高中数学 1.3 圆锥截线 1.3.2 圆柱的截线知识导航学案 苏教版选修41.doc

1.3.2 圆柱的截线自主整理1.如果光线由_发出，就得到中心投影(central projection),而由_得到的投影就是平行投影(parallel projection).2.给定一个平面及方向向量a,对于一个点p,过p作直线la,l与平面交于点p,则p就是点p按方向a在平面上的_.若把一个图形（点集）上的每个点都按a的方向投影到平面上,成为平面上的点（象）,所得图形（象集）就是图形在平面上的按a的方向的_.当a时的投影也称为_.3.不与方向向量平行的线段在平面上的投影,是由该线段的两个端点的_所连成的线段.线段上的点分线段的比与它的象分投影所成线段的比_.4.不与方向向量平行的两条平行的线段的平行投影仍为_,平行线段的投影的长度比_原线段的长度比,特别地,当原线段与投影平面平行时,象线段与原线段长度_.5.设平面与圆柱的轴所成的角为.当=90时,平面截圆柱所得的截线为_;当090时,平面截圆柱所得的截线为_,该椭圆的长轴长a1a2=2a=_,焦距f1f2=2c=_，离心率e=_.高手笔记1.平行投影的性质（1）直线或线段的平行射影仍是直线或线段;（2）平行直线的平行射影是平行或重合的直线；（3）平行于投射面的线段,它的射影与这条线段平行且等长;（4）与投射面平行的平面图形,它的射影与这个图形全等;（5）在同一直线或平行直线上,两条线段平行射影的比等于这两条线段长度的比.图1.3-152.如图1.3-15,ab、cd是两个等圆的直径,abcd,ad、bc与两圆相切,作两圆的公切线ef,切点分别为f1、f2,交ba、dc的延长线于e、f,交ad于g1,交bc于g2,设ef与bc、cd的夹角分别为、,则有如下结论:（1）g2f1+g2f2=ad;（2）g1g2=ad;（3）=cos=sin.证明:根据切线长定理有g2f1=g2b,g2f2=g2c,g2f1+g2f2=g2b+g2c=bc=ad.又g1g2=g1f2+f2g2,由切线长定理知g1f2=g1d,f2g2=g2c,g1g2=g1d+g2c.连结f1o1,f2o2,容易证明ef1o1ff2o2.eo1=fo2.又o1a=o2c,ea=fc.于是可证得fcg2eag1.g1a=g2c.g1g2=g1d+g1a=ad.在rtg2eb中,cos=,g2f1=g2ecos.又=90-,g2f1=g2ecos=g2esin.由此得到结论:（1）g2f1+g2f2=ad;（2）g1g2=ad;（3）=cos=sin.3.用一个平面去截一个圆柱,当平面与圆柱的两底面平行时,截面是一个圆;当平面与圆柱的两底面不平行时,截面是一个椭圆.图1.3-16证明:如图1.3-16,由上面的结论,当p与g2重合时,有g2f1+g2f2=ad.当点p不在端点时,连结pf1、pf2,则pf1、pf2分别是两个球面的切线,切点为k1、k2,根据切线长定理的空间推广,知pf1=pk1,pf2=pk2,所以,pf1+pf2=pk1+pk2=ad.由于ad是定值,故点p的轨迹是椭圆.名师解惑1.平行投影与中心投影的区别是什么？剖析:（1）平行投影的投影线相互平行,中心投影的投影线延长后交于同一点;（2）原图形中的平行线段经过平行投影得到的图形中仍然平行（或重合）,但经过中心投影得到的图形中不一定平行;（3）平行投影不改变两线段的比例关系,中心投影改变两线段的比例关系.2.用一个平面去截一个圆柱,当平面与圆柱的两底面不平行时,截面是一个椭圆,那么如何确定该椭圆的准线呢?剖析:如图1.3-17,设球o1、o2与圆柱的交线（圆）所在的平面分别为、,椭圆所在的斜截面与它们的交线分别为l1、l2,、与所成的二面角均为,母线与平面的交角为.由于、都是确定的,因此交线l2、l2也是确定的.这样,我们就有理由猜想椭圆上的点与l1、l2有一定的关系.图1.3-17我们还是从特殊情况开始探究这种关系.由笔记高手第2条知,对于椭圆的长轴端点g2,有=cos=定值.当点p在椭圆的任意位置时,过p作l1的垂线,垂足为q,过p作平面的垂线,垂足为k1,连结k1q,得rtpk1q,则qpk1=.从而有=cos=定值.所以,椭圆上任意一点到焦点f1的距离与到直线l1的距离之比为定值cos.我们把直线l1叫做椭圆的一条准线.同理,椭圆上任意一点到焦点f2的距离与到直线l2的距离之比也为定值cos,所以l2是椭圆的另一条准线.讲练互动【例1】设平面与圆柱的轴的夹角为（090）,则平面与圆柱面的截线椭圆的离心率e=_.分析：利用结论:当090时,截线椭圆的离心率e=cos.答案：cos.绿色通道 公式e=cos反映了平面的倾斜程度和所截得椭圆的扁圆程度的关系.变式训练1.设平面与圆柱的轴的夹角为60,则平面与圆柱面的截线椭圆的离心率e=_.解:e=cos=cos60=.【例2】设平面与底面半径为r的圆柱的轴的夹角为（090）,求平面与圆柱面的截线椭圆的长半轴a,短半轴b,半焦距c的大小.分析：利用b=r,e=cos及b2+c2=a2等关系求解a、b、c.解：圆柱的底面半径恰好是椭圆的短半轴b=r,又e=cos=,即有cos2=,得a2=,a=.由c=acos得c=,a=,b=r,c=.绿色通道 当已知圆柱的底面半径及平面与圆柱轴的夹角时,平