高中数学 第一章 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不等式 1.2.2 绝对值不等式的解法教案 新人教A版选修45.doc

1.2.2 绝对值不等式的解法课堂探究几个特殊的含绝对值的不等式的区别剖析：(1)|x4|x3|a有解，则a的取值范围是_；(2)|x4|x3|a的解集为r，则a的取值范围是_；(3)|x4|x3|a的解集为，则a的取值范围是_；(4)|x4|x3|a的解集为r，则a的取值范围是_处理以上问题，我们可以与函数y|x4|x3|，y|x4|x3|的最值(值域)等联系起来，第一个函数的值域为1,1，而第二个函数的最小值为1，即|x4|x3|1，所以(1)|x4|x3|a有解，只需a1；|x4|x3|a的解集是r，则说明是恒成立问题，所以a|x4|x3|min1，即a1；|x4|x3|a的解集为，说明a|x4|x3|min1，所以a1；|x4|x3|a的解集为r，说明a|x4|x3|min1.以上这几种不等式问题，实质是与两种函数的值域或最值相联系的问题，当然也可以借助函数的图象，用数形结合来解得a的范围而理解这几种表述方式对掌握本节知识有很好的帮助 题型一 解|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型的不等式【例1】不等式|3x2|4的解集是()ax|x2 bx|xcx|x或x2 dx|x2解析：可以利用|axb|c(c0)型不等式的解法进行等价转化，或者利用数形结合法方法一：由|3x2|4，得3x24或3x24.即x或x2.所以原不等式的解集为.方法二：(数形结合法)画出函数y|3x2|的图象，如下图所示：由|3x2|4，解得x2或x.在同一坐标系中画出直线y4，所以交点坐标为(2,4)与.所以|3x2|4时，x或x2.所以原不等式的解集为.答案：c【例2】不等式|5xx2|6的解集为()ax|x2或x3bx|1x2或3x6cx|1x6dx|2x3解析：可以利用|x|a(a0)的结论进行转化，然后解一元二次不等式，取交集可得结果，本题还可以用数形结合法求结果方法一：由|5xx2|6，得|x25x|6.6x25x6.1x2或3x6.原不等式的解集为x|1x2或3x6方法二：作函数y=x25x的图象，如下图所示|x25x|6表示函数图象中直线y=6和直线y=6之间相应部分的自变量的集合解方程x25x=6，得x1=1，x2=6.解方程x25x=6，得x1=2，x2=3.即得到不等式的解集是x|1x2或3x6答案：b反思 形如|f(x)|a，|f(x)|a(ar)型不等式的简单解法：当a0时，|f(x)|aaf(x)a.|f(x)|af(x)a或f(x)a.当a0时，|f(x)|a无解|f(x)|a|f(x)|0.当a0时，|f(x)|a无解|f(x)|af(x)有意义.题型二 解|f(x)|g(x)型的不等式【例3】解不等式|xx22|x23x4.解：|xx22|x2x2|，而x2x220，|xx22|x2x2|x2x2，故原不等式等价于x2x2x23x4.x3.原不等式的解集为x|x3反思 本题形如|f(x)|g(x)，我们可以借助形如|axb|c的解法转化为f(x)g(x)或f(x)g(x)，当然|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)而如果f(x)的正负能确定的话，也可以直接去掉绝对值再解不等式.题型三 解|xa|xb|c(c0)型的不等式【例4】解不等式|x1|x1|3.分析：本题可以用分段讨论法或数形结合法求解，对于形如|xa|xb|的代数式，可以认为是分段函数解法一：如下图，设数轴上与1,1对应的点分别为a，b，则a，b两点间的距离为2，因此区间1,1上的数都不是不等式的解设在a点左侧有一点a1到a，b两点的距离和为3，a1对应数轴上的x.所以1x1x3，得x.同理设b点右侧有一点b1到a，b两点的距离和为3，b1对应数轴上的x，所以x1x(1)3.所以x.从数轴上可看到，点a1，b1之间的点到a，b的距离之和都小于3；点a1的左侧或点b1的右侧的任意点到a，b的距离之和都大于3，所以原不等式的解集是.解法二：当x1时，原不等式可以化为(x1)(x1)3，解得x.当1x1时，原不等式可以化为x1(x1)3，即23.不成立，无解当x1时，原不等式可以化为x1x13，解得x.综上，可知原不等式的解集为.解法三：将原不等式转化为|x1|x1|30.构造函数y|x1|x1|3，即y作出函数的图象(如图)函数的零点是.从图象可知，当x或x时，y0，即|x1|x1|30.所以原不等式的解集为.反思 |xa|xb|c、|xa|xb|c(c0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况(1)分区间讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解，即|x|，也即x为非负数时，|x|为x；x为负数时，|x|为x，即x的相反数(2)|xa|xb|c、|xa|xb|c(c0)型不等式的图象解法和画出函数f(x)|xa|xb|c的图象是密切相关的，其图象是折线，正确地画出其图象的关键是写出f(x)的分段表达式不妨设ab，于是f(x).这种图象法的关键是合理构造函数，正确画出函数的图象，求出函数的零点，体现了函数与方程结合、数形结合的思想(3)几何解法的关键是理解绝对值的几何意义.题型四 含有参数的绝对值不等式的解法【例5】已知函数f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集为x|1x5，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)f(x5)m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围解：(1)由f(x)3，得|xa|3，解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集为x|1x5，所以解得a2.所以实数a的值为2.(2)当a2时，f(x)|x2|.设g(x)f(x)f(x5)，于是g(x)|x2|x3|所以当x3时，g(x)5；当3x2时，g(x)5；当x2时，g(x)5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)f(x5