高中数学 第一章 推理与证明 4 数学归纳法学案 北师大版选修22.DOC

4数学归纳法学习目标重点难点1.能说出数学归纳法的原理，会用数学归纳法证明与正整数有关的等式及研究数列问题2能用数学归纳法证明与n有关的不等式整除问题，会利用数学归纳法解决相关问题.重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，证明简单的恒等式问题难点：对数学归纳法的理解及第二步的运用.1数学归纳法数学归纳法是用来证明某些与_有关的数学命题的一种方法2数学归纳法证明步骤(1)基本步骤：验证：_时，命题成立；在假设_时命题成立的前提下，推出_时，命题成立根据可以断定命题对一切正整数n都成立(2)数学归纳法能保证命题对_都成立因为根据，验证了当_命题成立；根据可知，_命题成立由于_命题成立，再根据可知，_命题也成立，这样递推下去，就可以知道_命题成立，即命题对任意正整数n都成立预习交流议一议：为什么说数学归纳法步骤缺一不可，它的优点是什么？答案：预习导引1正整数n2(1)n1nk(k1)nk1(2)所有的正整数n1n112n2n13n4,5，预习交流：提示：(1)数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有往后传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后面的正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可特别指出的是第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题(2)数学归纳法是不完全归纳法，它的优点是克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学的方法，使我们认识到事物由特殊到一般，由有限到无限的规律在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、用数学归纳法证明恒等式用数学归纳法证明：1.思路分析：用数学归纳法证明等式时要注意等式两边的项数的变化，即由nk到nk1时，左右两边各添加了哪些项1用数学归纳法证明：1aa2an1(a1)，在验证n1时，左边计算所得的项为()a1 b1a c1aa2 d1aa2a32证明：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)1.在利用数学归纳法由nk到nk1时，有时不只增加1项，并且等式的左边和右边可能增加的项数不一定相同2第二步中证明nk1成立时，一定要用上nk时的假设3在递推步骤的证明过程中，突出两个凑字：一“凑”假设；二“凑”结论关键是明确nk1时证明的目标，充分考虑用由nk到nk1时，命题形式之间的区别与联系二、用数学归纳法证明不等式求证：当nn，n2时，.思路分析：本题为与正整数n有关的不等式，可结合不等式的性质加以变形已知sn1(n1，nn)，求证：s2n1(n2，nn)1.数学归纳法仅适用于与正整数有关的数学命题的证明2应用数学归纳法证题时，关键是利用归纳假设证明nk1时的命题，要证好这一步，须明确以下两点：一是明确要证明的结论，二是明确nk1时命题与归纳假设的区别(即nk1时比nk时增加了哪些项)明确了这两点也就明确了这一步的证明方向三、用数学归纳法证明几何问题及整除性问题平面上有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点求证：这n个圆把平面分成f(n)n2n2个部分思路分析：假设nk时，k个圆把平面分成f(k)k2k2个部分，那么当nk1时，平面上第k1个圆与前面k个圆有2k个交点，这2k个交点将第k1个圆分成2k段，分别将各自所在区域一分为二，故增加了2k个部分求证：当nn时，an1(a1)2n1能被a2a1整除用数学归纳法证明几何问题或整除性问题，均是实际问题的证明，这时要根据实际分析出从“nk”转化到“nk1”时的变化规律答案：活动与探究1：证明：(1)当n1时，左边1，右边，等式成立(2)假设当nk(k1)时等式成立，即1，那么当nk1时，左边1.即当nk1时，等式成立根据(1)(2)可知，对任意的nn，等式都成立迁移与应用：1b解析：当n1时，左边1aa2，即从1到a11的和2证明：(1)当n1时，左边12223，右边(1)(211)3，左边右边，等式成立(2)假设当nk(k1)时等式成立，即12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)则当nk1时，左边12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2(2k1)(k1)4(k1)2(k1)2k14(k1)(k1)(2k3)(k1)2(k1)1右边当nk1时，等式成立由(1)(2)可知对任意的正整数n，等式都成立活动与探究2：证明：(1)当n2时，不等式成立(2)假设nk(k2)时不等式成立，即.那么当nk1时，.当nk1时，不等式成立根据(1)(2)可知，nn，n2时不等式成立迁移与应用：证明：(1)当n2时，s2ns411，即当n2时，命题成立(2)假设当nk(k2)时，命题成立，即s2k11.当nk1时，s2k111111.故当nk1时，命题成立根据(1)(2)知，对nn，n2，不等式s2n1成立活动与探究3：证明：(1)当n1时，即一个圆把平面分成2个部分，又n1时，n2n22，命题成立(2)假设nk时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)k2k2个部分，那么设第k1个圆记作o，由题意，它与k个圆中每个圆交于两点，又无三圆交于同一点，于是它与其他k个圆相交于2k个点把o分成2k条弧，而每条弧把原区域分成2块，因此这个平面的总区域增加2k块，即f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2.即nk1时命题成立由(1)(2)可知，对任何nn命题均成立迁移与应用：证明：(1)当n1时，a11(a1)211a2a1，命题成立(2)假设nk(k1)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1，由归纳假设，上式中的两项均能被a2a1整除故当nk1时，命题成立由(1)(2)知，对nn，命题成立1用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的自然数n都成立”时，第一步证明中的初始值n0应取()a2 b3 c5 d62用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nn)，从“k”到“k1”左端需增乘的代数式为()a2k1 b2(2k1) c. d.3若f(n)1(nn)，则当n1时，f(n)是()a1 b. c1 d以上都不对4用数学归纳法证明1n(nn且n1)第一步要证明的不等式是_，从nk到nk1时，左端增加了_项5用数学归纳法证明(nn)答案：1b解析：要逐一验证当n5时，25521，n05.2b解析：当nk时，代数式为(k1)(k2)(kk)当nk1时，代数式为(k2)(k3)(kk1)(k1)(k2)(kk).3b解析：当n1时，f(1)应是从1到的和，即1.4122k解析：当n2时，12.当nk时到第2k1项，而nk1时到第