高中数学 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.3 空间中的垂直关系（1）学案 新人教B版必修2.doc

第一章1.2.3空间中的垂直关系第一课时1通过直观感知、操作确认，归纳出空间中线面垂直的相关定理、推论和性质2掌握直线与平面垂直的判定定理和性质，并能利用以上定理和性质解决空间中的相关垂直性问题1直线与平面垂直的定义及性质定义及符号表示图形语言及画法有关名称重要结论如果一条直线(ab)和一个平面()相交于点o，并且和这个平面内过交点(o)的_，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作_.把直线ab画成和表示平面的平行四边形的一边_.直线ab：平面的_；平面：直线ab的_；点o：_；线段ao：点a到平面的_；线段ao的长：点a到平面的_.如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的_直线垂直.【做一做1】如果一条直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面的位置关系为()a平行 b相交 c垂直 d不确定2直线与平面垂直的判定定理与推论(1)判定定理：如果一条直线与平面内的_直线垂直，则这条直线与这个平面垂直(2)推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线_这个平面推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线_利用定义来判断直线与平面垂直是不方便的，因为“任意一条直线”是不方便研究的，因此根据确定平面的条件，找到两条相交直线便可确定一个平面，这样易于判断直线和平面垂直【做一做21】在正方体abcda1b1c1d1中，与ad1垂直的平面是()a平面dd1c1c b平面a1dcb1c平面a1b1c1d1 d平面a1db【做一做22】已知是平面，a，b是直线，且ab，a平面，则b与平面的位置关系是()ab平面 bb平面cb平面 db与平面相交但不垂直1对直线与平面垂直的理解剖析：(1)定义中的“任何直线”是说这条直线和平面内所有过交点的直线垂直(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式(3)如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直，如若a，b，则ab.简述之，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法2若一条直线垂直于平面内的无数条直线，探讨这条直线与平面的关系剖析：给出平面内的一条直线a，在该平面内与直线a平行的直线有无数条，所有与a垂直的直线，必与a的平行线垂直，却不一定与平面垂直如图所示，直线b1c1与平面ac内的直线ab垂直，且在平面ac内与ab平行的所有直线都与b1c1垂直，但直线b1c1平面ac因此以下两个命题均是错误的，需要引起重视命题：如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面；命题：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面3教材中的“思考与讨论”(1)垂直于同一条直线的两个平面是否平行？为什么？(2)如何定义两平行平面的距离？剖析：(1)垂直于同一条直线的两个平面平行已知：aa，aa，求证：.证明：如图所示，设经过直线aa的两个平面，分别与平面，相交于直线b，b和a，a.aa，aa，aaa，aaa.aa，a，a都在平面内，由平面几何知识：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行aa，a(线面平行的判定定理)同理b.又aba，.(2)我们可以这样定义两平行平面的距离由问题(1)可知，对于两个平行的平面，一定存在着与它们都垂直的直线，设为l，这样的直线l称为两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫做这两个平行平面的公垂线段，如图所示，如果aa，bb都是平面与的公垂线段，那么aabb.根据两个平面平行的性质定理，有abab，所以四边形aabb是平行四边形，故aabb.由此我们得到，两个平行平面的公垂线段都相等因此，我们可以把公垂线段的长度定义为两个平行平面间的距离题型一 线面垂直的判定定理的应用【例1】如图，在正方体abcda1b1c1d1中，p是dd1的中点，o是底面abcd的中心，求证：b1o平面pac分析：要证b1o平面pac，根据直线和平面垂直的判定定理，只需证b1o垂直于平面pac内两条相交直线反思：(1)正方体是最常见的几何体，正方体的面、棱、对角线等几何元素有着各种特殊的位置关系，它是研究直线和平面关系最为简单的模型之一本题抓住了特殊几何体正方体及特殊点p的位置关系，运用勾股定理的逆定理，通过计算证明了直线和直线垂直，再根据直线和平面垂直的判定定理证明了直线和平面垂直(2)证明直线与平面垂直时，一定要证明直线和平面内的两条相交直线垂直，如果没有考虑相交的情况就可能把本来不垂直的情况证明成垂直的，得到错误的结论题型二 线面垂直性质的应用【例2】如图所示，已知矩形abcd，过a作sa平面ac，再过a作aesb于点e，过e作efsc于点f.(1)求证：afsc；(2)若平面aef交sd于点g，求证：agsd分析：线线垂直通常由线面垂直来证反思：线面垂直和线线垂直在推理中是经常加以转化的，证线线垂直的常用思路为：题型三 有关平行、垂直的综合问题【例3】如图，在多面体abcdef中，四边形abcd是正方形，ab2ef2，efab，effb，bfc90，bffc，h为bc的中点(1)求证：fh平面edb；(2)求证：ac平面edb；(3)求四面体bdef的体积分析：(1)证明e与底面中心g的连线和fh平行即可；(2)先证fh是平面abcd的垂线，再说明acbd与aceg即可得证；(3)关键是抓住四面体的高bf，再运用体积公式求解反思：有关平行、垂直的综合问题，关键要理清几何体的有关线段长度及位置关系，然后再根据目标逐一寻找关键要素，如(1)问中关键是求一平行线，(2)问中关键在于连续使用线面垂直进行过渡，(3)问中的关键是找准高题型四 易错辨析【例4】已知：线段ab的中点为o，o平面.求证：a，b两点到平面的距离相等错解：如图所示，过点a，b作平面的垂线，垂足分别为a1，b1，则aa1，bb1分别是点a，b到平面的距离又在rtaoa1和rtbob1中，aobo，b1obaoa1，rtaoa1rtbob1，aa1bb1，即a，b两点到平面的距离相等错因分析：一是忽略了ab的情况说明，二是认为aoa1和bob1为对顶角而相等，其实应说明b1，o，a1共线才行1将直线与平面垂直的判定定理“如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面”用集合符号语言表示为()am，mnb，ln，lmlbm，n，mnb，lm，lnlcm，n，mnbln，lm，ldm，n，lm，lnl2一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()a平行 b垂直c相交不垂直 d不确定3下列命题：平行于同一平面的两直线平行；垂直于同一平面的两直线平行；平行于同一直线的两平面平行；垂直于同一直线的两平面平行其中正确的有()a和 b和c和 d和4如图所示，ab是o的直径，pa平面o，c为圆周上一点，ab5 cm，ac2 cm，则b到平面pac的距离为_5如图，已知平面，且ab，pc，pd，c，d是垂足求证：ab平面pcd答案：基础知识梳理1任何直线都垂直ab垂直垂线垂面垂足垂线段距离任意一条【做一做1】d2(1)两条相交(2)也垂直于平行【做一做21】b由直线与平面垂直的判定定理可以证明与ad1垂直的平面是平面a1dcb1.【做一做22】b典型例题领悟【例1】证明：在正方体abcda1b1c1d1中，设其棱长为2a，因为b1b平面ac，且ac平面ac，所以b1bac.又o是正方形abcd的中心，所以acbd.所以ac平面b1bo.而b1o 平面b1bo，所以b1oac.又po2ob3a26a29a2，pdb1da28a29a2, pbpdb1d，所以po2obpb.所以b1opo.又poaco，所以b1o平面pac.【例2】证明：(1)sa平面ac，bc平面ac，sabc.四边形abcd为矩形，abbc.bc平面sab.bcae.又sbae，ae平面sbc.aesc.又efsc，sc平面aef.afsc.(2)sa平面ac，sadc.又addc，dc平面sad.dcag.又由(1)有sc平面aef，ag平面aef，scag.ag平面sdc.agsd.【例3】(1)证明：设ac与bd交于点g，则g为ac的中点，连eg，gh，由于h为bc的中点，故ghab.又efab，efgh.四边形efhg为平行四边形egfh.而eg平面edb，fh平面edb.(2)证明：由四边形abcd为正方形，有abbc.又efab，efbc.而effb，ef平面bfc.effh.abfh.又bffc，h为bc的中点，fhbc.fh平面abcd.fhac.又fheg，aceg.又acbd，egbdg，ac平面edb.(3)解：effb，bfc90，bf平面cdef.bf为四面体bdef的高又bcab2，bffc.vbdef1.【例4】正解：(1)当线段ab平面时，显然a，b到平面的距离均为0，相等(2)当ab平面时，如图，分别过点a，b作平面的垂线，垂足分别为a1，b1，则aa1，bb1分别是点a，b到平面的距离，且aa1bb1.aa1与bb1确定一个平面，设为，则a1b1.oab，ab，o.又o，oa1b1.aa1a1o，bb1b1o.aoa1bob1，aobo，rtaa1ortbb1o.aa1bb1，即a，b两点到平