高中数学 第1章 导数及其应用 1.2.1 常见函数的导数互动课堂 苏教版选修22.DOC

高中数学 第1章 导数及其应用 1.2.1 常见函数的导数互动课堂 苏教版选修2-2疏导引导 本课时的重点是几种常见函数的导数公式. 我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率,物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度. 根据导数的定义,求函数y=f(x)的导数,就是求出当x趋近于0时,所趋近的那个定值.(1)函数y=f(x)=c的导数.y=f(x+x)-f(x)=c-c=0,=0，y=0=0.y=0表示函数y=c图象上每一点处的切线的斜率为0,如图(1).若y=c表示路程关于时间的函数,则y=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态.(2)函数y=f(x)=x的导数.y=(x+x)-x=x,=1.y=1=1.y=1表示函数y=x图象上每一点处的切线的斜率都为1,如图(2).若y=x表示路程关于时间的函数,则y=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.(3)函数y=f(x)=x2的导数.=2x+x,y=(2x+x)=2x.y=2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化,如图(3).另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y=2x表明:当x0时,随着x的增加,函数y=x2减少得越来越慢;当x0时,随着x的增加,函数y=x2增加得越来越快.若y=x2表示路程关于时间的函数,则y=2x可以解释为某物体做变速运动,它在时刻x的瞬时速度为2x.(4)函数y=f(x)=的导数.=,y=. 公式:(cosx)=-sinx的证明y=cosx,y=cos(x+x)-cosx=-2sin(x+)sin=-sin(x+)y=(cosx)=-sin(x+)=-sinx. 对数函数、指数函数的导数公式的巩固. 对于公式(ln x)=和(ex)=ex很好记，但对于公式(logax)=logae和(ax)=axln a的记忆就较难，特别是两个常数loga e、ln a很容易混淆.应从以下几方面加深对公式的理解和记忆：区分公式的结构特征，从纵的方面“(ln x)与(logax)”，和(ex)与(ax)”区分，又要从横的方面“(logax)与(ax)”区分，找出差异，记忆公式.对公式(logax)，用(ln x)和复合函数求导法则证明来帮助记忆，即求证对数函数导数公式(logax)=logae. 证明如下：(logax)=()=loga e. 这样知道了(logax)=1xlogae中logae的来历，对于公式的记忆和区分是很有必要的.活学巧用1.求下列函数的导数(1)y=x12;(2)y=;(3)y=.解析：(1)y=(x12)=12x12-1=12x11；(2)y=(x-4)=(-4)x-4-1=-4x-5=;(3)y=()=()=2.某圆形容器的底面直径为2 m，深度为1 m，盛满液体后以0.01 m3/s的速度放出，求液面高度的变化率.解析：设液体放出t s后的液面高度为h m，则由题意得：12h=121-0.01t， 化简，得h=，液面高度的变化率为：h=()=3.下列结论不正确的是( )a.若y=3，则y=0b.若y=则y=c.若y=，则y=d.若y=3x，则y=3解析：y=()=()=，选b.答案：b4.如图，质点p在半径为1 m的圆上沿逆时针做匀角速运动，角速度1 rad/s，设a为起始点，求时刻t时，点p在y轴上的射影点m的速度.解析：时刻t时，角速度1 rad/s，poa=1t=tradmpo=poa=tradom=opsinmpo=1sint点m的运动方程为y=sintv=y=(sint)=cost 即时刻t时，点p在y轴上的射影点m的速度为cost m/s.5.假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)=p0(1+%)t， 其中p0为t=0时的物价，假定某种商品的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？(精确到0.01)解析：p0=1,p(t)=(1+%)t=1.05t. 根据基本初等函数导数公式表，有p(t)=(1.05t)=1.05tln 1.05.p(10)=1.0510ln 1.050.08(元/年). 因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.6.(2004全国高考，文19)已知直线l1为曲线y=x2+x-2在(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积.解析：(1)y=2x+1. 直线l1的方程为y=3x-3. 设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点b(b,b2+b-2),则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2.