高中数学 5.4 几个著名的不等式 5.4.3 平均不等式同步测控 苏教版选修45.doc

5.4.3 算术几何平均不等式同步测控我夯基，我达标1.若x0,则4x+的最小值是( )a.9 b. c.13 d.不存在解析:x0,4x+=2x+2x+.当且仅当2x=,即x=时取“=”.答案:b2.设a、b、cr+,且a+b+c=1,若m=(-1)(-1)(-1),则必有( )a.0m b.m1 c.1mbc,则有( )a.abac b.acbc c.abbc d.以上皆错解析:a+b+c=0,abc,a+b+c0.由bc,得abac.a正确.又a+b+cc+c+c=3c,cb,得ac0,且x2y=2,则xy+x2的最小值为( )a.1 b.2 c.3 d.4解析:xy0,由xy+x2=3,知最小值为3,当且仅当=x2时等号成立.xy0,x=1时,取“=”.答案:c7.当0x时,函数f(x)=的最小值为( )a.2 b. c.4 d.解析:f(x)=0x0,cosx0.f(x)=4.答案:c8.设abc,nn*,且+恒成立,则n的最大值为( )a.2 b.3 c.4 d.5解析:abc,a-b0,a-c0,b-c0.+,即n=2+恒成立.由=2,n2+2=4.答案:c我综合，我发展9.函数y=log2(x+5)(x1)的最小值为_.解析:x1,x+5=(x-1)+6+6=8.y=log2(x+5)log28=3.答案:310.已知a、b、cr+,则(+)(+)_.解析:a、b、cr+,(+)(+)=9.答案:911.已知xr+,有不等式x+2,x+=+3,由此启发我们可以推广为x+n+1(nn*),则a=_.解析:由x+2,x+3,x+=4.a=nn,x+=n+1.答案:nn12.若记号“*”表示求两个数a与b的算术平均的运算,即a*b=,则两边均含有运算“*”和“+”且对任意3个实数a、b、c都能成立的一个等式可以是_.解析:a+(b*c)=a+=+=(a*b)+(a*c),(a+b)*(a+c)=.答案:a+(b*c)=(a*b)+(a*c)=(a+b)*(a+c)13.已知a、b、cr+,且a+b+c=1,求证:+.分析:由已知条件a+b+c=1,而不等式中含有a+b,b+c,c+a等量.可将等式a+b+c=1,化为(a+b)+(b+c)+(c+a)=2进行代换.证明:a、b、cr+,且a+b+c=1,(a+b)+(b+c)+(c+a)=2.(a+b)+(b+c)+(c+a)+ =9.+成立.14.已知a、br+,且ab,求证:a3+b3a2b+ab2.解析:可用比较法证明,也可构造平均不等式证明.证法一:(比较法)a3+b3-(a2b+ab2)=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)2(a+b),又a,br+且ab,(a-b)20.a+b0.a3+b3a2b+ab2.证法二:(平均不等式法)a、br+,且ab.a3+b3=(a3+a3+b3)+(a3+b3+b3)()=a2b+ab2.a3+b3a2b+ab2.我创新，我超越15.设a、b、cr+,求证:ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)6abc.证明:a、b、cr+,ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)=6abc.原不等式成立.16.求y=4sin2xcosx的最值.分析:sin2x+cos2x=1,可构造“和”为定值,求出值域.需先