高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.3 导数的几何意义课时提升作业2 新人教A版选修11.doc

导数的几何意义(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.曲线y=x3-3x在点(2,2)的切线斜率是()a.9b.6c.-3d.-1【解析】选a.y=(2+x)3-3(2+x)-23+6=9x+6(x)2+(x)3,yx=9+6x+(x)2,limx0yx=limx0(9+6x+(x)2)=9,由导数的几何意义可知,曲线y=x3-3x在点(2,2)处的切线斜率是9.2.曲线f(x)=3x+x2在点(1,f(1)处的切线方程为()a.y=5x-1b.y=-5x+1c.y=15x+1d.y=-15x-1【解析】选a.k=limx03(1+x)+(1+x)2-3-12x=5.f(1)=4.由点斜式得y-4=5(x-1),即y=5x-1.3.下面说法正确的是()a.若f(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处没有切线b.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处有切线,则f(x0)必存在c.若f(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线斜率不存在d.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处没有切线,则f(x0)有可能存在【解析】选c.f(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处切线的斜率,当切线垂直于x轴时,切线的斜率不存在,但存在切线.【补偿训练】曲线y=13x3-2在点-1,-73处切线的倾斜角为()a.30b.45c.135d.60【解析】选b.y=13(-1+x)3-2-13(-1)3+2=x-(x)2+13(x)3,yx=1-x+13(x)2,limx0yx=limx01-x+13(x)2=1,所以曲线y=13x3-2在点-1,-73处切线的斜率是1,倾斜角为45.4.(2015武汉高二检测)已知曲线y=4x在点p(1,4)处的切线与直线l平行且距离为17,则直线l的方程为()a.4x-y+9=0b.4x-y+9=0或4x-y+25=0c.4x+y+9=0或4x+y-25=0d.以上均不对【解析】选c.y=limx0yx=-4,所以k=-4,所以切线方程为y-4=-4(x-1),即4x+y-8=0,设l:4x+y+c=0(c-8),由题意17=|c+8|42+12,所以c=9或-25.5.(2015丽水高二检测)已知曲线y=12x2-2上一点p1,-32,则在点p处的切线的倾斜角为()a.30b.45c.135d.150【解析】选b.在点p处的切线的斜率k=f(1)=limx0yx=limx012(1+x)2-2-1212+2(1+x)-1=limx0x+12(x)2x=limx01+12x=1.设切线的倾斜角为,则tan=1,又0180,所以=45.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若抛物线y=x2与直线2x+y+m=0相切,则m=_.【解析】设切点为p(x0,y0),易知,y=2x.由2x0=-2,y0=x02,得x0=-1,y0=1,即p(-1,1).又p(-1,1)在直线2x+y+m=0上,故2(-1)+1+m=0,即m=1.答案:17.曲线y=x2-3x的一条切线的斜率为1,则切点坐标为_.【解析】设f(x)=y=x2-3x,切点坐标为(x0,y0),f(x0)=limx0(x0+x)2-3(x0+x)-x02+3x0x=limx02x0x-3x+(x)2x=2x0-3=1,故x0=2,y0=x02-3x0=4-6=-2,故切点坐标为(2,-2).答案:(2,-2)8.(2015惠州高二检测)如图,函数y=f(x)的图象在点p处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f(5)=_.【解析】因为点p在切线上,所以f(5)=-5+8=3,又因为f(5)=k=-1,所以f(5)+f(5)=3-1=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.在曲线e:y=x2上求出满足下列条件的点p的坐标.(1)在点p处与曲线e相切的直线平行于直线y=4x-5.(2)在点p处与曲线e相切的直线与x轴成135的倾斜角.【解析】f(x)=limx0f(x+x)-f(x)x=limx0(x+x)2-x2x=2x,设p(x0,y0)为所求的点.(1)因为切线与直线y=4x-5平行,所以2x0=4,x0=2,y0=4,即p(2,4).(2)因为切线与x轴成135的倾斜角,所以其斜率为-1,即2x0=-1,得x0=-12,即y0=14,即p-12,14.10.(2015天水高二检测)已知曲线c:y=1t-x经过点p(2,-1),求(1)曲线在点p处的切线的斜率.(2)曲线在点p处的切线的方程.(3)过点o(0,0)的曲线c的切线方程.【解析】(1)将p(2,-1)代入y=1t-x中得t=1,所以y=11-x.所以yx=f(x+x)-f(x)x=11-(x+x)-11-xx=1(1-x-x)(1-x),所以limx0yx=1(1-x)2,所以曲线在点p(2,-1)处切线的斜率为k=1(1-2)2=1.(2)曲线在点p处的切线方程为y+1=x-2,即x-y-3=0.(3)因为点o(0,0)不在曲线c上,设过点o的曲线c的切线与曲线c相切于点m(x0,y0),则切线斜率k=y0x0=1(1-x0)2,由于y0=11-x0,所以x0=12,所以切点m12,2,切线斜率k=4,切线方程为y-2=4x-12,即y=4x.【补偿训练】试求过点p(1,-3)且与曲线y=x2相切的直线的斜率.【解析】设切点坐标为(x0,y0),则有y0=x02.因为y=limx0了yx=limx0(x+x)2-x2x=2x.所以k=2x0.所以切线方程为y-x02=2x0(x-x0),将点(1,-3)代入,得:-3-x02=2x0-2x02,所以x02-2x0-3=0,所以x0=-1或x0=3.当x0=-1时,k=-2;当x0=3时,k=6.所以所求直线的斜率为-2或6.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.设f(x)为可导函数且满足limx0f(1)-f(1-2x)2x=-1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1)处的切线斜率为()a.2b.-1c.1d.-2【解析】选b.limx0f(1)-f(1-2x)2x=limx0f(1-2x)-f(1)-2x=lim-2x0f1+(-2x)-f(1)-2x=f(1)=-1.【补偿训练】(2015聊城高二检测)设函数f(x)满足limx0f(1)-f(1-x)x=-1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率是()a.2b.-1c.12d.-2【解析】选b.因为limx0=f(1)-f(1-x)x=f(1)=k=-1,所以y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率是-1.2.(2015贵阳高二检测)已知函数y=f(x)的图象如图,f(xa)与f(xb)的大小关系是()a.0f(xa)f(xb)b.f(xa)f(xb)f(xb)0【解析】选b.f(xa)和f(xb)分别表示函数图象在点a,b处的切线斜率,故f(xa)f(xb)f(xb)b.f(xa)=f(xb)c.f(xa)kb,根据导数的几何意义有:f(xa)f(xb).二、填空题(每小题5分,共10分)3.函数y=f(x)=1x在x=1处的切线方程为_.【解析】f(1)=11=1,f(1)=limx0f(1+x)-f(1)x=limx011+x-1x=limx0-11+x=-1,则切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.答案:x+y-2=04.(2015南京高二检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f(x),f(0)0,对于任意实数x,有f(x)0,则f(1)f(0)的最小值为_.【解题指南】由导数的定义,先求出f(0)的值,从而求出f(1)f(0)的表达式,再利用“对于任意实数x,有f(x)0”这一条件,借助不等式的知识即可求解.【解析】由导数的定义,得f(0)=limx0f(x)-f(0)x=limx0a(x)2+b(x)+c-cx=limx0a(x)+b=b.又因为对于任意实数x,有f(x)0,则=b2-4ac0,a0,所以acb24,所以c0.所以f(1)f(0)=a+b+cbb+2acb2bb=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)5.直线l:y=x+a(a0)和曲线c:y=x3-x2+1相切.(1)求切点的坐标.(2)求a的值.【解析】(1)设直线l与曲线c相切于点p(x0,y0)点,则f(x)=limx0f(x+x)-f(x)x=limx0(x+x)3-(x+x)2+1-(x3-x2+1)x=3x2-2x.由题意知,k=1,即3x02-2x0=1,解得x0=-13或x0=1.于是切点的坐标为-13,2327或(1,1).(2)当切点为-13,2327时,2327=-13+a,a=3227;当切点为(1,1)时,1=1+a,a=0(舍去).所以a的值为3227.【补偿训练】设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求a的值.【解析】因为y=f(x0+x)-f(x0)=(x0+x)3+a(x0+x)2-9(x0+x)-1-(x03+ax02-9x0-1)=(3x02+2ax0-9)x+(3x0+a)(x)2+(x)3,所以yx=3x02+2ax0-9+(3x0+a)x+(x)2.当x无限趋近于零时,yx无限趋近于3x02+2ax0-9,即f(x0)=3x02+2ax0-9,所以f(x0)=3x0+a32-9-a23.当x0=-a3时,f(x0)取最小值-9-a23.因为斜率最小的切线与12x+y=6平行,所以该切线斜率为-12,所以-9-a23=-12.解得a=3.又a0,所以a=-3.6.(2015厦门高二检测)试求过点m(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程.【解析】yx=(x+x)3+1-x3-1x=3x(x)2+3x2x+(x)3x=3xx+3x2+x2.limx0yx=3x2,因此y=3x2,设过(1,1)点的切线与y=x3+1相切于点p(x0,x03+1),据导数的几何意义,函数在点p处的切线的斜率为k=3x02,过(1,1)点的切线的斜率k=x03+1-1x0-1,所以3x02=x03x0-1,解得x0=0或x0=32,所以k=0或k=274,因此y=x3+1过点m(1,1)的切线方程有两个,分别为y-1=274(x-1)和y=1,即27x-4y-23=0或y=1.【误区警示】本题易错将点(1,1)当成了曲线y=x3+1上的点.因此在求过某点的切线时,一定要先判断点是否在曲线上,再据不同情况求解.【补偿训练】若抛物线y=4x2上的点p到直线y=4x-5的距离最短,求点p的坐标.【解题指南】抛物线上到直线y=4x-5的距离最短的点,是平移该直线与抛物线相切时的切点.解答本题可先求导函数,再求p点的坐标