高中数学 第一章 直线、多边形、圆 1.2 圆与直线 1.2.5 相交弦定理学案 北师大版选修41.doc

1.2.5相交弦定理课标解读1.掌握相交弦定理及其证明过程2能灵活运用相交弦定理进行计算与证明.图1281相交弦定理(1)文字叙述圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等(2)图形表示如图1281，弦ab与cd相交于圆内一点p，则有：papbpcpd.1相交弦定理、切割线定理、切线长定理之间有什么联系？【提示】相交弦定理中两弦的交点在圆内，若两弦的交点从圆内移到圆外便得到切割线定理的推论若将一条割线变为圆的切线便可得到切割线定理，最后两条割线都变成切线便得到切线长定理，这些变化充分体现了运动变化的思想2应用相交弦定理应注意什么？【提示】相交弦定理中要求是两条相交弦，对于多条弦相交且不交于同一点时，要两条两条的利用定理方可相交弦定理的简单应用如图1282，ac为o的直径，弦bdac于点p，pc2，pa8，则tanacd的值为_图1282【思路探究】由垂径定理知，点p是bd的中点，先用相交弦定理求pd，再用射影定理或勾股定理求ad、cd，最后求tanacd.【自主解答】bdac，bppd，pd2papc2816，pd4.连接ad，则adc90，tanacd.又ad4，cd2，tanacd2.【答案】21解答本题的关键是先用相交弦定理求pd，再用勾股定理或射影定理求ad、cd.2相交弦定理的运用往往与相似形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明图1283如图1283，已知ab是o的直径，omon，p是o上的点，pm、pn的延长线分别交o于q、r.求证：pmmqpnnr.【证明】omon，oaob，ambn，bman，ambmanbn，又pmmqambm，pnnranbn，pmmqpnnr.相交弦定理的综合应用如图1284，abc内接于o，p是abc的高ce的延长线上一点，pc交o于d，若pa2pdpc，ae2，ce3，cosacb，求be的长图1284【思路探究】由pa2pdpc知pa是o的切线，acb等于pae，则pa可求，在rtape中pe可求，由切割线定理求出pd，进而求出de，再由相交弦定理求be.【自主解答】由pa2pdpc，知pa是o的切线，paeacb.pcab，aep90.又cosacb，在rtpae中，cospae.ae2，pa6.在rtpae中，pe4，pcpece437，pa2pdpc，pd，depepd4.aebedece，be.1解答本题时应注意所求与已知的关系，通过所求明确已知转化的方向，从而求得结论2在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理，见到切线和割线时要想到切割线定理及推论如图1285所示，已知o1和o2相交于a，b两点，过点a作o1的切线，交o2于点c，过点b作两圆的割线分别交o1，o2于点d，e，de与ac相交于点p.图1285(1)求证：papepcpd；(2)当ad与o2相切且pa6，pc2，pd12时，求ad的长【解】(1)证明：连接ab，ce，ca切o1于点a，1d.又1e，de.又23，apdcpe.，即papepcpd.(2)pa6，pc2，pd12.6pe212，pe4.由相交弦定理，得pepbpapc.4pb62，pb3.bdpdpb1239，depdpe16.da切o2于点a，da2dbde，即ad2916，ad12.图1286(教材第19页练习第2题)已知：如图1286，ab是o的直径，p和c为ab两侧圆上的两点，过点p作pdab，垂足为d，交ac于点e，交bc的延长线于点f .求证：dp2dedf.(2013湖南高考)图1287如图1287，在半径为的o中，弦ab，cd相交于点p，papb2，pd1，则圆心o到弦cd的距离为_【命题意图】本题主要考查圆的相交弦定理及圆的弦的性质和利用勾股定理解直角三角形的方法【解析】由相交弦定理得papbpcpd.又papb2，pd1，则pc4，cdpcpd5.过o作cd的垂线oe交cd于e，则e为cd中点，oe.【答案】1圆内两弦ab，cd相交于点p，pa3，pb4，pcpd13，则cd等于()a12b8c4 d2【解析】设pcx，pd3x，则有：34x3x，解得x2(负值舍去)，pc2，pd6，cd8.【答案】b图12882如图1288，在abc中，ad是bc边上的高，abc的外接圆直径ae交bc边于点g，有下列四个结论：ad2bdcd；be2egae；aeadabac；agegbgcg.其中正确结论的个数是()a1b2 c3d4【解析】由abeadc得，aeadabac，故正确；由相交弦定理得agegbgcg，故正确【答案】b图12893如图1289，a，b是圆o上的两点，且oaob，oa2，c为oa的中点，连接bc并延长交圆o于点d，则cd_.【解析】延长co交圆于点e，依题意得，bc，bccdcace，cd13，因此cd.【答案】4o中的两条弦ab与cd相交于e，若ae6 cm，be2 cm，cd7 cm，那么ce_cm.【解析】ab与cd相交于e，aebecede.ae6 cm，be2 cm，cd7 cm，decdce7ce.62ce(7ce)，即ce27ce120，ce3(cm)或ce4(cm)【答案】3或4一、选择题图12901如图1290，o的直径cd与弦ab交于p点，若ap4，bp6，cp3，则o半径为()a5.5b5c6 d6.5【解析】由相交弦定理知appbcppd，ap4，bp6，cp3，pd8，cd3811，o的半径为5.5.【答案】a图12912如图1291所示，o的两条弦ab、cd相交于点e，ac和db的延长线交于点p，下列结论成立的是()apccapbbdbceaebeedccecdbebadpbpdpcpa【解析】由切割线定理的推论知pbpdpcpa，故选项d正确【答案】d图12923如图1292所示，ab是o的直径，弦cdab于点p，cd12，appb15，o的半径为()a2 b4c. d2【解析】由题意知cppd6，由相交弦定理知，cp2appb5ap2，cpap，ap，ab6ap，o的半径r.【答案】c图12934如图1293所示，正方形abcd内接于o，e为dc中点，直线be交o于点f，若o的半径为，则bf的长为()a. b.c. d.【解析】由题意知bd2，则cdbc2de2ce2.beef1，又be，ef，bf.【答案】c二、填空题5(2013湖北高考)图1294如图1294，圆o上一点c在直径ab上的射影为d，点d在半径oc上的射影为e，若ab3ad，则的值为_【解析】设圆o的直径ab2r，则ad，do，db.由相交弦定理，得cd2addb，所以cdr.在rtcdo中，cor，由射影定理可得eo，于是cer，故8.【答案】8图12956如图1295所示，pc切o于点c，割线pab经过圆心o，弦cdab于点e，pc4，pb8，则cd_.【解析】连接oc，由切割线定理知pc2papb，即428pa，pa2，abpbpa826，oaoc3，op325，在rtocp中，ceop，oc2oeop，即325oe，oe，be3，ae3，ce2beae，ce，cd.【答案】三、解答题图12967如图1296所示，a为o上一点，a和o相交于c，d，两圆的连心线交a于e，f，交o于a，b，交cd于g.求证：agbgegfg.【证明】由相交弦定理得agbgcggd，cggdegfg，agbgegfg.图12978如图1297，两个同心圆的圆心为o，大圆的弦ad交小圆于b、c，大圆的弦af切小圆于e，经过b、e的直线交大圆于m、n.(1)求证：ae2bnen；(2)如果ad经过圆心o，且aeec，求afc的度数【解】(1)证明aef，abc分别是小圆的切线和割线ae2abac，如图，连接oa、od，作ohad于h，则ahdh，bhch.abcd.又bcbc，abbcbccd，即acbd.同理可证：bmen，由相交弦定理，得abbdbmbn.abacenbn，可得ae2bnen.(2)如图，连接oe，有oeaf于e，aeefec，则acf90.因ad过圆心o，故fc是圆的切线，fcefec，afc60.图12989如图1298，bc是半圆的直径，d、e是半圆上的两点，且.过c作半圆的切线，与be的延长线相交于f，be与cd相交于g，ce、bd的延长线相交于a，连接de.(1)求证：abbc；(2)如果dgge3，bg3k，试用含k的代数式表示ac.【解】(1)证明：，abecbe.bc是半圆的直径，aebceb90.又bebe，abecbe.abbc.(2)bc是半圆的直径，gecfec90.cf是切线，gcecbefce.又cece，cegcef.cgcf，efeg.由相交弦定理可得：dggcbgge，.由bg3k，得cgk，cfk.cf是半圆的切线，由切割线定理得，cf2effb.设efegx，则(k)2x(xx3k)解得x