高中数学 2.2 直线的方程 2.2.3.1 两条直线相交、平行与重合的条件教案 新人教B版必修2.doc

2.2.3.1 两条直线相交、平行与重合的条件示范教案教学分析教材利用方程组解的个数来讨论两条直线相交、平行与重合的条件值得注意的是在教学中，调动学生的积极性，让学生自己归纳出两条直线相交、平行和重合的条件三维目标1掌握两条直线相交、平行与重合的条件，提高学生归纳、类比的能力2能够判断两直线的位置关系，提高学生分析问题、解决问题的能力重点难点教学重点：两条直线的位置关系、平行条件的应用教学难点：归纳两直线平行、相交与重合的条件课时安排1课时导入新课设计1.在平面直角坐标系中，两条直线的位置关系是平行、相交、重合当两条直线无交点时，它们平行；当两条直线有唯一交点时，它们相交；当两条直线有无数个交点时，它们重合本节利用直线方程来讨论两条直线的位置关系，教师引出课题设计2.在立体几何中，两条直线的位置关系是平行、相交、异面，在本章所讨论的两条直线的位置关系是平行、相交、重合那么如何利用方程来讨论两直线的位置关系呢？教师引出课题推进新课(1)点p(x0，y0)是直线l：axbyc0上的一点，则x0与y0满足什么条件？(2)已知两条直线的方程为l1：a2xb1yc10，l2：a2xb2yc20.试判断直线l1与l2的交点个数，并确定它们位置关系.(3)归纳两条直线相交、平行与重合的条件.讨论结果：(1)ax0by0c0.(2)解方程组，b2b1，得(a1b2a2b1)xb2c1b1c20.当a1b2a2b10时，得x；因此，当a1b2a2b10时，方程组有唯一一组解此时直线l1与l2相交，且有唯一交点，交点坐标是方程组的解当a1b2a2b10，而b1c2c1b20或a2c1a1c20时，方程组无解两直线无交点，此时l1l2.当a1b2a2b10，而b1c2c1b20或a2c1a1c20时，方程组有无数组，即此时，两直线l1与l2有无数个交点，即l1与l2重合(3)l1与l2相交a1b2a2b10或(a2b20)l1与l2平行l1与l2重合(1)两直线平行，它们的倾斜角和在y轴上的截距相等吗？讨论结果：(1)画图分析，得它们的倾斜角相等，在y轴上的截距不相等如下图所示；(2)平行；(3)l1l2 k1k2且b1b2；(4)l1与l2重合k1k2，且b1b2.思路1例1已知直线l1：axbyc10，l2：axbyc20，求证：当c1c2时，l1与l2平行证明：因为abba0，所以l1与l2平行或重合又因为bc2bc1b(c2c1)：当b0时，已知c1c2，所以bc2bc10，因此两直线平行；当b0时，由直线方程的定义，知a0，于是两条直线的方程变为x，x，这是两条与x轴垂直的直线，所以它们平行或重合又由于c1c2，所以它们是平行的直线点评：与直线axbyc0平行的直线方程可设为axbyd0(cd)变式训练1过点a(1,2)，且平行于直线2x3y50的直线方程是_解析：设所求直线方程为2x3ym0(m5)，则2132m0，解得m4，即所求直线方程为2x3y40.答案：2x3y402求与直线2x3y50平行，且在两坐标轴上截距之和是的直线l的方程解：设直线l的方程为2x3ym0(m5)当x0时，y；当y0时，x.则，解得m1.即直线l的方程为2x3y10.3求通过下列各点且与已知直线平行的直线方程：(1)(1,2)，yx1；(2)(1，4)，2x3y50.解：(1)因为所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线为yxb.由于所求直线过点(1,2)，代入方程，得b.因此所求方程为yx，即x2y50.(2)设所求的直线方程为2x3yd0.由于所求直线过点(1，4)，代入方程，得d10.因此，所求直线方程为2x3y100.思路2例2判断下列各对直线是否平行，并说明理由(1)l1：y3x2，l2：y3x5；(2)l1：y2x1，l2：y3x；(3)l1：x5，l2：x8.解：(1)设两直线的斜率分别是k1，k2，在y轴上截距分别是b1，b2，则k13，b12，k23，b25.因为k1k2，b1b2，所以l1l2.(2)设两直线的斜率分别是k1，k2，在y轴上截距分别是b1，b2，则k12，k23，b11，b20.因为k1k2，所以l1与l2不平行(3)由方程可知l1x轴，l2x轴，且两直线在x轴上截距不相等，所以l1l2.点评：判断两直线是否平行时，要对直线的斜率讨论，特别是当斜率都不存在时，即直线xa与直线xb(ab)平行变式训练1直线l1过a(m,1)，b(1，m)，直线l2过点p(1,2)，q(5,0)，且l1l2，则m_.解析：k1，k2，由于l1l2，则，解得m.答案：2已知直线l1：xy10，直线l2：kx2y30，且l1l2，则k_.答案：2例3已知两直线l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，当m为何值时，直线l1与l2(1)平行；(2)重合；(3)相交？解：对于平行及重合的判断，可以通过斜率与截距来分析而对于l1与l2相交的情况，只能通过解方程组来寻求规律，当m0时，l1：x60，l2：2x3y0，此时l1与l2相交当m0时，l1：yx，l2：yxm.(1)若l1l2，则，解得m1.(2)若l1与l2重合，则，解得m3.故m1时l1l2；m3时l1与l2重合(3)由l1的方程得xmy6，代入l2的方程得(m2)(my6)3y2m0，即(m22m3)y124m，显然，m22m30时无解，只有当m22m30，即m1且m3时，方程才有解，且是唯一解，故只有当m1且m3时两直线相交点评：本题主要考查两直线相交、平行与重合的条件，要正确解决本题需要有足够的耐心和具有分类讨论的能力变式训练设三条直线l1：xy10，l2：kx2y30，l3：x(k1)y50.若这三条直线交于一点，求k的值解：解由l1、l2的方程组成的方程组得所以l1与l2的交点是p(，)又因为l1、l2、l3交于一点，即p点坐标满足直线l3的方程，(k1)50.解得k7或2(舍去)所以k7.1已知直线l1：ax3y10，l2：x(a2)ya0，它们的倾斜角及斜率依次分别为1，2，k1，k2则(1)a_时，1150；(2)a_时，l2x轴；(3)a_时，l1l2；(4)a_时，l1、l2重合答案：(1)(2)2(3)3(4)12求下列两条直线的交点：l1：x2y10，l2：x2y20.解：解方程组得所以这两条直线的交点是m(，)3已知平行四边形abcd的四个顶点分别为a(0,0)，b(2，1)，c(4,2)，d(2,3)，试判断四边形abcd的形状，并给出证明分析：先作图猜想，然后给出证明由斜率相等得两组直线分别平行，四边形abcd是平行四边形证明：ab边所在直线的斜率kab，cd边所在直线的斜率kcd，bc边所在直线的斜率kbc，da边所在直线的斜率kda.因为kabkcd，kbckda，所以abcd，bcda.因此，四边形abcd是平行四边形4判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求出交点(1)l1：7x2y10，l2：14x4y20.(2)l1：()xy7，l2：x()y60.(3)l1：3x5y10，l2：4x3y5.答案：(1)重合；(2)平行；(3)相交，交点坐标为(2，1)5求过点a(0，4)且与直线2x3y50平行的直线方程解法一：直线2x3y50的斜率为，所求直线斜率为.又直线过点a(0，4)，由直线方程的点斜式易得所求直线方程为2x3y120.解法二：设与直线2x3y50平行的直线l的方程为2x3ym0，l经过点a(0，4)，203(4)m0，解之，得m12.所求直线方程为2x3y120.请你探究一下三条直线l1：xay10，l2：xya0，l3：axy10构成三角形的条件是什么？方法一：任两条直线都相交，则，故a1.又三条直线不交于同一点，故其中两条直线的交点(1a,1)不在直线axy10上，即a(1a)110，a2a20，(a2)(a1)0，a2，a1.综合上述结果，以上三条直线构成三角形的条件是a1，a2.方法二：因为三条直线能构成三角形，所以三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行，且三线不共点可以把不能构成三角形的情况排除掉若三条直线交于同一点，则其中两条直线的交点(1a,1)在直线axy10上，a(a1)110，a1或a2.若l1l2，则有1，a1；若l2l3，则有1a，a1；若l1l3，则有a，a1.所以若三条直线构成三角形，则需a1，a2.本节课学习了：1两条直线平行、相交与重合的条件；2求两直线交点坐标，解决有关平行问题本节练习b1,2题本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线位置特点，其实质是直线方程axbyc0中a、b、c就表示了直线的本质属性还要注重研究方法的探讨，为将学习圆锥曲线时，对于曲线交点的研究打下基础著名数学家陈省身(公元1911年2004年12月3日)在数学领域，沃尔夫奖与菲尔兹奖是公认的能与诺贝尔奖相媲美的数学大奖菲尔兹奖主要奖励在现代数学中做出突出贡献的年轻数学家，而沃尔夫奖主要奖励在数学上做出开创性工作、具有世界声誉的数学家到1990年为止，世界上仅有24位数学家获得过沃尔夫奖，而陈省身教授就是其中之一他由于在整体微分几何上的杰出工作获得1984年度沃尔夫奖，成为唯一获此殊荣的华人数学家陈省身先生1911年生，浙江嘉兴人.1930年毕业于南开大学数学系，受教于姜立夫教授.1934年获清华大学硕士学位同年入德国汉堡大学随布拉施克教授研究几何，仅用了1年零3个月便在1936年获博士学位后，以“法国巴黎索邦中国基金会博士后研究员”身份到巴黎大学从事研究工作，师从国际数学大师e嘉当.19371943年，任清华大学和西南联合大学教授.19431946年在美国普林斯顿高级研究所任研究员在微分几何中高斯波内公式的研究和拓扑学方面取得重要进展.19461948年筹建中央数学研究所并任代理所长.19491960年，任美国芝加哥大学教授，19601979年任加州大学伯克利分校教授，19811984年任美国国家数学研究所首任所长，后任名誉所长他是美国科学院院士，法国、意大利、俄罗斯等国家科学院外籍院士他对整体微分几何的深远贡献，影响了整个数学界，被公认为“20世纪伟大的几何学家”，先后获美国国家科学奖章、以色列沃尔夫奖、中国国际科技合作奖及首届邵逸夫数学科学奖等多项荣誉陈省身对祖国心怀赤诚，1972年后多次回到祖国访问讲学，慨言“为祖国工作，是我崇高的荣誉”.2000年定居南开大学，被天津市人民政府授予永久居留权他盛赞新中国欣欣向荣，瞩望祖国早日统一，诚挚地向党和国家领导人就发展科学事业、培养和引进人才等建言献策，受到高度重视.1984年应