高中数学 第一章 基本初等函数（II）1.2 任意角的三角函数 1.2.3 同角三角函数的基本关系式课堂探究学案 新人教B版必修4.doc

1.2.3 同角三角函数的基本关系式课堂探究探究一 利用同角三角函数基本关系式求值在求值时，要注意恰当选取开方后根号前面的正负号，一般有以下三种情况：(1)已知一个角的一个三角函数值及这个角的终边所在象限，此类情况只有一组解；(2)已知一个角的一个三角函数值，但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值的符号确定这个角的终边所在象限，然后求解，一般有两组解；(3)已知一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，此时既要对角的终边所在的象限进行分类讨论，也要对表示其值的字母的正负进行分类讨论另外，还要注意其角的终边有可能落在坐标轴上【例1】 已知cos ，求sin ，tan 的值分析：先利用平方关系求出sin 的值，再利用商关系求出tan 的值在求sin 的值时，先由余弦值为负确定角的终边在第二或第三象限，然后分象限讨论解：因为cos 0，所以是第二或第三象限的角若是第二象限的角，则sin ，tan ；若是第三象限的角，则sin ，tan 易错警示 在应用平方公式时要注意，一定要看角的终边所在的象限是否给出如果没有给出的话，要分情况讨论开方结果的正负应用正切公式时，要看tan 是否有意义，还要看角的范围是否给出，否则求出的角可能是一个集合【例2】 已知sin m(|m|1)，求tan 的值解：当m0时，tan 0；当m1时，角的终边落在y轴上，此时tan 不存在；当为第一、四象限的角时，cos ，tan ；当为第二、三象限的角时，cos ，tan 【例3】 已知tan ，求下列各式的值(1)；(2)2sin2sin cos 5cos2；(3) 分析：由于已知条件为切，所求式为弦，故应想办法将切化弦，或将弦化切(这是一种分析综合的思想)；若切化弦，应把条件tan 代入所求式，消去其中一种函数名，再进一步求值；若弦化切，应把所求式化成用tan 表示的式子，代入化简即可解：(1)由tan 得cos 3sin ，代入所求式得(2)原式cos2将tan 代入得原式(3)原式方法总结 已知角的正切值，求由sin 和cos 构成的代数式的值，构成的代数式通常是分式或整式的齐次式(每一项中的次数相同)(1)对分式齐次式，因为cos 0，一般可在分子和分母中同时除以cosn，使所求代数式化成关于tan 的代数式，从而得解；(2)对整式(一般是指关于sin2，cos2)齐次式，把分母看为“1”，用sin2cos2替换“1”，从而把问题转化成分式齐次式，在分子和分母中同时除以cos2，即可得关于tan 的代数式，从而得解探究二 利用同角三角函数关系式化简1三角函数式的化简就是代数式的恒等变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数种类尽可能的少，式子中尽量不含根号，能求值的一定要求值2同角三角函数式化简过程中常用的方法：(1)对于含有根号的，常把被开方数(式)化成完全平方数(式)，然后去根号达到化简的目的；(2)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的；(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的【例4】 化简：(1) ；(2)sin2sin2sin2sin2cos2cos2解：(1) |sin 40cos 40|，因为sin 40cos 40，所以|sin 40cos 40|cos 40sin 40(2)sin2sin2sin2sin2cos2cos2sin2(1sin2)sin2cos2cos2sin2cos2cos2cos2sin2(sin2cos2)cos2sin2cos2sin21点评 (1)含根号的三角函数式的化简，关键是将被开方式化为完全平方式，再根据符号去掉根号，从而达到化简的目的(2)注意公式sin2cos21有“降幂”的作用探究三 利用同角三角函数关系式证明证明三角恒等式的原则是由繁到简，常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边；(2)证明左右两边都等于同一个式子；(3)变更论证采用左右相减，化除为乘等方法，转化成与原结论等价的命题形式【例5】 求证： 证明：证法1：因为左边右边所以原式成立证法2：由证法1知，左边，右边，所以左边右边，原式成立反思 证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁为简的原则，即从较复杂的一边推向较简单的一边，还可以将左右两边同时推向一个中间结果有时还可以证明其等价