高中数学 2.4 空间直角坐标系学案 新人教B版必修2.doc

2.4空间直角坐标系1通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置2会推导空间两点间的距离公式，并能在具体问题中正确应用1空间直角坐标系的建立为了确定空间点的位置，在平面直角坐标系xoy的基础上，通过原点o，再作一条数轴z，使它与x轴，y轴都_，这样它们中的任意两条都互相垂直轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿_时针方向转90能与y轴的正半轴重合，这样就在空间建立了一个空间直角坐标系oxyz，o叫做坐标原点每两条坐标轴分别确定的平面yoz，xoz，xoy叫做坐标平面，三个坐标平面把空间分成八个卦限，如图所示_平面：由x轴及y轴确定的坐标面；_平面：由x轴及z轴确定的坐标面；_平面：由y轴及z轴确定的坐标面2点在空间直角坐标系中的坐标取定了空间直角坐标系后，就可以建立空间内的任意一点与三个实数的有序数组(x，y，z)之间的一一对应关系点m为空间一已知点，在空间直角坐标系中，过这点作两条轴所确定平面的_，交另一条轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是点m相应的一个_设点m在x轴，y轴，z轴的坐标依次为x，y，z.于是空间的点m就唯一确定了一个有序数组x，y，z.这组数x，y，z就叫做点m的坐标，记为_，并依次称x，y和z为点m的x坐标、y坐标和z坐标反之，设(x，y，z)为一个三元有序数组，过x轴上坐标为x的点，y轴上坐标为y的点，z轴上坐标为z的点，分别作x轴，y轴，z轴的_，这三个平面的交点m便是三元有序数组(x，y，z)唯一确定的_所以，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点m和有序数组(x，y，z)之间的一一对应关系八个卦限中的点的坐标符号也有一定的特点：(，)；：(，)；：(，)；：(，)；：(，)；：(，)；：(，)；：(，)坐标轴及坐标平面上点的坐标形式点的位置坐标形式xoy平面(x，y,0)xoz平面(x,0，z)yoz平面(0，y，z)x轴(x,0,0)y轴(0，y,0)z轴(0,0，z)【做一做1】若半径为r的球在第卦限内，且与各坐标平面均相切，则球心的坐标是()a(r，r，r) b(r，r，r)c(r，r，r) d(r，r，r)3空间两点的距离公式空间两点的距离公式可以看作平面内两点间距离公式的推广，如图m1(x1，y1，z1)，p(x2，y1，z1)，m2(x2，y2，z2)，n(x2，y2，z1)，|m1p|_，|pn|_，|m2n|_，|m1n|2|m1p|2|pn|2_，|m1m2|2|m1n|2|nm2|2_.点m1与m2间的距离为d(m1，m2)_.应用两点间的距离公式时，注意是三组对应坐标之差的平方和再开方特别地，点m(x，y，z)到原点的距离公式为d(o，m)_.【做一做2】求下列两点间的距离：(1)a(1,1,0)，b(1,1,1)；(2)c(3,1,5)，d(0，2,3)求空间一点a(x，y，z)关于坐标轴、坐标原点、坐标平面的对称点的坐标剖析：对称点坐标问题，无非就是中点与垂直问题空间点关于已知点的对称点，与平面内点关于点的对称点定义一样，已知点与其对称点连接线段的中点即为对称中心；空间点关于已知直线的对称点，与平面内点关于已知直线的对称点的定义一样，已知点与其对称点连接线段被对称轴垂直平分；空间点与其关于已知平面的对称点的连接线段垂直于平面，且中点在平面内a(x，y，z)关于坐标平面xoy的对称点a1(x，y，z)；a(x，y，z)关于坐标平面yoz的对称点a2(x，y，z)；a(x，y，z)关于坐标平面xoz的对称点a3(x，y，z)；a(x，y，z)关于x轴的对称点a4(x，y，z)；a(x，y，z)关于y轴的对称点a5(x，y，z)；a(x，y，z)关于z轴的对称点a6(x，y，z)；a(x，y，z)关于原点的对称点a7(x，y，z)题型一 空间点的坐标【例1】已知一个长方体的长、宽、高分别为5,4,3，试建立适当的空间直角坐标系，将长方体的各个顶点表示出来分析：可以以长方体的一个顶点为原点，建立空间直角坐标系，也可以以长方体的中心作为原点反思：建立适当的坐标系的原则一般是让更多的点落在坐标轴上，进而使得点的坐标表示比较简单题型二 空间点的对称问题【例2】在空间直角坐标系中，给定点m(1，2,3)，求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标分析：此题要类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解反思：本题反映了求对称点时的一个规律：关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反题型三 空间中点坐标公式的应用【例3】在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是bb1，d1b1的中点，棱长为1，试建立适当的空间直角坐标系，求点e，f的坐标分析：e，f分别为棱bb1和面对角线d1b1的中点，应先求出点b，b1，d1的坐标，再根据公式求e，f两点的坐标反思：平面上中点坐标公式可推广到空间，即设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则ab的中点为p.题型四 空间两点的距离公式的应用【例4】在空间直角坐标系中，已知abc的顶点分别是a(1,2,3)，b(2，2,3)，c.求证：abc是直角三角形分析：欲证abc是直角三角形，可从三边长之间的关系满足勾股定理入手求证反思：本题通过空间两点的距离公式，求解三角形的三边长，进而判断三角形的形状【例5】在三棱锥abcd中， |ad|bc|1，|ac|ab|dc|db|2，求该三棱锥的体积分析：三棱锥的六条棱长都已知，且比较特殊，我们不难求得acb的面积，但点d在面abc内的射影位置不明显，三棱锥的高比较难求于是，我们以点a为原点，建立空间直角坐标系，问题便转化为求点d的坐标，而这不难用空间两点的距离公式求解反思：本题采用建立空间直角坐标系，将问题转化为求点d的坐标问题的方法，避开了逻辑推理与空间想象而进行代数运算，思路也比较自然，求解也不复杂这种通过建立空间坐标系来解决的立体几何问题，显得有规律可循，而且少了立体几何的空间想象题型五 易错辨析【例6】已知点a(1,2,3)，b(3，1，2)，且|ma|mb|，求动点m的轨迹方程错解：设m(x，y，z)，依题意得，(x1)2(y2)2(z3)2(x3)2(y1)2(z2)2，整理得2x3y5z0.动点m的轨迹方程为2x3y5z0，轨迹是线段ab的垂直平分线错因分析：把平面几何中的结论硬套在空间中了，实际上满足|ma|mb|的动点m在空间中的轨迹是线段ab的垂直平分面注意范围的改变1点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在()ay轴上 bxoy平面上cxoz平面上 d第一卦限内2点p(1,2,1)关于xoz平面的对称点坐标是()a(1，2,1) b(1，2,1)c(1,2，1) d(1，2，1)3如图所示，正方体的棱长为1，m是所在棱上的中点，n是所在棱上的四分之一分点，则m，n之间的距离为()a bc d4已知点p(2,3,4)，则点p到x轴的距离是_5指出下列各点在空间中的哪一个卦限(1)(1,3,2)；(2)(3,3,1)；(3)(5,2,2)；(4)(5,1,1)答案；基础知识梳理1垂直逆xoyxozyoz2平行平面坐标(x，y，z)垂直平面点【做一做1】b3|x2x1|y2y1|z2z1|(x2x1)2(y2y1)2(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2【做一做2】解：(1)d(a，b)1.(2)d(c，d).典型例题领悟【例1】解：如图所示，以a为坐标原点，ab3所在的直线为x轴，ad5所在的直线为y轴，aa14所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系oxyz.则a(0,0,0)，b(3,0,0)，d(0,5,0)，a1(0,0,4)，c(3,5,0)，d1(0,5,4)，b1(3,0,4)，c1(3,5,4)【例2】解：m(1,2,3)关于坐标平面xoy对称的点是(1,2,3)，关于xoz面对称的点是(1,2,3)，关于yoz面对称的点是(1,2,3)；m(1,2,3)关于x轴对称的点是(1,2,3)，关于y轴对称的点是(1,2,3)，关于z轴对称的点是(1,2,3)；m(1,2,3)关于原点的对称点是(1,2,3)【例3】解：如图，建立空间直角坐标系由于正方体的棱长为1，可得b，b1，d1的坐标分别为b(1,1,0)，b1(1,1,1)，d1(0,0,1)，e为b1b的中点，f为b1d1的中点，e的坐标为，f的坐标为.【例4】证明：d(a，b)5，d(a，c)，d(b，c).故d(b，c)2d(a，c)225d(a，b)2，abc是以c为直角顶点的直角三角形【例5】解：以点a为原点，abc所在平面为xoy面，将ab置于oy轴的正半轴上，建立空间直角坐标系，如图所示|ac|ab|2，|bc|1，易求得sabc1.a(0,0,0)，b(0,2,0)，c.设d(x，y，z)，由|da|1得x2y2z21，由|dc|2，得22z24，由|db|2，得x2(y2)2z24.由，得4y43，y.将代入，得x.将代入，得z，三棱锥的体积为.【例6】正解：设m(x，y，z)，依题意，得(x1)2(y2)2(z3)2(x3)2(y1)2(z2)2，整理得2x3y5z0，动点m的轨迹方程为2x3y5z0，轨迹是线段ab的垂直平分面随堂练习巩固1c已知点的坐标确定点在空间直角坐标系中的哪个位置的题目，要先从特殊坐标值0入手，如果有一个坐标值为0，那么这个点就一定在坐标平面内，如果有两个坐标值为0，那么这个点就一定在坐标轴上，如果有3个坐标值为0，那么这个点就一定在原点上如果没有特殊的坐标值0，关键就是判断好坐标