高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数的周期性习题 苏教版必修4.doc

三角函数的周期性一、考点突破知识点课标要求题型说明三角函数的周期性1. 理解周期函数的定义；2. 知道正弦函数、余弦函数的最小正周期；3. 会求函数ysin（x）和ycos（x）的周期。填空解答高考必考周期性是三角型函数的重要性质，也是我们在所学的基本初等函数中唯一具备这一特性的函数。在解答题中往往出现在第1步，较为简单。客观题往往与图象等结合考查。二、重难点提示重点：求函数的周期、利用周期求函数值。难点：对定义的理解及定义的简单应用。一、周期函数的定义一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数t，使得定义域内的每一个x值，都满足f（xt）f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数t叫做这个函数的周期。【要点诠释】函数周期性的理解：定义应对定义域中的每一个值来说，只有个别的值满足f（xt）f（x）或不满足，都不能说t是f（x）的周期。从f（xt）f（x）来看，应强调是自变量x本身加的常数才是周期，如f（2xt）f（2x）中，t不是周期，而应写成，则是f（x）的周期。对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期。今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是它的最小正周期。并不是所有的周期函数都存在最小正周期。例如常数函数为常数），其周期是任意实数，没有最小正数。周期函数的周期不是唯一的，如果t是函数f（x）的周期，那么kt（kz，k0）也一定是函数的周期。【核心归纳】如何利用定义判断函数是不是周期函数？（1）首先看定义域若是定义域d内的一个值，则也一定属于定义域d，因此周期函数的定义域d一定是无限集，而且定义域d一定无上界且无下界。（2）其次看恒等式是否成立对于定义域d内任意一个，是否有恒成立。如果成立，则是周期函数。否则，不是周期函数。二、的周期一般地，函数yasin（x）和yacos（x）（其中a，为常数，且a0，0）的周期t。【规律总结】求三角函数的周期，通常有三种方法。（1）定义法；（2）公式法，对yasin（x）或yacos（x）（a，是常数，且a0，0），t；（3）图象法。三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角的三角函数，且函数的次数为1。示例：已知函数的周期为3，则 。思路分析：利用yasin（x）（a，是常数，且a0，0）的最小正周期为t这一结论解决。答案：由题得，则技巧点拨：在运用公式法求周期时不要忽略绝对值。例题1 （求三角函数的周期）求下列函数的周期：（1）y3sin（x）；（2）y2cos（）；（3）y|sin x|。思路分析：利用公式法或定义法求解即可。若0，则先用诱导公式转化为正值，再用公式求周期。答案：（1）t4。（2）y2cos（）2cos（），t4。（3）由ysin x的周期为2，可猜想y|sin x|的周期应为。验证：|sin（x）|sin x|sin x|，由周期函数的定义知y|sin x|的周期是。例题2 （函数周期性的判断）设函数yf（x），xr，若函数yf（x）为偶函数并且图象关于直线xa（a0）对称，求证：函数yf（x）为周期函数。思路分析：要证函数yf（x）是周期函数，就是要找到一个常数t（t0），使得对于任意实数x，都有f（xt）f（x），可根据yf（x）的奇偶性与对称性推导证明。答案：由yf（x）的图象关于xa对称得f（2ax）f（x），f（2ax）f（x），f（x）为偶函数，f（x）f（x），f（2ax）f（x），f（x）是以2a为周期的函数。【重要提示】1. 判定或证明一个函数是周期函数，就是找出一个具体的非零常数t满足f（xt）f（x）对定义域中一切x都成立。2. 若函数f（x）对定义域内的一切实数x满足f（xa）f（x）或f（xa）或f（xa），则f（x）都是周期函数，且2a为它的一个周期，这里a为非零常数。函数周期性概念理解不透彻致误【满分训练】判断函数ycos 4x，x，是否为最小正周期为的周期函数，若不是，请说明理由。【错解】记f（x）cos 4x，设t为f（x）的周期，则f（xt）f（x），即cos 4xcos 4（xt）对任意实数x都成立，也就是cos（4t）cos 对任意实数都成立，其中4x，由于ycos 的最小正周期为2，令4t2，得t，故函数ycos 4x，x，是最小正周期为的周期函数。【错因分析】导致错误的原因在于没有注意条件x，的限制，x时，xt，不符合周期函数的定义，即忽略了f（x）f（xt）对任意x都成立。【防范措施】要判断一个函数是否为周期函数，要看定义域i，对任意xi，有xti；对任意xi，有f（x）f（xt）。要说明一个函数不是周期函数或者不是以t为周期的周期函数，只需要举一反例即可。【正解】由周期函数的定义可知，对定义域内的每一个x值，有f（xt）f（x），故xt也应在定义域内，但是当x时，x，故函数ycos 4x，x，不是周期函数。 利用周期解决多个值的和若函数f（n）sin（nz），求f（97）f（98）f（99）f（102）的值。思路分析：直接求和较难，可以判断f（n）的周期性，利用周期函数在一个周期内函数值的变化情况求解。答案：由题意得sinsin（2）sin（nz），f（n）f（n12），971281，981282，1021286，f（97）