核心素养【教学设计】《28.doc

28.1锐角三角函数教学模式介绍：数学的核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析这些数学学科素养既相对独立，又互相交融，是一个有机的整体核心素养下的教学设计是利用设计好的核心问题在课堂中培养学生的数学核心素质，重视学生在学习活动中的主体地位，让学生在积极参与学习活动的过程中得到发展教师创设情境设计问题，或通过富有启发性的讲授，或引导学生独立思考、自主探索、合作交流，组织学生操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证等，有效地启发学生思考，使学生成为学习的主体，学会学习课堂教学中，要注重让学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能，让学生感悟数学思想，积累数学活动经验，在学习数学和应用数学的过程中，发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养，让学生能与他人建立良好关系，有效地管理自己的学习、生活，能够发掘自身潜力，战胜学习数学中的困难，让学生能够适应未来社会、进行终身学习，实现全面发展设计思路说明： 本节课从情境问题引入新知，在解决问题过程中，通过讨论30和45锐角与其所对的直角边与斜边的比值之间的对应关系，帮助学生形成数学猜想：在一个直角三角形中，如果一个锐角固定，那么这个锐角的对边与斜边的比值也就固定下来，并且不同的锐角对应不同的比值。在类比特殊情况对一般情况进行讨论，即对于对于任意度数的锐角，它的对边与斜边的比值是否是一个固定值。对于任意锐角的正弦函数，利用“相似三角形对应边成比例”探索得出了对应角的对边与斜边的比相等，从而得到在直角三角形中，锐角的度数一定时，这个锐角的对边与斜边的比值是一个固定值，由此可以给出反映锐角的度数与比值之间对应关系的正弦函数的概念。在探究的过程中高，通过实验、猜想、探究、类比、从特殊到一般、应用解决问题的过程中发展学生的数学核心素养。教材分析：本章是在学生已学了一次函数、反比例函数、二次函数以及相似形的基础上进行的，通过这一节课的学习使学生了解锐角三角函数它反映的不是数值与数值的对应关系，而是角度与数值之间的对应关系,这对学生来说是个全新的领域。一方面，这是在学习了直角三角形两锐角关系、勾股定理等知识的基础上，对直角三角形边角关系的进一步深入和拓展；另一方面，又为解直角三角形等知识奠定了基础.第一课时教学目标：（1）了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA表示直角三角形中两边的比能根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值.（2）经历探究锐角三角函数的定义的过程，逐步发现一个锐角的对边与斜边的比值不变的规律，从中体会数学的函数思想.进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想（3）通过学习培养学生的合作意识，通过探究提高学生学习数学的兴趣重点难点：教学重点：正确理解正弦（sinA）概念，会根据直角三角形的边长求一个锐角的正弦值.教学难点：锐角三角函数概念的理解，对于任意一个锐角，它的对边与斜边的比值是固定值.教学过程：【活动一】创设情境，引入新知【问题1】为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉现测得斜坡与水平面所成角的度数是30，为使出水口的高度为35 m，那么需要准备多长的水管？【师生活动】：分析问题转化为在RtABC中，C90，A30，BC35 m，求AB.根据“在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半”，即，可得AB2BC70 m，即需要准备70 m长的水管思考1：如果使出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？思考2：如果使出水口的高度为a m，那么需要准备多长的水管？【学生按与上面相似的过程，自主解决】【结论】：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于.思考3：如图，任意画一个RtABC，使C90，A45，计算A的对边与斜边的比，能得到什么结论？分析：在RtABC中，C90，由于A45，所以RtABC是等腰直角三角形，由勾股定理得AB 2AC 2BC 22BC 2，ABBC，.【结论】：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于.【活动二】类比探究，形成新知从上面这两个问题的结论中可知，在一个RtABC中，C90：当A30时，A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值当A45时，A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值这就引发我们产生这样一个疑问：当A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？【问题2】：任意画RtABC和RtABC，使得CC90，AA，那么与有什么关系？你能解释一下吗？分析：由于CC90，AA，所以RtABCRtABC，则.【结论】：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何改变，A的对边与斜边的比都是一个固定值正弦的概念：在RtABC中，C90，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即sinA.例如，当A30时，sinAsin30 ；当A45时，sinAsin45 . 【注意】：1sinA不是sin与A的乘积，而是一个整体2正弦的三种表示方式：sinA，sin56，sinDEF.3sinA是线段之间的一个比值，sinA没有单位提问：B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？sinB.【活动三】举例应用，巩固新知例1如图，在RtABC中，C90，求sinA和sinB的值解：如图(1)，在RtABC中，由勾股定理得AB5.因此sinA，sinB.如图(2)，在RtABC中，由勾股定理得AC12.因此sinA，sinB.【活动四】练习巩固，应用新知1：根据下图，求sinA和sinB的值 2.判断对错:(1) 如图1：(1) sinA= （ ） (2)sinB= （ ） (3)sinA=0.6m （ ） (4)SinB=0.8 （ ）(2) 如图2：sinA= （ ）3.在RtABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定4.如图， 则 sinA=_ . 5.如图，RtABC中，C=90度，CDAB，图中sinB可由哪两条线段比求得。【师生活动】：教师多媒体出示例题，请同学板演并评讲。【活动五】课堂小结：1.直角三角形中一个锐角的正弦概念；2.会求一个锐角的正弦值。3.直角三角形的性质的补充第二课时教学目标： （1）使学生知道同正弦一样，当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边，对边与邻边的比值也是固定值，理解余弦、正切的概念；能根据余弦、正切的概念正确进行计算.（2）经历探究锐角三角函数的定义的过程，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想（3）通过学习培养学生的合作意识，通过探究提高学生学习数学的兴趣重点难点：教学重点：正确理解余弦、正切概念，会根据直角三角形的边长求一个锐角的余弦值、正切值.教学难点：类比正弦概念，正确理解余弦、正切概念教学过程：【活动一】回顾复习，引入新知1、我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？2、如图，在RtABC中，C90，当锐角A确定时，A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？引出课题：这节课继续探究锐角三角函数.【师生活动】将问题转换为数学问题，一般地，当A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？如图：RtABC和RtABC，C=C =90，A=A=，那么 与有什么关系？分析：由于C=C =90o，A=A所以RtABCRtABC，所以=，即 =【结论】 ：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的邻边与斜边的比也是一个固定值。 【学生活动】: 学生按与上面相似的过程，自主解决一般地，当A取其他一定度数的锐角时，它的对边与邻边的比是否也是一个固定值？【结论】 ：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与邻边的比也是一个固定值。【活动二】类比探究，形成新知从上面这两个问题的结论中可知，在一个RtABC中，C90当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的邻边与斜边的比及对边与邻边的比是一个固定值.【师生活动】：类比正弦，给出余弦和正切的概念我们把A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即 把A的对边与邻边的比叫做A的正切.记作tanA,即对于锐角A的每一个值，sinA有唯一的值和它对应，所以sinA是A的函数，同样地，cosA，tanA也是A的函数.锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数.【注意】： 1、sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。 2、sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值）。 3、sinA、 cosA、tanA的大小只与A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。【活动三】举例应用，巩固新知例1： 如图，在RtABC中，C90，AB =10，BC6，求sinA、cosA、tanA的值 在RtABC中，由勾股定理得： 例2：如图，在RtABC中，C=90，BC=6，sinA= ， 求cosA，tanB的值. 解： 在RtABC中，由勾股定理得：例3： 如图，在RtABC中，C90，cosA ，求sinA、tanA的值解：设AC=15k，则AB=17k所以：【规律方法】 1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的,A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形)；2.sinA,cosA是一个完整的符号,表示A的正弦、余弦,习惯省去“”符号；3.sinA,cosA的大小只与A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.【活动四】练习巩固，应用新知【师生活动】：教师多媒体出示例题，请同学板演并评讲。1、如图,在RtABC中,锐角A的邻边和斜边同时扩大100倍,tanA的值（ ）A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定2、下图中ACB=90，CDAB,垂足为D.指出A和B的对边、邻边. 3. 在ABC中，C90，sinA,则tanB（ ） 4. （丹东中考）如图，小颖利用有一个锐角是30的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ） ABCa5.（东阳中考）如图，为了测量河两岸A.B两点的距离，在与AB垂直的方向点C处测得ACa，ACB，那么AB等于（ ）A.asin B.atan C.acos D.【活动五】课堂小结：1、 我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？2、 我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的余弦的？3、 我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正切的？第三课时教学目标：（1）熟记30，45，60角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数（2）培养学生把实际问题转化为数学问题的能力培养学生观察、比较、分析、概括的能力（3）经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性，感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性，养成科学、严谨的学习态度重点难点：教学重点：30，45，60角的三角函数值教学难点：与特殊角的三角函数值有关的计算教学过程：【活动一】复习巩固，引入新知如图，在RtABC中，C90.(1)a，b，c三者之间的关系是_；(2)sinA_，cosA_，tanA_；sinB_，cosB_，tanB_【问题1】：探索30，45，60角的三角函数值师：观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？生：一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30，60，45，45.师：sin30等于多少呢？你是怎样得到的？与同伴交流生：sin30. sin30表示在直角三角形中，30角的对边与斜边的比值，与直角三角形的大小无关我们不妨设30角所对的边长为a(如图所示)，根据“直角三角形中30角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边长等于2a.根据勾股定理，可知30角的邻边长为a，所以sin30.师：cos30等于多少？tan30呢？生：cos30.tan30.师：我们求出了30角的三个三角函数值，还有两个特殊角45，60，它们的三角函数值分别是多少？你是如何得到的？生：求60角的三角函数值可以利用求30角的三角函数值的三角形因为30角的对边和邻边分别是60角的邻边和对边，利用上图，很容易求得sin60，cos60，tan60.师生共同分析：我们一起来求45角的三角函数值含45角的直角三角形是等腰直角三角形如图，设其中一条直角边为a，则另一条直角边也为a，斜边为a.由此可求得sin45，cos45，tan451.【活动二】类比探究，形成新知：三角函数角度304560sincostan1【问题2】：仔细观察,说说你发现这张表有哪些规律?师：这个表格中的30，45，60角的三角函数值需要熟记另一方面，要能够根据30，45，60角的三角函数值说出相应的锐角的大小第一列，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大简记口诀：1、2、3第二列，余弦值随角度的增大而减小简记口诀：3、2、1师：第三列呢？生：第三列是30，45，60角的正切值，首先45角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan451比较特殊随着角度的增大，正切值也在增大师：可以将，1， 看成为，简记口诀：3、9、27师：观察前三行的分母有什么特点？生：前面的两行分母为2，第三行分母看成3.师：很好，还要注意分子都可以看成是带根号的数，所以可以简记口诀：弦二切三作分母，一顶帽子头上戴.【结论】：1，2，3。 3，2，1。 3，9，27。 弦二切三作分母，一顶帽子头上戴.【问题3】1、你能得出互为余角的两个锐角A、B正切值的关系吗? 2、你能得出一个锐角A的正弦值、余弦值和正切值的关系吗?(2)进一步探究锐角的三角函数值如图，在RtABC中，C90.sinA，cosA，sinB，cosB，sinAcosB，cosAsinB.AB90，B90A，即sinAcosBcos(90A)，cosAsinBsin(90A)任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值学生类比探索：你能得出互为余角的两个锐角A、B正切值的关系吗?【结论】sinA=cos(90-A)；一个锐角的正弦值等于这个角余角的余弦值.cosA=sin(90-A)；一个锐角的余弦值等于这个角余角的正弦值.tanAtan(90-A)=1；一个锐角的正切值与这个角余角的正切值互为倒数.【活动三】举例应用，巩固新知例1计算：（1）cos260sin260 （2）解： （1） cos260sin260 =1（2） =0例2: 如图，在ABC中，A=30度， 求AB。解：过点C作CDAB于点D。A=30度，例3： 在RtABC中，C90， ，求A、B的度数解： 由勾股定理： A=30， B = 90 A = 9030= 60【结论】1.记住30，45 ，60 的特殊值，及推导方式，可以提高计算速度.2.会构造直角三角形，充分利用勾股定理的有关知识结合三角函数灵活运用.【活动四】练习巩固，应用新知1. cos30=（ ）2. 计算 的结果等于（ ） 3.如图，已知梯形ABCD中，ADBC，B=30，C=60，AD=4，AB= ，则下底BC的长为_ 4.计算：【师生活动】：教师多媒体出示例题，请同学板演并评讲。【活动五】课堂小结：1、直角三角形三边的关系.2、直角三角形两锐角的关系.3、直角三角形边与角之间的关系.4、特殊角30,45,60角的三角函数值.5、互余两角之间的三角函