高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例学案 新人教B版必修5.doc

1.2应用举例1了解实际问题中所涉及的名词和一些术语2会建立实际应用题的三角形模型，并能运用正弦定理或余弦定理解有关距离、高度及角度等实际问题1实际应用问题中的有关术语(1)铅直平面：指与_垂直的平面(2)仰角和俯角：指在同一铅直平面内，目标视线与水平视线的夹角中，视线在水平线_的角叫仰角，视线在水平线_的角叫俯角如图(1)所示(3)方位角：以指北方向线作为0，顺时针转到目标方向线的水平角叫做方位角如图(2)所示(4)方向角：相对于某一_的水平角，如北偏东60.(5)坡角与坡度：坡面与_的夹角叫坡角，坡面的_与_的比叫做坡度(或坡比)设坡角为，坡度为i，则i_，如图(3)所示【做一做1】已知两座灯塔a和b与海洋观测站c的距离相等，灯塔a在观测站c的北偏东40，灯塔b在观测站c的南偏东60，则灯塔a在灯塔b的()a北偏东40b北偏西10c南偏东10 d南偏西102三角形中的有关公式和结论(1)在直角三角形中各元素间的关系在abc中，若c90，abc，acb，bca，则有：锐角之间的关系：_；三边之间的关系：_；边角之间的关系：(锐角三角函数的定义)sin acos b_，cos asin b_，tan a_.(2)斜三角形中各元素间的关系在abc中，若角a，b，c为其内角，a，b，c分别表示角a，b，c的对边，则有：角与角之间的关系：abc；sin asin b_，特别地，在锐角三角形中，sin acos b，sin b_cos c，sin c_cos a；边与边之间的关系：abc，bca，_，abc，bca，_；边角之间的关系：正弦定理：_(r为外接圆半径)；余弦定理：_，_，_；它们的变形形式有：a_，_，cos a_.(3)三角形中的角的变换及面积公式角的变换因为在abc中，abc，所以sin (ab)_；cos(ab)_；tan(ab)_.sin _，cos _.面积公式的有关变换sabsin c_(r为abc外接圆的半径)；sr(abc)(r为三角形内切圆的半径)【做一做21】一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30角，树干底部与树尖着地处相距10 m，则树干原来的高度是()a(2010) m b(1020) mc(2020) m d(1010) m【做一做22】在abc中，ab60，sabc15，abc的外接圆的半径为，则边c的长为_【做一做23】在abc中，a120，ab5，bc7，则的值为_3解应用题的一般思路(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，把已知和要求的量尽量集中到有关三角形中，将实际问题抽象成解三角形模型(3)选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形的解还原为实际问题的解，注意实际问题中单位、近似计算的要求这一思路描述如下：【做一做31】如图，为了测量隧道口ab的长度，给定下列四组数据，测量时应当用第_组数据，a，b；，a；a，b，；，b.【做一做32】在200 m的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30，60，则塔高为_ m.实际问题中度量a，b两点的长度(高度)的方法剖析：(1)求距离问题如图，当ab的长度不可直接测量时，求ab的距离两点间不可到达又不可视两点间可视但不可达两点都不可达当a，b两点之间不可到达又不可视时，测出两边及其夹角，运用余弦定理求解，则ab.当a，b两点之间可视但不可达时，测出两角及其夹边，先用内角和定理求第三角再运用正弦定理求解a(bc)，根据正弦定理，得，则ab.当a，b两点都不可达时，先在adc和bdc中分别求出ac，bd，再在abc或abd中运用余弦定理求解先求：adsinacd；再求：bdsinbcd；最后：ab.将所求距离或方向的问题转化为求一个三角形的边或角的问题时，我们选择的三角形往往条件不够，这时需要我们寻找其他的三角形作为解这个三角形的支持，为解这个三角形提供必要的条件(2)求高度问题如图，当ab的高度不可直接测量时，求ab的高度，有如下情况底部可达底部不可达当bc底部可达时，利用直角三角形的边角关系求解，则abatan c当bd不可达时，在rtabd中，bd，在rtabc中，bc，acdbcbd.ab.在bcd中，bcsin dabbc ，bacacb在abc中，absinacbsinacbabsinacb.在测量某物体高度的问题中，很多被测量的物体是一个立体的图形，而在测量过程中，我们测量的角度也不一定在同一平面内，因此还需要我们有一定的空间想象能力，关键是画出图形，把已知量和未知量归结到三角形中来求解题型一 测量距离问题【例1】如图，隔河看两目标a，b，但不能到达，在岸边选取相距km的c，d两点，并测得acb75，bcd45，adc30，adb45(a，b，c，d在同一平面内)，求两目标a，b之间的距离分析：要求出a，b之间的距离，可在abc(或adb)中去找关系，但不管在哪个三角形中，ac，bc这些量都是未知的，需要在三角形中找出合适的关系式，求出它们的值，然后解斜三角形即可反思：测量长度(距离)是解三角形应用题的一种基本题型在解这类问题时，首先要分析题意，确定已知与所求，然后画好示意图，通过解三角形确定实际问题的解；测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题题型二 测量高度问题【例2】如图所示，在地面上有一旗杆op，为测得它的高度h，在地面上取一基线ab，ab20 m，在a处测得p点的仰角oap30，在b处测得p点的仰角obp45，又测得aob60，求旗杆的高度h.(精确到0.1 m)分析：先在rtpao和rtpbo中求出ao，bo，再在aob中由余弦定理求出h.反思：在解三角形的问题时，一定要选择合适的三角形，这样可以简化计算过程，再者还要注意立体几何图形中的边角关系，并选择好三角形的使用顺序题型三 测量角度问题【例3】如图，甲船在a处，乙船在甲船的南偏东45方向，距a 9海里的b处，并以20海里/时的速度沿南偏西15方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，应沿什么方向，用多少小时能最快追上乙船？(精确到1度)分析：假设用t小时在c处追上乙船，则在abc中，ac，bc可用t来表示，进而利用余弦定理求得t，解此三角形即可反思：航海问题常利用解三角形的知识解决，在具体解题时，应画出示意图，找出已知量及所求的量，转化为三角形的边角，利用正、余弦定理求解题型四 面积问题【例4】在半径为r的扇形oab中，圆心角aob60，在扇形内有一个内接矩形，求内接矩形的最大面积分析：扇形内的内接矩形有且仅有两种类型：一种是矩形的一边与扇形的一条半径重合；另一种是以扇形的对称轴为对称轴的矩形我们分别求出这两种类型的矩形的最大面积，再取两者中较大的，就是符合条件的最大面积反思：关于求面积最值问题，关键是将面积函数表达出来，根据已知条件利用正弦定理将与矩形面积有关的量求出，再转化为求三角函数最值问题，这是这一类问题常用的解题思路题型五 易错辨析【例5】某观测站c在城a的南偏西20的方向上，由城a出发的一条公路，走向是南偏东40，在c处测得公路上距c31 km的b处有一人正沿公路向城a走去，走了20 km后到达d处，此时c，d间的距离为21 km，这人还要走多远才能到达城a?错解：如图所示，cad60.在bcd中，由余弦定理，得cos b，所以sin b.在abc中，ac24.在acd中，由余弦定理，得cd2ac2ad22acadcoscad，即212242ad224ad，所以ad15或ad9，所以这人还要走15 km或9 km才能到达城a错因分析：没有及时检测，题目中acd为锐角三角形，故应舍去ad9的情况1如图，在河岸ac测量河的宽度bc，测量下列四组数据，较适宜的是()aa和cbc和bcc和 db和2已知两座灯塔a和b与海洋观察站c的距离都等于a km，灯塔a在观察站c的北偏东20，灯塔b在观察站c的南偏东40，则灯塔a与b的距离为()aa km ba kmca km d2a km3某人向正东方向走了x km后向右转了150，然后沿新方向走了3 km，结果离出发点恰好km，那么 x_.4a，b是海平面上的两个点，相距800 m，在a点测得山顶c的仰角为45，bad120，又在b点测得abd45，其中d是点c在海平面上的射影，则山高cd为_5为了测量两山顶m，n间的距离，飞机沿水平方向在a，b两点进行测量，a，b，m，n在同一个铅垂平面内(如图所示)飞机能够测量的数据有俯角和a，b间的距离请设计一个方案：包括：指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算m，n间的距离的步骤答案：基础知识梳理1(1)水平面(2)上方下方(4)正方向(5)水平面铅直高度h水平宽度ltan 【做一做1】b如图所示，eca=40，fcb60，acb180406080.acbc，aabc50.abg180cbhcba1801205010.故选b.2(1)ab90a2b2c2(2)abcabcab2rc2a2b22abcos cb2a2c22accos ba2b2c22bccos a2rsin a(3)sin ccos ctan ccos sin acsin bbcsin a【做一做21】a如图所示，bc=10 m，.ab+ac=m.【做一做22】3【做一做23】由余弦定理，得bc2ab2ac22abaccos a，即7252ac225accos 120，ac25ac240.解得ac3，ac8(舍去)由正弦定理，得.【做一做31】根据实际情况，都是不易测量的数据，而中的a，b，很容易测量到，并且根据余弦定理能直接求出ab的长，故选.【做一做32】如图，设塔高ab为h，在rtcdb中，cd200 m，bcd906030，bc(m)在abc中，abcbcd30，acb603030，bac120.在abc中，由正弦定理，得，ab(m)典型例题领悟【例1】解：在acd中，adc30，acd7545120，cad30.accd(km)在bdc中，cbd180(4575)60.由正弦定理，得bc(km)在acb中，由余弦定理，得ab2ac2bc22acbccosbca()2()22cos755.abkm.两目标a，b之间的距离为km.【例2】解：在rtpao中，aoh.在rtpbo中，boh.在abo中，由余弦定理，得202(h)2h22hhcos 60，解得h13.3(m)【例3】解：假设用t小时甲船在c处追上乙船在abc中，ac28t海里，bc20t海里，abc1804515120.由余弦定理，得ac2ab2bc22abbccosabc，即(28t)281(20t)22920t()，整理，得128t260t270，即(4t3)(32t9)0.t或t(舍去)ac2821(海里)，bc2015(海里)由正弦定理，得sinbac.又abc120，bac为锐角，bac38.45387.甲船应沿南偏东7方向用小时可最快追上乙船【例4】解：如图(1)所示，设pqx，mpy，则矩形的面积sxy.连接on，令aon，则yrsin .在omn中，利用正弦定理，得，x.sxyr2.当30时，smaxr2.如图(2)所示，设pnx，mny，则矩形的面积为sxy，连接on，令aon.在opn中，利用正弦定理，得，xsin 2rsin ，y2rsin(30)sxy4r2sin sin(30)2r2cos 2(15)cos 30当15时，smax(2)r2.2，所求内接矩形的最大面积为r2.【例5】正解：设acd，cdb，在cbd中，由余弦定理，得cos ，所以sin ，而sin sin(60)sin cos 60cos sin 60.在acd中，由正弦定理，得，则ad15(km)所以这人还要走15 km才能到达城a.随堂练习巩固1d在河的一岸测量河的宽度，关键是选准基线，在本题中ac即可看做基线，在abc中，能够测量到的边角分别为b和.2b显然acb120，acbca km，则cabcba30.由正弦定理，有，则abaca(km)3或方法一：如图所示，由题意，可知ab=x km，ac=km，bc=3 km，abc=30.由余弦定理，知ac2ab2bc22abbc cosabc，即3x2923xcos 30.整理，得x23x60.解得x2或x.方法二：由正弦定理，得sin a.bcac，ab.b30，a60或120.当a60时，acb90，x2；当a120时，acb30，xac.4800(1) m如图，由于cdad，cad45，cdad.因此，只需在abd中求出ad