重庆市高三数学下学期第二次月考试题 理（含解析）.doc

2017重庆高2017级高三下期第二次月考数 学 试 题 卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案填涂在答题卡的相应位置。1. 已知，则（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】因为，所以，应选答案b。2. 已知，则的共轭复数的虚部为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】因为，所以，应选答案c。3. 已知，且满足，则（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】因为，且，所以sin=35，cos=1sin2=45，则sinc+cos=35+45=15，应选答案c。4. 已知a0且a1,x0,+，命题p：若a1且x1，则logax0，在命题p、p的逆命题、p的否命题、p的逆否命题、p这5个命题中，真命题的个数为（ ）a. 1 b. 2 c. 3 d. 4【答案】b【解析】由对数的单调性可知：当a1且x1时，logax0，故命题p是真命题；由命题与逆否命题的等价性可知命题p的逆否命题也是真命题。其它三个命题中，逆命题不真，否命题也是错误的，命题p也是不正确的，应选答案b。5. 春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率为，鼻炎发作且感冒的概率为，则此人鼻炎发作的条件下，他感冒的概率为（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】设感冒、鼻炎发作的概率分别是p(a),p(b)，鼻炎发作的条件下，感冒发作的概率是p(a|b)，则p(a|b)=p(ab)p(b)=0.60.8=0.75，应选答案d。点睛：条件概率是在一定条件下某事件发生的概率，这意味着事件的发生的前提的作用是不可忽视的，同时也强调了某事件的发生对另一事件发生的影响。这类问题的求解除了运用公式p(a|b)=p(ab)p(b)求解之外，也可以使用定义进行求解。6. 某三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是一个等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）a. b. c. d. 556【答案】a【解析】如图，从题设中提供的三视图可以看出这是一个底面是等腰直角三角形abc的三棱锥，其中paac,paab,abbc，故bcpb，取pc的中点为o，连oa,ob，则oa=ob=op=oc，故o为三棱锥pabc，的外接球的球心，则外接球的半径r=12pc=121+4=125，所以外接球的表面面积是s=4r2=4145=5，应选答案a。7. 执行如图所示的程序框图,则输出m=（ ）a. b. 2.5 c. 2.625 d. 2.75【答案】d【解析】从题设中提供的算法流程图可以看出：当a=2,b=3,m=12(2+3)=2.5时，f(a)=lg2+230,f(m)=lg2.50.5=lg2.5100，故a=m=2.5；此时a=2.5,b=3,|ab|=0.5=d，所以a=2.5,b=3,m=12(2.5+3)=2.75，又f(a)=lg2.50.50 ，则f(a)f(m)0，故b=m=2.75；此时a=2.5,b=2.75,|ab|=0.25d，所以输出m=2.75，运算程序结束，应选答案d。8. 在平面四边形abcd中，已知ab=cd=2，ad=1，bc=3，且bad+bcd=1800，则abc的外接圆的面积为（ ）a. 134 b. 94 c. 54 d. 73【答案】d【解析】由题设条件可知四边形abcd的外接圆与abc的外接圆是同一个圆，设bad=，则bcd=，所以bd2=1+44cos=4+912cos()，即16cos=8cos=12，所以db=3,=23，由正弦定理可得2r=7sin23r=73，所以abc的外接圆的面积是s=r2=73，应选答案d。9. （原创）将大小形状相同的3个黄球和5个黑球放入如图所示的的十宫格中，每格至多放一个，要求相邻方格的小球不同色（有公共边的两个方格为相邻），如果同色球不加以区分，则所有不同的放法种数为（ ）a. b. 36 c. 24 d. 20【答案】d【解析】如图，设黄球、黑球分别是a,b，则在十宫格中的排放格式分别有如下两种：，而每一种情形均有25=10种情形，故所有不同的排法种数为210=20，应选答案d。10. 已知正三棱锥的侧棱长为，若二面角的余弦值为1313，则三棱锥pabc的体积为（ ）a. 34 b. 223 c. 233 d. 263【答案】a【解析】如图，设正底面三角形的边长为a，则om=1332a=36a,pm=414a2，故36a=113414a2a=3，又cosomp=1313sinomp=2313，故tanomp=23，即poom=23po=3，所以三棱锥pabc的体积v=133433=34，应选答案a。点睛：解答本题的关键是借助题设中的二面角的余弦值，运用定义找出二面角的平面角，然后运用直角三角形中三角函数的定义求出，建立方程，进而确定，即，最后运用三棱锥的体积公式求三棱锥的体积而获解。11. （原创）焦点在x轴上的双曲线c1的离心率为e1，焦点在y轴上的双曲线c2的离心率为e2，已知c1与c2具有相同的渐近线，当e12+4e22取最小值时，e1的值为（ ）a. 1 b. 62 c. 3 d. 2【答案】c【解析】设双曲线的方程分别为c1:x2a12y2b12=1，c2:y2a22x2b22=1，由题设a2b2=b1a2，则e1=1+b12a12，e2=1+b22a22，由此可得(e121)(e221)=1，即e12e22=e12+e22，故e22=e12e121，所以e12+4e22=e12+e12e121=5+e121+4e1219（当且仅当e121=4e121取等号），即e121=2e1=3时取等号，应选答案c。点睛：本题以双曲线为背景，旨在考查基本不等式求解最值及运用。解答本题的关键是借助题设中的渐近线相同建立两个双曲线的离心率之间的等量关系e12e22=e12+e22，进而求出e22=e12e121，则e12+4e22=e12+e12e121=5+e121+4e121，然后巧妙运用基本不等式求出e12+4e22取最小值时e121=2e1=3，从而使得问题获解。12. 定义在r上的函数fx的导函数为fx，且fx+xfxxfx对xr恒成立，则（ ）a. 2ef2f1 c. f10 d. f10【答案】a【解析】构造函数f(x)=xf(x)ex，因f(x)=exf(x)+xf(x)xexf(x)(ex)2=f(x)+xf(x)xf(x)ex1，所以f(2)f(1)2f(2)e2f(1)e1，即2f(2)ef(1)应选答案a。点睛：解答本题的难点所在是如何依据题设条件构造出符合条件的函数f(x)=xf(x)ex，这里要求解题者具有较深的观察力和扎实的基本功。求解时构造出函数f(x)=xf(x)ex，再运用求导法则求出其导数，借助导数与函数单调性之间的关系及题设中fx+xfx1时， f(2)f(1)2f(2)e20，即ab0，而(ax+2bx)8的展开式中的通项为tr+1=c8r(ax)8r(2bx)r=c8ra8r(2b)rx82r，令82r=0r=4可得展开式中的常数项是t4+1=16c84a4b4，因为|a+2b|28ab，所以0ab12，则0t4+1=16c84a4b4c84，即0t4+170，应填答案(0,70。16. 已知曲线c1的方程为x2+y2=1，过平面上一点p1作c1的两条切线，切点分别为a1,b1,且满足a1p1b1=3,记p1的轨迹为c2，过一点p2作c2的两条切线，切点分别为a2、 b2满足a2p2b2=3,记p2的轨迹为c3，按上述规律一直进行下去，记an=|anan+1|max且sn为数列1an的前n项和，则满足|sn23|1100的最小的n是_。【答案】7【解析】由题设可知轨迹c1,c2,c3,cn分别是半径为1,2,4,8,16,32,2n的圆，故由题设a1=1+2=3,a2=2+4=6,a3=4+8=12,a4=8+16=24,an=2n1+2n=32n1，则sn=13(1+12+122+12n1)=231(12)n，所以|sn23|=132n1100，故最小的正整数n=7，应填答案7。点睛：解答本题的关键是归纳出数列an的各项分别为a1=3,a2=6,a3=12,a4=24,an=2n1+2n=32n1，进而运用等比数列的求和公式求出sn=13(1+12+122+12n1)=231(12)n，最后借助题设中的不等式|sn23|=132n1100，求出满足该不等式的最小正整数，从而使得问题获解。三解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. 已知函数fx=4cosx2sinx31。（1）求fx的最小正周期和单调递增区间；（2）已知abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c，且三边长a,b,c成等差数列，求fb的取值范围。【答案】(1) fx的最小正周期为，fx的单调递增区间为k+6,k+23kz；(2) fb2,1.【解析】【试题分析】（1）先运用两角和差的计算公式及诱导公式展开，再运用二倍角的正弦、余弦公式将其化为y=-2sin2x+6，最后借助周期公式求出最小正周期fx的最小正周期为及正弦函数的单调区间建立不等式求得fx的单调递增区间为k+6,k+23kz；（2）先借助题设条件a+c=2b，运用基本不等式、余弦定理求出cosb=4a2+4c2-a+c28ac=3a2+3c2-2ac8ac6ac-2ac8ac=12，确定0b3；再由（1）的结论建立函数fb= -2sin2b+6，依据0b3求出其范围：(1)由题fx=4sinx12sinx-32cosx-1=2sin2x-23sinxcosx-1=-3sin2x-cos2x=-2sin2x+6， 因此fx的最小正周期为。由2x+62k+2,2k+32得xk+6,k+23kz，所以fx的单调递增区间为k+6,k+23kz； (2)由题a+c=2b，故cosb=4a2+4c2-a+c28ac=3a2+3c2-2ac8ac6ac-2ac8ac=12， 且0b，故00),即。对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：i=16lnyi7532461831014（1）根据所给数据，求y关于x的回归方程；（2）规定当产品的年销售量y（吨）与年宣传费x（万元）的比值在区间(e9,e7)内时认为该年效益良好。现从这6年中任选3年，记其中选到效益良好年的数量为，试求随机变量的分布列和期望。（其中e为自然对数的底数，e=2.71828）附：对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),(un,vn)，其回归直线v=u+中的斜率和截距的最小二乘估计分别为=i=1n(uivi)n(uv)i=1nui2n(u)2,=vu【答案】(1) y=ex；(2)见解析.【解析】【试题分析】（1）先运用转化的思想对y=axb,(a,b0)两边取对数得lny=lna+blnx，再换元令ui=lnxi,vi=lnyi得v=lna+bu，借助题设中给的数据，求得：u=24.66=4.1,v=18.36=3.05， 进而算得i=16(uivi)=i=16(lnxilnyi)=75.3，i=16ui2=i=16(lnxi)2=101.4，于是b=i=1n(uivi)-n(uv)i=1nui2-n(u)2=75.3-64.13.05101.4-6(4.1)2=0.270.54=12，lna=v-bu=3.05-124.1=1，得a=e，故所求回归方程为。（2）先借助题设条件yx=ex(e9,e7)x(49,81)，于是求出x=58,68,78，即6年中有三年是“效益良好年”，借助=0,1,2,3求得p(=0)=c30c33c63=120;p(=1)=c31c32c63=920，p(=2)=c32c31c63=920;p(=3)=c33c30c63=120，从而求出分布列和数学期望：（1）对y=axb,(a,b0)两边取对数得lny=lna+blnx，令ui=lnxi,vi=lnyi得v=lna+bu，由题给数据，得：u=24.66=4.1,v=18.36=3.05， 2分i=16(uivi)=i=16(lnxilnyi)=75.3，i=16ui2=i=16(lnxi)2=101.4，于是b=i=1n(uivi)-n(uv)i=1nui2-n(u)2=75.3-64.13.05101.4-6(4.1)2=0.270.54=12，lna=v-bu=3.05-124.1=1，得a=e，故所求回归方程为。（2）由yx=ex(e9,e7)x(49,81)，于是x=58,68,78，即6年中有三年是“效益良好年”，=0,1,2,3，由题得p(=0)=c30c33c63=120;p(=1)=c31c32c63=920，p(=2)=c32c31c63=920;p(=3)=c33c30c63=120所以的分布列如表所示，且 e()=32。19. （原创）如图，三棱锥oabc中，且，点分别是的中点，h为ef的中点，过ef的动平面与线段交于点，与线段的延长线分别相交于点（）证明：b1c1平面oah；（）当时，求二面角的正弦值。【答案】(1)见解析；(2) 154.【解析】【试题分析】（1）先ef平面oah,再证明ef/b1c1；（2）先建立空间直角坐标系，借助题设条件，运用向量的坐标运算及数量积公式待定出oa1=32，再运用平面的法向量及向量的数量积公式求出二面角aa1ef的正弦值：（1）证明：连结，显然，由题易知，而为ef中点，故，下证明：，又，于是得证b1c1平面oah； （2）如图，取的中点,以为轴建立空间直角坐标系，由题得a(0,0,2),b(1,3,0),c(-1,3,0),e(12,32,1),f(-12,32,1),设oa1=h,h(1,2)，则a1(0,0,h)，bb1=2h-2ob1=2hb1(h,3h,0)，由于a1,e,b1三点共线，于是，因此a1(0,0，32)，易求得面aa1e的法向量为，面的法向量为n2=(0,1,3)，设二面角a-a1e-f的平面角为，于是cos=n1n2n1n2=14，则 sin=154.点睛：立体几何问题是高考试题中的常见题型之一，也是高中数学教材中的重要内容之一，这类问题的设置常常有两类问题：其一是线面位置关系的推证问题，这类问题的求解要借助判定定理，及转化与化归的数学思想进行推证；第二类问题就是角度距离的计算问题，这类问题的求解可以通过解三角形，也可以借助空间向量的有关知识进行求解。20. 已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，椭圆c和抛物线y2=x交于m,n两点，且直线mn恰好通过椭圆c的右焦点f，（1）求椭圆c的标准方程；（2）经过f的直线和椭圆c交于a,b两点,交抛物线于c,d两点，p是抛物线的焦点，是否存在直线，使得socd=97spab,若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。【答案】(1) x28+y24=1；(2) 存在直线：y=x2或者y=x+2满足条件.【解析】【试题分析】（1）先借助题设条件求出交点坐标m(c,c),再代入椭圆方程与离心率联立方程组求解；（2）先建立直线为y=k(x-2)，再与椭圆方程联立方程组x28+y24=1y=k(x-2)1+2k2x2-8k2x+8k2-8=0，借助题设条件求得cdab=98，运用弦长公式求出弦长建立方程1+k21+8k2k2421+k21+2k2=981+2k21+8k2k21+k2=92，进而求出直线的斜率k=1：（1）由ca=22知，可设a=2,c=2,b=2，其中0由已知m(c,c)，代入椭圆中得：c2a2+cb2=1即12+222=1，解得=2从而a=22,b=2,c=2，故椭圆方程为x28+y24=1 （2）易知，直线的斜率存在。设直线为y=k(x-2)，ax1,y1，bx2,y2，cx3,y3，dx4,y4。由条件知p14,0，f2,0。socdspab=socd78soab=8socd7soab=8cd7ab=97，故cdab=98。由x28+y24=1y=k(x-2)1+2k2x2-8k2x+8k2-8=020，x1+x2=8k21+2k2,x1x2=8k2-81+2k2 ab=1+k2x1-x2=421+k21+2k2y=k(x-2)y2=xk2x2-(4k2+1)x+4k2=010x3+x4=4k2+1k2,x3x4=4 cd=1+k2x3-x4=1+k21+8k2k2cdab=981+k21+8k2k2421+k21+2k2=981+2k21+8k2k21+k2=9281k41+k2=21+2k221+8k217k6+9k4-24k2-2=0k2-117k4+26k2+2=0k2=1k=1。存在直线：y=x-2或者y=-x+2满足条件。21. （原创）已知函数fx=x2cx+blnax，其中c,b,ar，且a0。（1）当c=3,b=1时，求函数fx的单调区间；（2）设a=1，若存在极大值，且对于c的一切可能取值，f(x)的极大值均小于0，求b的取值范围。【答案】(1)见解析；(2) 0b0，再借助方程的判别式=c2-8b0，确定方程fx=0有两个实数根，进而借助函数的单调性确定极大值gc=c2-4b-cc2-8b-8+blnc-c2-8b4e0，显然=c2-8b0。设fx=0的两根为，则当或时fx0，当时fx0，故f极大x只可能是fx1=x12-cx1+blnx1，且，知c,br+。又fx1=0，故cx1=2x12+b，且x1=c-c2-8b4，从而fx1=c2-4b-cc2-8b-8+blnc-c2-8b4e0。令gc=fx1，则gc=-182c-c2-8b+c2c2c2-8b+b1-2c2c2-8bc-c2-8b=c2-8b-c40，故gc在8b,+单减，从而gc0，再借助方程的判别式=c2-8b0，确定方程fx=0有两个实数根，进而借助函数的单调性确定极大值gc=c2-4b-cc2-8b-8+blnc-c2-8b4e0，进而借助导数求出gc=c2-4b-cc2-8b-8+