数m的最大值；（）若对任意s、t，2都有f（s）g（t），求a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求出函数的导数，计算f（1），f（1）的值，代入切线方程即可；（）求出g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出g（x）的最大值即m的最大值；（）问题转化为对任意s、t，2都有f（s）ming（t）max，通过讨论a的范围分别求出f（s）min和g（t）max，解不等式取并集即可【解答】解：（）a=2时，f（x）=+lnx，定义域是（0，+），f（x）=，f（1）=2，f（1）=1，切线方程是y2=（x1），即x+y3=0；（）g（x）=x3x23，g（x）=x（3x2），x0，2，令g（x）0，解得：x，令g（x）0，解得：x，g（x）在0，递减，在，2递增，g（0）=3，g（2）=1，g（x）max=g（1）=1，若存在x0，2，使得g（x）m成立，只需g（x）maxm成立即可，故m的最大值是1；（）若对任意s、t，2都有f（s）g（t），只需若对任意s、t，2都有f（s）ming（t）max，由（）得：g（t）在，）递减，在（，2递增，g（t）max=g（2）=1，f（s）=+lns，f（s）=，a时，f（s）0，f（s）在，2递增，f（s）min=f（）=2a+ln1，解得：a（1+ln2），无解；a2时，令f（s）0，解得：sa，令f（s）0，解得：saf（s）在，a）递减，在（a，2递增，f（s）min=f（a）=1+lna1，解得：a1，1a2；a2时，f（s）0，f（s）在，2递减，f（s）min=f（2）=+ln21，解得：a22ln2，a2，综上，a1四、选考题（请考生从22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：几何证明选讲22选修41：几何证明选讲如图，abc内接于o，ab是o的直径，pa是过点a的直线，且pac=abc（） 求证：pa是