高中数学 寒假专题复习资料 第二讲 解析几何 新人教A版必修2.doc

第二讲 解析几何一直线与圆1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是0，)2斜率公式(1)直线l的倾斜角为90，则斜率ktan_.(2)p1(x1，y1)，p2(x2，y2)在直线l上，且x1x2，则l的斜率k.3直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1(x1x2)和直线yy1(y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式axbyc0，a2b20平面内所有直线都适用4两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.(2)两条直线垂直：如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1l2.5距离p1(x1，y1)，p2(x2，y2)两点之间的距离|p1p2|点p0(x0，y0)到直线l：axbyc0的距离d平行线axbyc10与axbyc20间距离d6. 线性规划中几个概念：约束条件、可行解、可行域、目标函数、最优解.7中心对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于点对称：若点m(x1，y1)及n(x，y)关于p(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程8轴对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于直线的对称：若两点p1(x1，y1)与p2(x2，y2)关于直线l：axbyc0对称，由方程组可得到点p1关于l对称的点p2的坐标(x2，y2)(其中b0，x1x2)(2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行9. 圆的方程： 标准方程；一般式方程；参数方程为参数)；直径式方程.注：解决直线与圆的关系问题有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解，重要的是发挥“圆的平面几何性质(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理等等)的作用!”二、轨迹方程的求法: (1)直接法: 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含的等式就得到曲线的轨迹方程. (2)定义法: 其动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义，则根据定义直接求出动点的轨迹方程. (3)几何法: 若所求的轨迹满足某些几何性质(如线段的垂直平分线，角平分线的性质等)，可以用几何法，列出几何式，再代人点的坐标较简单. (4)相关点法(代人法): 有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的; 如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程. (5)交轨法: 在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程. 常与参数法并用. 三、圆锥曲线 椭圆双曲线抛物线定义|pf1|pf2|2a(2a|f1f2|)|pf1|pf2|2a(2ab0)焦点在x轴上1(a0，b0)焦点在x轴正半轴上y22px(p0)图象几何性质范围|x|a， |y|b|x|a，yrx0，yr顶点(a,0)，(0，b)(a,0)(0,0)对称性关于x轴、y轴和原点对称关于x轴对称焦点(c,0)轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b几何性质离心率e(0e1)e1准线x通径|ab|ab|2p渐近线yx2.圆锥曲线统一定义：若平面内一个动点到一个定点和一条定直线的距离之比等于一个常数，则动点的轨迹为圆锥曲线.其中定点为焦点，定直线为准线，为离心率. 当时，轨迹为椭圆; 当时，轨迹为抛物线; 当时，轨迹为双曲线. 3.在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解. 特别是：直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必“判别式0”，尤其是在应用韦达定理解决问题时，必须先有“判别式0”.直线与抛物线(相交不一定交于两点)、双曲线位置关系的特殊性，应谨慎处理. l在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，常与“弦”相关，“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“点差法”、“长度(弦长)”问题关键是长度(弦长)公式(，, 1设ar，则“a1”是“直线axy10与直线xay50平行”的()a充分而不必要条件 b必要而不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件2已知点a(2，3)，b(3，2)，若直线kxy1k0与线段ab相交，则k的取值范围是()a，2 b(，2，)c(，12，) d1,23. 已知p(x，y)是直线kxy40(k0)上一动点，pa，pb是圆c：x2y22y0的两条切线，a，b是切点，若四边形pacb的最小面积是2，则k的值为()a3 b. c2 d24已知圆c1：(x2)2(y3)21，圆c2：(x3)2(y4)29，m，n分别是圆c1，c2上的动点，p为x轴上的动点，则|pm|pn|的最小值为()a54 b.1 c62 d.5.已知在平面直角坐标系中，点a(2，0)，b(0,1)到直线l的距离分别为1,2，则这样的直线l共有_条a.2 b. c. 4 d. 16已知双曲线1(a0，b0)与抛物线y28x有一个共同的焦点f，两曲线的一个交点为p，若|pf|5，则点f到双曲线的渐近线的距离为()a. b2 c. d37(2016课标全国甲)已知f1，f2是双曲线e：1的左，右焦点，点m在e上，mf1与x轴垂直，sinmf2f1，则e的离心率为()a. b. c. d28.已知双曲线1的左、右焦点分别为f1、f2，过f1作圆x2y2a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点b、c，且|bc|cf2|，则双曲线的渐近线方程为()ay3x by2x cy(1)x dy(1)x9点f为椭圆1(ab0)的一个焦点，若椭圆上存在点a使aof为正三角形，那么椭圆的离心率为()a. b. c. d.110(2016浙江)已知椭圆c1：y21(m0)与双曲线c2：y21(n0)的焦点重合，e1，e2分别为c1，c2的离心率，则()amn且e1e21 bmn且e1e21cmn且e1e21 dmn且e1e2111设抛物线e： y22px(p0)的焦点为f，点m为抛物线e上一点，|mf|的最小值为3，若点p为抛物线e上任意一点，a(4,1)，则|pa|pf|的最小值为()a4 b7 c42 d1012.【2014全国1高考理第10题】已知抛物线c：的焦点为f，准线为，p是上一点，q是直线pf与c得一个焦点，若，则（ ）a. b. c. d. 二、填空题13.已知两点a(3,2)和b(1,4)到直线mxy30的距离相等，则m的值为 .14一动圆与已知圆o1：(x3)2y21外切，与圆o2：(x3)2y281内切，则动圆圆心的轨迹方程为_15.设椭圆c：1关于原点对称 a1，a2两点，若点p在椭圆c上，且直线pa2的斜率的取值范围是2，1，那么直线pa1斜率的取值范围是_16直线3x4y40与抛物线x24y和圆x2(y1)21从左到右的交点依次为a、b、c、d，则的值为_三、简答题17.已知一个椭圆与双曲线的焦点相同，且过点.(1)求椭圆的标准方程;(2)求这个椭圆的所有斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程.18.在平面直角坐标系中,已知圆p在轴上截得的线段长为,在轴上截得的线段长为.(1)求圆心p的轨迹方程;(2)若p点到直线的距离为,求圆p的方程.19已知椭圆c：1(ab0)的离心率为，且点(1，)在该椭圆上(1)求椭圆c的方程；(2)过椭圆c的左焦点f1的直线l与椭圆c相交于a，b两点，若aob的面积为，求圆心在原点o且与直线l相切的圆的方程20(2016课标全国乙)设圆x2y22x150的圆心为a，直线l过点b(1,0)且与x轴不重合，l交圆a于c，d两点，过b作ac的平行线交ad于点e.(1)证明|ea|eb|为定值，并写出点e的轨迹方程；(2)设点e的轨迹为曲线c1，直线l交c1于m，n两点，过b且与l垂直的直线与圆a交于p，q两点，求四边形mpnq面积的取值范围21.已知抛物线：y22px(p0)的焦点f在双曲线：1的右准线上，抛物线与直线l：yk(x2)(k0)交于a，b两点，af，bf的延长线与抛物线交于c，d两点(1)求抛物线的方程；(2)若afb的面积等于3，求k的值；(3)记直线cd的斜率为kcd，证明：为定值，并求出该定值22. (2015新课标全国，20)在直角坐标系xoy中，曲线c：y与直线l：ykxa(a0)交于m，n两点，(1)当k0时，分别求c在点m和n处的切线方程；(2)y轴上是否存在点p，使得当k变动时，总有opmopn？说明理由立体几何参考答案1-5cccab 6. 7. 2 8. 9.10. (1)证明因为四边形abcd是长方形，所以bcad，因为bc平面pda，ad平面pda，所以bc平面pda.(2)证明因为四边形abcd是长方形，所以bccd，因为平面pdc平面abcd，平面pdc平面abcdcd，bc平面abcd，所以bc平面pdc，因为pd平面pdc，所以bcpd.(3)解如图，取cd的中点e，连接ae和pe.因为pdpc，所以pecd，在rtped中，pe.因为平面pdc平面abcd，平面pdc平面abcdcd，pe平面pdc，所以pe平面abcd.由(2)知：bc平面pdc，由(1)知：bcad，所以ad平面pdc，因为pd平面pdc，所以adpd.设点c到平面pda的距离为h，因为v三棱锥cpdav三棱锥pacd，所以spdahsacdpe，即h，所以点c到平面pda的距离是.11. (1)证明在等腰梯形abcd中，abcd，addca，abc60，adc是等腰三角形，且bcdadc120，dcadac30，acb90，即bcac.又平面acef平面abcd，平面acef平面abcdac，bc平面abcd，bc平面acef. (2)解当fma时，am平面bde.证明如下：设acbdn，连接en，如图acb90，abc60，bca，aca，ab2a，cnna12，四边形acef是平行四边形，efaca.am平面bde，am平面acef，平面acef平面bdene，amne，四边形anem为平行四边形，fmme12，fmfeac.当fma时，am平面bde.12. (1)证明点e，f分别是边cd，ce的中点，bdef.菱形abcd的对角线互相垂直，bdac.efac.efao，efpo，ao平面poa，po平面poa，aopoo，ef平面poa，bd平面poa，又pa平面poa，bdpa.(2)解设aobdh.连接bo，dab60，abd为等边三角形，bd4，bh2，ha2，hopo，在rtbho中，bo，在pbo中，bo2po210pb2，pobo.poef，efboo，ef平面bfed，bo平面bfed，po平面bfed，梯形bfed的面积s(efbd)ho3，四棱锥pbfed的体积vspo33.13. (1)证明由已知可得afdf，affe，所以af平面efdc，又af平面abef，故平面abef平面efdc. (2)解过点d作dgef，垂足为g，由(1)知dg平面abef.以点g为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系gxyz.由(1)知dfe为二面角dafe的平面角，故dfe60，则df2，dg，可得a(1,4,0)，b(3,4,0)，e(3,0,0)，d(0,0，)由已知，abef，所以ab平面efdc，又平面abcd平面efdccd，故abcd，cdef，由beaf，可得be平面efdc，所以cef为二面角cbef的平面角，cef60，从而可得c(2,0，)所以(1,0，)，(0,4,0)，(3，4，)，(4,0,0)设n(x，y，z)是平面bce的法向量，则即所以可取n(3,0，)设m是平面abcd的法向量，则同理可取m(0，4)，则cosn，m.故二面角ebca的余弦值为.14.(1)证明由已知，平面abcd平面abpe，且bcab，则bc平面abpe，所以ba，bp，bc两两垂直，故以点b为原点，分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系则p(0,2,0)，d(2,0,1)，m，e(2,1,0)，c(0,0,1)，所以.易知平面abcd的一个法向量n(0,1,0)，所以n(1,0，)(0,1,0)0，所以n，又em平面abcd，所以em平面abcd.(2)当点n与点d重合时，直线bn与平面pcd所成角的正弦值为.理由如下：(2，2,1)，(2,0,0)，设平面pcd的法向量为n1(x1，y1，z1)，由得取y11，得平面pcd的一个法向量等于n1(0,1,2)，假设线段pd上存在一点n，使得直线bn与平面pcd所成的角的正弦值等于.设 (01)，则(2，2,1)(2，2，)，(2，22，)所以sin |cos，n1|.所以92810，解得1或(舍去)因此，线段pd上存在一点n，当n点与d点重合时，直线bn与平面pcd所成角的正弦值等于.圆锥曲线参考答案1-5.abdab 6-10. aacda 11-12.bb13. m或m6. 14.1 15. . 16. 17. 解: 椭圆的焦点, 由定义,所以.椭圆的标准方程为.(2)设平行线的方程为联立直线和椭圆, 得.由,解得.设直线与椭圆交于两点,中点则因为点m在直线上, 联立解得所以点m的轨迹方程为.18. 解:(1)设p,圆p的半径为，由题可得,故圆心p的轨迹方程为.(2) 设p,由已知, 又点p在双曲线上.联立解得或,对应的。圆p的方程为或19解(1)由题意可得e，又a2b2c2，所以b2a2.因为椭圆c经过点(1，)，所以1，解得a2，所以b23， 故椭圆c的方程为1.(2)由(1)知f1(1,0)，设直线l的方程为xty1，由消去x，得(43t2)y26ty90，显然0恒成立，设a(x1，y1)，b(x2，y2)， 则y1y2，y1y2，所以|y1y2| ，所以saob|f1o|y1y2|，化简得18t4t2170，即(18t217)(t21)0，解得t1，t(舍去)，又圆o的半径r，所以r，故圆o的方程为x2y2.20解(1)因为|ad|ac|，ebac，故ebdacdadc，所以|eb|ed|，故|ea|eb|ea|ed|ad|.又圆a的标准方程为(x1)2y216，从而|ad|4，所以|ea|eb|4.由题设得a(1,0)，b(1,0)，|ab|2，由椭圆定义可得点e的轨迹方程为：1(y0)(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，m(