（试题 试卷 真题）2014年重庆高考数学（理）

2014年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复平面内表示复数的点位于 （ ）A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限2对任意等比数列,下列说法一定正确的是（ ）A . 成等比数列 B . 成等比数列C . 成等比数列 D . 成等比数列3已知变量与正相关，且由观测数据算得样本的平均数，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A . B . C . D . 4已知向量，且,则实数（ ）A . B . C . D . 5执行题如图所示的程序框图，若输出的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ）A . B . C . D . 开始输出k结束6已知命题对任意，总有；是的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）A . B . C . D . 7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）正视图 左视图 俯视图5432A . 54 B . 60 C . 66 D . 728设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为（ ）A . B . C . D . 39某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则 类节目不相邻的排法种数是（ ）A . 72 B . 120 C . 144 D . 310已知的内角，面积满足所对的边，则下列不等式成立的是（ ）A . B . C . D . 二、填空题11.设全集_.12函数的最小值为_.13已知直线与圆心为的圆相交于两点，且 为等边三角形，则实数_.14过圆外一点作圆的切线（为切点），再作割线，分别交圆于，若，AC=8，BC=9，则AB=_.15已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，正半轴为极轴线与曲线的公共点的极经_.16若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是_.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.17. （本小题13分，（I）小问5分，（II）小问8分）已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.（I）求和的值；（II）若，求的值.18.（本小题满分13分） 一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字 是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片. （1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率; （2）表示所取3张卡片上的数字的中位数，求的分布列（注：若三个数满足 ，则称为这三个数的中位数）.19.（本小题满分12分） 如图（19），四棱锥，底面是以为中心的菱形，底面， ，为上一点，且.（1）求的长；（2）求二面角的正弦值。20.（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问3分，（3）问5分）已知函数的导函数为偶函数，且曲线在点处的切线的斜率为.（1） 确定的值；（2） 若，判断的单调性；（3） 若有极值，求的取值范围.21.如题（21）图，设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，的面积为.（1） 求该椭圆的标准方程；（2） 是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径.22.（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问8分）设.（1） 若，求及数列的通项公式；（2） 若，问：是否存在实数使得?证明你的结论参考答案一、选择题1A【解析】：根据复数的乘法分配律可得，因此该复数在复平面内所对应的坐标为，它在第一象限。【解析】因为,所以它在复平面内对应点（4，1），故此点位于第一象限，应选A。由已知得，,即，所以，故选A。2D【解析】：根据等比数列中等比中项的性质可得，如果数列为等比数列，即若则有【解析】根据等比数列的性质可知若则成等比数列。因为，所以成等比数列，故选D。3A【解析】：根据线性回归方程过定点的特点，代入验证只有A选项的直线过点。【解析】因为回归直线方程一定过样本中心,并且正相关，所以此直线的斜率为正值，逐个代入验证可知过样本中心，并且斜率为正值，满足题意，故选A。4C【解析】【解析】因为所以所以，故选C。5C【解析】：，此时需要不满足条件输出，则输出条件应为。【解析】由框图可知程序执行顺序如下：,此时退出循环体，所以判断框内应填入条件为,故选C。6D【解析】：根据复合命题的判断关系可知，命题为真，命题为假，所以只有为真。【解析】由题意知p为真命题；q为假命题，根据复合命题真假的判断方法可知为真命题，故选D。7B【解析】：由三视图可知，该几何体是由下方的直三棱柱与上方的四棱锥组成的组合体，其中直三棱柱底面为一个边长为3,4,5的直角三角形，高为2，上方的四棱锥是底面边长是3的正方形，一个侧面与直三棱柱的底面重合。此图形共有5个面，底面,竖直的三个面面积分别为，剩下的一个面是一个直角边长为3,5的直角三角形，。所以表面积为【解析】由三视图可知此几何体为如右图所示的几何体，其表面积为,故选B。8B【解析】：根据双曲线的性质不妨设点在右支上，则由题意即【解析】由双曲线的定义可知,所以所以,故选B.9B【解析】：歌舞类节目较多可先排,然后将三个歌舞类节目中间的两个空排满，分成两种情况：第一种，插入的是两个小品类节目，种类为；第二种，插入的是一个小品一个相声，种类为。所以总的种树为【解析】先排小品和相声，再排歌舞，若相声在小品中间，则有种排法；若相声在小品一侧，有，故共有种排法,故选B。10A【解析】：由题目第一个条件可得：由可得：由三角形两边之和大于第三边可得，所以选A【解析】由得，所以所以,所以,即，设此三角形外接圆半径为r,则，所以，故应选A。11【解析】：根据集合的概念求出全集是的整数，通过补集的概念求出，根据交集概念求出结果为【解析】12【解析】：根据对数的运算变型,换元法令,易得最小值为【解析】因为，令,所以当g(t)取得最小值,即f(x)的最小值为.13【解析】：根据直线和圆相交于A，B两点，C是圆心，ABC是等边三角形可知等边三角形边长等于圆C的半径2，所以C到直线的距离即为等边三角形AB边上的高，列出等式,解得。【解析】由圆的几何性质可知圆心C(1,a)到直线ax+y-2=0的距离d等于,据此可得,所以,所以144【解析】：通过弦切角定理找到，易得与相似，解得【解析】由圆的切割线定理可知解之得PB=3,所以PC=12,在三角形PAC中，由余弦定理可得，在三角形PAB中，可得。15【解析】：把直线的参数方程化为一般方程,曲线C化为一般方程为,求出直线与C的交点为（1，2），则16【解析】：通过不等式恒成立可知右边需小于等于左边的最小值，求出的最小值为，解不等式得【解析】令可求出其最小值为,所以原不等式可转化为,即为，解之得,所以a的取值范围为.17【解析】：（）由题意最小正周期为，从而。又图象关于对称，故，而（）由（）得。所以，故，于是18【解析】：（1）由古典概型计算公式可得。（2）的可能值为，由题意，所以的分布列为：从而。19【解析】：（1）法一：连结，因为菱形，则，且以为坐标原点，的方向分别为，的正方向，建立空间直角坐标系。因，则，所以，由知从而即设，因，即：所以，故法二：由题意，面，都为正三角形，且，在中，即，解得。（2）由（1）知，设平面的法向量，平面的法向量由，得得由，得得从而法向量的夹角余弦值故所求二面角的正弦值为。20【解析】：（1）对求导，由为偶函数，知，即，因，所以。又，故。（2） 当时，那么故在R上为增函数。（3） 由（1）知，而当时等号成立。下面分三类情况进行讨论：当时，对任意，此时无极值；当时，对任意，此时无极值；当时，令，注意到方程有两根，即有两根.当时，；又当时，从而在处取得极小值；综上，若有极值，则取值范围为。21【解析】：（1）设，其中，由，得，从而，故， 从而，由得，因此，所以，故，因此，所求椭圆方程为：；（2）设圆心在轴上的圆与椭圆相交，是两个交点，是圆的切线，且，由圆和椭圆的对称性，易知，由（1）知，所以，由得：，由椭圆方程得，即：，解得，或.当时，重合，此时题设要求的圆不存在；当时，过分别与垂直的直线的交点即为圆心，由是圆的切线，且，知，又，故圆的半径22【解析】：（1）解法一:当时，