高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 浅谈命题的否定及其应用素材 新人教A版选修21.doc_第1页
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文档简介

浅谈命题的否定及其应用简易逻辑的引入，给同学们思考问题带来了逻辑思维的应用工具，否命题的应用及处理常被同学们忽视.下面就解题过程中，对常见命题否定的理解及应用问题举例如下.一、常见语句的否定联言命题“且且且”的否定是“或或或”.选言命题“或或或”的否定是“且且且”“都是(所有的)”的否定是“不都是(存在一个)”而不是“都不是”“至少有一个(n个)” 的否定是“一个也没有(至多有n-1个)”“至多有一个(n个)” 的否定是“至少有两个(至少有n+1个)” “对任意xa,使p(x)成立”的否定是“存在xa,使p(x)不成立” “存在xa,使p(x)成立” 的否定是“对任意xa,使p(x)不成立”二、常见否定命题的应用例1 写出下列命题的否命题 (1)有些三角形是直角三角形; (2)所有的质数都是奇数 . 分析:(1) 学生常易错误回答为“有些三角形不是直角三角形”.这是一个存在性命题,存在量词“有些”可以用“存在一个、至少有一个、某个”等词代替,故该命题的否命题为“所有三角形都不是直角三角形”.本题还可以写出它的逆否命题来判断原命题与否命题的真假. (2) 学生常易错误回答为“所有质数都不是奇数”.这是一个全称命题,全称量词“所有的”可以用“任意的、对于一切、每一个”等词代替,故该命题的否命题为“存在一个质数不是奇数”或“所有的质数不都是奇数”.例2若在-1,1上至少存在一点c使,求实数a的取值范围.解：该题可利用其否命题来解.该命题的否命题是: 在-1,1不存在点c使即对任意x-1,1, 0 . 有 解之得.故实数a的取值范围为 .注:利用否命题来求解这一类问题,可以简化运算步骤,回避分类讨论.例3.设数列、是公比不相等的两个等比数列, .证明:数列不是等比数列.分析:以下是一部份学生的解法, 设数列、是公比分别为p、q，pq，则而 pq 故数列不是等比数列. 评析:“ 是等比数列”的含义是数列中如果从第二项起每一项与前一项的比均等于同一个常数，则称是等比数列.要证明数列不是等比数列,只需破坏命题中的 “都是”即可.即需证明存在连续三项使 .为此只需首先验证,而标准答案就是如此.本题的证明主要考察学生对否命题的理解 . 例4. 有三位运动员参加跳高比赛,他们能顺利跳过某个高度的概率依次是、，求这三人中至少有一人跳过这一高度的概率.解:“三人中至少有一人跳过这一高度”的对立事件(命题的否定)是“三人中没有一个跳过这一高度”，由于3个人跳高是相互独立事件，故所求概率为 . 例5.已知: a=,b=,若,求实数a的取值范围.分析:由题意, 即两个方程,与中,至少有一个方程有实数解.设全集为i=r,所求实数a的集合为a,则使上述两个方程均设无实数解的实数a的集合为.由，得由,得 解得:或 . 即当或时,. 所以所求的a的取值范围是. 规律概括:由
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