解决与导数有关问题的三个策略[文档资料]

解决与导数有关问题的三个策略 本文档格式为 WORD,感谢你的阅读。 例 1 设点 P 在曲线 y= ex 上，点 Q 在曲线 y=ln 2x上，则 |PQ|的最小值为 A.1-ln 2 B. （ 1-ln 2） C.1+ln 2 D. （ 1+ln 2） 分析 由题意知，两条曲线关于直线 y=x 对称，求出其中一条曲线到直线 y=x 的距离的最小值的 2 倍即可 .要求曲线y= ex 上的点 P 到直线 y=x 的距离的最小值，可以先设出点 P的坐标，运用点到直线 的距离公式求解 .这种方法虽然可行，但是运算量较大 .我们可以利用曲线的切线帮助求解 . 解 由题意知，曲线 y= ex 与 y=ln 2x 关于直线 y=x 对称，且 y = ex 在 R 上单调递增，所以曲线 y= ex 上的点与曲线 y =ln 2x 上的点的最短距离为曲线 y= ex 上的点到直线y=x 的最短距离的 2 倍 .当过点 P 的切线与直线 y=x 平行时，点 P 到直线 y=x 的距离最短 .设点 P 的坐标为（ x0， y0），由y= ex ，得 e =1，即 x0 =ln 2，则点 P 的坐标为（ ln 2，1） . 所以 |PQ|min=2 = （ 1-ln 2） .选 B. 小结 这道设计新颖的试题，主要考查同学们灵活运用数学知识的能力 .灵活转化是解决本题的关键 . 例 2 已知函数 f（ x）满足： f（ x） = f （ 1） ex-1- f（ 0） x+ . （ 1）求 f（ x）的解析式及单调区间 . （ 2）如果 f（ x） x2+ax+b ，求（ a+1） b 的最大值 . 分析 要求出 f （ 1）， f（ 0），求导、赋值是必然的 .令 h（ x） = f（ x） -（ x2+ax+b），由 h （ x） =ex-（ a+1）的符号确 定函数 h（ x）的单调区间 .a+1 的符号影响了 h（ x）的单调性，故对 a+1 的范围进行筛选，选出适合条件的范围，找到极值点，得出 h（ x）的最小值 .由 h（ x）的最小值大于等于 0，得到 a， b 的关系，将问题转化为求关于a+1 的函数的最大值 . 解 （ 1）由 f（ x） = f （ 1） ex-1- f（ 0） x+ ，得 f （ x） = f （ 1） ex-1- f（ 0） +x.令 x=1，将其代入f （ x） = f （ 1） ex-1- f（ 0） +x，可得 f（ 0） =1，则 f（ 0） = f （ 1） e-1=1，得 f （ 1） =e. 所以， f（ x）的解析式为 f（ x） =ex-x+ . 令 g（ x） = f （ x） =ex-1+x，则 g （ x）=ex+10，可知 g（ x） =ex-1+x 在 R 上单调递增 . 于是由 f （ x） f （ 0），得 x0 ；由 f （ x） f （ 0），得 x0，则 h（ x） =ex-（ a+1） x-b在 R 上单调递增 .当 x - 时， h（ x） - ，与 h（ x） 0矛盾 . 当 a+10 时，由 h （ x） 0，可得 xln（ a+1），由h （ x） 0，可得 x0），则 F （ u） =u（ 1-2ln u） . 由 F （ u） 0，可得 0 . 当 u= 时， Fmax（ u） = . 所以，当 a= -1， b= 时，（ a+1） b 取得最大值为 . 小结 筛选法是对某个参数的所有取值范围作一个甄别，筛选出适合题设的范围，进而解决问题，其关键是如何筛选 . 例 3 已知函数 f（ x） =ln（ 1+x） -x， g（ x） =xln x. （ 1）求函数 f（ x）的最大值 . （ 2）设 0 分析 本题主要考查函数最值的求法和利用导数证明不等式 .解决本题的关键是构造函数，用函数求导的知识，结合函数的单调性求解 . （ 1）解：由已知得，函数 f（ x）的定义域为（ -1，+ ）， f （ x） = -1. 令 f （ x） =0，解得 x=0，则当 -1 0 时， f （ x）a，所以 F（ b） 0，即 g（ a） +g（ b） -2g（ ） 0. 设 G（ x） =F（ x） -（ x-a） ln 2，则 G （ x） =ln x-ln -ln 2=ln x-ln（ a+x） . 当 x0 时， G （ x） 0，则 G（ x）在（ 0， + ）上为减函数 .由于 G（ a） =0， ab，所以 G（ b） 0，即 g（ a） +g（ b） -2g（ ） （ b-a） ln 2. 综上可得， 0 g（ a） +g（ b） -2g（ ） （ b-a） ln 2. 小结 构造函数，运用导数研究函数的单调性、证明不等式是近几年高考的热点